第3章 专题强化练7（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

专题强化练7　圆锥曲线中的定点、定值问题 1.已知A,B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,则“=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的(　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.P为椭圆=1(a>b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则直线PA1与PA2的斜率之积为定值-,将这个结论类比到双曲线,得出的结论为:P为双曲线=1(a>0,b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则(　　) A.直线PA1与PA2的斜率之和为定值 B.直线PA1与PA2的斜率之积为定值 C.直线PA1与PA2的斜率之和为定值 D.直线PA1与PA2的斜率之积为定值 3.(多选题)已知点P为双曲线C:-y2=1右支上一点,l1,l2为双曲线C的两条渐近线,过点P分别作PA⊥l1,PB⊥l2,垂足依次为A,B,过点P作PM∥l2交l1于点M,过点P作PN∥l1交l2于点N,O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　) A.PA·PB=　　　　B.OP≥AB C.3S△PAB=2S△PMN　　　　D.MN≥1 4.(多选题)已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上的动点,离心率为e,椭圆的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,下列结论正确的是(　　) A.若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2=- B.若椭圆C上存在点M使=0,则e∈ C.当△F1PF2的面积最大时,∠F1PF2=120°,则e= D.根据光学现象知道:从F1发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过F2,现有一束光线从F1发出并经椭圆反射,当光线第n次到达F2时,光线通过的总路程为4na 5.已知双曲线C:x2-y2=1,过点B(0,2)的动直线与C交于两点P,Q,若曲线C上存在某定点A使得kPA+kQA为定值λ,则λ2的值为　　　　.  6.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:+y2=1上的两个动点,且x1x2+4y1y2=0,O为坐标原点,则OA2+OB2=　　　　.  7.已知A,B分别是椭圆E:=1的左、右顶点,C,D是椭圆上异于A,B的两点,若直线AC,BD的斜率k1,k2满足k1=2k2,则直线CD过定点,且定点坐标为　　　　.  8.已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. (1)若弦AB的中点为(2,2),求直线l的方程; (2)若y1y2=-16,求证:直线l过定点. 9.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E的焦点为F1(-,0),且满足　　　　,椭圆E的上、下顶点分别为A,B,右顶点为D,直线l过点D且垂直于x轴.现有如下两个条件:  条件①:椭圆过点,条件②:椭圆的离心率为. 请从上述两个条件中选择一个补充在横线上,并完成解答. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若点Q在椭圆E上,且在第一象限内,直线AQ与l交于点N,直线BQ与x轴交于点M.则OM+2DN是不是定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 10.已知双曲线C:x2-y2=8的左焦点为F,过点F作直线l交C的左支于A,B两点. (1)若,求l的方程; (2)若点P(-4,2),直线AP交直线x=-2于点Q.设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1-k2为定值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练7　圆锥曲线中的定点、定值问题 1.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+b(b≠0), 联立可得y2-4my-4b=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4b, 则+y1y2=b2-4b=b(b-4)(b≠0). 若=0,则b=4,则直线AB的方程为x=my+4,直线AB恒过定点(4,0); 若直线AB恒过定点(4,0),则b=4,于是=0. 所以“=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的充要条件.