1.2.3 直线的一般式方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 题组一　直线的一般式方程 1.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　　) A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 2.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围是　　　　　　.  3.(教材习题改编)已知直线3x1+4y1=1和3x2+4y2=1,且x1≠x2,则经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线l的一般式方程为　　　　　　　　.  4.若点(1,2)在直线ax+by-1=0上(其中a,b都是正实数),则的最小值为　　　　.  5.已知直线l的方程为2x+(m-3)y-2m+6=0(m≠3). (1)若l在x轴上的截距为-3,求m的值; (2)若l的斜率为1,求m的值. 题组二　直线方程几种形式的相互转化 6.已知倾斜角为θ的直线l与直线x+y-3=0的夹角为30°,则θ的值为(　　) A.30°或150°　　B.120°或0° C.90°或30°　　　D.60°或0° 7.下列关于直线的说法中,正确的个数为(　　) ①直线l:x+y-3=0过点P(1,2); ②直线y=kx-2在y轴上的截距是2; ③直线x-y+4=0不经过第四象限; ④直线x-y+1=0的倾斜角为30°. A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 8.下列说法错误的是　(　　) A.平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示 B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 9.若直线的截距式方程=1化为斜截式方程为y=-2x+b,化为一般式方程为bx+ay-8=0,且a>0,则a+b=　　　　.  10.已知△ABC位于第一象限,且A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°. (1)求边AB所在直线的方程; (2)求直线AC与直线BC的一般式方程. 能力提升练 题组　几种直线方程的相互转化及应用 1.(多选题)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是(　　) A.直线l的斜率可以等于0 B.若l与y轴的夹角为30°,则m=或m=- C.若l的斜率为,则l的方程为x-2y+1=0 D.若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍,则m=1或m=-2 2.(多选题)已知曲线C:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,则下列说法正确的是(　　) A.∃λ∈R,曲线C为一个点 B.∀λ∈R,曲线C为一条直线 C.∃λ∈R,曲线C为直线x+y=0 D.∀λ∈R,曲线C恒过点(-2,2) 3.(多选题)已知直线l过点P(3,2),且与l1:x+3y-9=0、x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则(　　) A.直线l的方程为x-3y+3=0 B.直线l与直线l1的倾斜角互补 C.直线l在y轴上的截距为2 D.这样的直线l有两条 4.已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为　　　　.  5.在①直线BC的斜率为,②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答下面的问题. 已知以A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A(-1,2),B(-3,2),　　　　.  (1)求直线AC的一般式方程; (2)求直线BC的一般式方程; (3)求角A的平分线所在直线的一般式方程. 6.已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0). (1)写出直线PQ的方程(用含t的式子表示); (2)如图,在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值. 答案与分层梯度式解析 1.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 1.C　由AB>0且BC<0,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C异号, 令x=0,得y=->0,令y=0,得x=->0, 所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限.故选C. 2.答案　m≠0 解析　要使mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线,则m,m2-m不能同时为零, 即解得m≠0. 3.答案　3x+4y-1=0 解析　由3x1+4y1=1,3x2+4y2=1, 得点A(x1,y1)在直线3x+4y-1=0上, 点B(x2,y2)在直线3x+4y-1=0上, 即A,B都在直线3x+4y-1=0上, 因为两点确定一条直线,所以由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线即为3x+4y-1=0. 4.答案　3+2 解析　把点(1,2)代入直线方程得a+2b=1(a>0,b>0),则≥3+2, 当且仅当,即a=2b时取等号, 由 所以当a=2-时,取得最小值,为3+2. 5.解析　(1)令y=0,得x=m-3,则m-3=-3,解得m=0. (2)因为直线l的斜率存在,所以l的方程可化为y=-x+2.由题意得-=1,解得m=1. 6.B　直线x+y-3=0可化为y=-,设其倾斜角为φ,0°≤φ<180°, 则斜率k=tan φ=-,故φ=150°, 又两直线的夹角为30°,所以θ=0°或θ=120°. 故选B. 7.C　①将x=1代入x+y-3=0,得y=2,故正确; ②当x=0时,y=-2,故直线y=kx-2在y轴上的截距是-2,故错误; ③由x-y+4=0得y=x+4,故斜率k=1>0,在y轴上的截距b=4>0,所以直线不经过第四象限,故正确; ④直线x-y+1=0的斜率为,故倾斜角为30°,故正确.故选C. 8.D　每一条直线都有倾斜角α,当α≠90°时,直线的斜率k存在,其方程可写成y=kx+b,变形为kx-y+b=0,此时A=k,B=-1,C=b;当α=90°时,直线的斜率不存在,其方程可写成x=x1,此时A=1,B=0,C=-x1,显然A,B不同时为0,A中说法正确. 当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)即为Ax+By=0,显然有A·0+B·0=0,即直线过原点,B中说法正确. 当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-,它表示的直线与x轴平行,C中说法正确. 易知D中说法错误. 故选D. 9.答案　6 解析　由=1得y=-x+b,得bx+ay-ab=0, ∴-=-2,-ab=-8, 即 ∵a>0,∴a=2,b=4,∴a+b=6. 10.解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以AB∥x轴, 所以边AB所在直线的方程为y=1. (2)因为∠A=60°,所以kAC=tan 60°=, 所以直线AC的方程为y-1=(x-1),即=0, 因为∠B=45°,所以kBC=tan 135°=-1, 所以直线BC的方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0. 能力提升练 1.BCD　对于直线l:x-my+m-1=0,当m=0 时,直线l:x=1,斜率不存在; 当m≠0时,直线l的斜率为,不可能等于0,故A错误. 若直线l与y轴的夹角为30°,则l的倾斜角为60°或120°, ∴=tan 60°==tan 120°=-, ∴m=或m=-,故B正确. 由l的斜率为,得m=2,∴l的方程为x-2y+1=0,故C正确. 当m=0时,直线l:x=1,在y轴上的截距不存在;当m≠0时,令x=0,得y=,令y=0,得x=1-m,则=1-m,得m=1或m=-2,故D正确. 故选BCD. 2.BCD　由3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,可得(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0, 因为3+2λ与4+λ不会同时为0,所以∀λ∈R,曲线C为一条直线,故A错误,B正确; 当λ=1时,曲线C:3x+4y-2+2x+y+2=0,即x+y=0,故C正确; 由即曲线C恒过点(-2,2),故D正确. 故选BCD. 3.AB　因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以直线l与l1的倾斜角互补,故B正确; 由直线l1的斜率为-,知直线l的斜率为,因为直线l过点P(3,2),所以直线l的方程为y-2=(x-3),即x-3y+3=0,故A正确; 将x=0代入x-3y+3=0,得y=1,所以直线l在y轴上的截距为1,故C错误; 过点P(3,2)且斜率为的直线只有一条,故D错误. 故选AB. 规律总结　底边在x轴(或y轴)上的等腰三角形的两腰所在直线的倾斜角互补,斜率互为相反数. 4.答案　8x-15y+6=0 解析　设直线l的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,且tan α=, 所以tan θ=tan 2α=,又l经过点P(3,2),所以直线l的方程为y-2=(x-3),即8x-15y+6=0. 5.解析　因为A(-1,2),B(-3,2),所以AB∥x轴. 选①:(1)由直线BC的斜率为,得直线BC的倾斜角为30°.因为△ABC是以A为顶角的等腰三角形,所以直线AC的倾斜角为60°,斜率为,如图所示. 又因为A(-1,2),所以直线AC的方程为y-2=(x+1),其一般式方程为=0. (2)因为B(-3,2),直线BC的斜率为,所以直线BC的方程为y-2=(x+3),其一般式方程为x-+3=0. (3)由(2)可知,角A的平分线所在直线的斜率为-,倾斜角为120°, 所以角A的平分线所在直线的方程为y-2=-(x+1),其一般式方程为=0. 选②:(1)因为A(-1,2),AC的斜率为,所以直线AC的方程为y-2=(x+1),其一般式方程为=0. (2)由直线AC的斜率为,得直线AC的倾斜角为60°,因为△ABC是以A为顶角的等腰三角形,所以直线BC的倾斜角为30°或120°,斜率为或-,如图所示: 又因为B(-3,2),所以直线BC的方程为y-2=(x+3)或y-2=-(x+3),其一般式方程为x-+3=0或-2=0. (3)由题意可知,角A的平分线所在直线的倾斜角为120°或30°,斜率为-,所以角A的平分线所在直线的方程为y-2=-(x+1)或y-2=(x+1),其一般式方程为=0或x-+1=0. 6.解析　(1)令t=10-t,得t=5,此时直线PQ的方程为x=5, 当t≠5时,直线PQ的方程为y-t=(x-t), 即tx+(10-2t)y+t2-10t=0. (2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB, 则A(a,0),B(2a,0),C(2a,a), 因为点C(2a,a)在直线PQ上,所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0, 所以a=,0<t≤5, 要使正方形ABCD的面积最大,只需a的值最大, 易知当t=5时,amax=,此时正方形ABCD的面积最大. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$