故选B. 2.D　设P(x0,y0),则=1,即·(-a2). ∵A1(-a,0),A2(a,0), ∴, ∴.故选D. 方法技巧　求定值问题的常见方法 1.直接推理计算,在计算过程中消去变量(参数),得到定值. 2.从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. 3.ABD　对于A,设点P(m,n),则m2-3n2=3.双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,不妨设l1:x-y=0. 所以PA·PB=,A中结论正确. 对于B,由题意可知PA⊥OA,PB⊥OB,则O,A,P,B四点共圆,且OP为该圆的一条直径,AB为该圆的一条弦,故OP≥AB,B中结论正确. 对于C,两条渐近线的斜率分别为-,则其夹角为,结合B知∠APB=, 故S△PAB=PA·PBsin∠APB=, 因为PM∥l2,所以∠PMA=,因为PA⊥OA,所以PM=, 同理PN=, 所以S△PMN=PM·PNsin∠MPN=·sin,则3S△PAB≠2S△PMN,C中结论错误. 对于D,由C知PM·PN==1,且∠MPN=, 在△MPN中,由余弦定理可得MN2=PM2+PN2-2PM·PN·cos∠MPN=PM2+PN2-1≥2PM·PN-1=1,当且仅当PM=PN=1时等号成立,D中结论正确.故选ABD. 4.AC　对于A,由已知得A(-a,0),B(a,0),设P(x0,y0),则), 则k1k2=,A正确; 对于B,设M'为C的短轴端点,则由已知得cos∠F1M'F2≤0,易得M'F1=M'F2=a, 则cos∠F1M'F2==1-2e2≤0,所以e2≥,又0<e<1,所以≤e<1,B错误; 对于C,设坐标原点为O,易知当P是椭圆的上顶点或下顶点时,△F1PF2的面积最大,此时∠F1PF2=120°,则∠OPF1=∠OPF2=60°,则e==sin 60°=,C正确; 对于D,当n=1时,光线通过的总路程为2a,D错误.故选AC. 5.答案　 解析　设A(m,n),lPQ:y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则m2-n2=1, 由可得(1-k2)x2-4kx-5=0,则x1+x2=,x1·x2=, 所以kPA+kQA= = =, 要使kPA+kQA为定值λ,则 可得故λ2=. 6.答案　5 解析　由已知得 ①×②得), 由x1x2+4y1y2=0得x1x2=-4y1y2,则, 则16(1+,则=1. ①+②得)=4, 所以OA2+OB2==1+4=5. 7.答案　 解析　易知A(-2,0),B(2,0),则直线AC的方程为y=k1(x+2),直线BD的方程为y=k2(x-2). 设C(xC,yC),D(xD,yD), 联立消去y得(3+4-12)=0, 则xA+xC=, ∵k1=2k2,∴xC=,∴C, 联立消去y得(3+4-12)=0, 则xB+xD=,∴xD=,∴D, 故直线CD的方程为9k2x+(8-3)y+6k2=0,即8y+(9x+6)k2-3y=0, 当y=0,9x+6=0,即x=-,y=0时方程恒成立,故直线过定点. 方法总结　求解直线过定点问题的常用方法 (1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明; (2)“一般推理,特殊求解”:设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点; (3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或截距式方程y=kx+b来证明. 8.解析　(1)由于点(2,2)在抛物线内,且不在x轴上, 所以直线l的斜率存在,即x1≠x2,由 可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2), 即=1, 则直线l的方程为y-2=x-2,即y=x. 经检验直线l存在,且方程为y=x. (2)证明:若直线l的斜率存在,设为k, 当k=0时,直线l与抛物线的交点仅有一个,不满足题意,故k≠0,设l的方程为y=kx+b,k≠0,与抛物线的方程联立,消去x可得y2-y+b=0, 可得y1y2=,即-16=,可得b=-4k,故直线l的方程为y=k(x-4),则直线l过定点(4,0). 若直线l的斜率不存在,可得x1=x2, 代入y2=4x,可得y1=2(不妨设A在x轴上方),则y1y2=-4x1=-16,即x1=4, 所以直线l的方程为x=4,也过定点(4,0). 综上,直线l过定点(4,0). 9.解析　(1)选择①,椭圆的长轴长2a==4, 则a=2,短半轴长b==1,所以椭圆E的方程为+y2=1. 选择②,由c=,得a=2,b==1,所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)由(1)知A(0,1),B(0,-1),D(2,0),设Q(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,即=4. 直线l的方程为x=2,直线AQ的方程为y=x+1,直线BQ的方程为y=x-1, 于是得N,由题图知点N在x轴上方,因此DN=, 则OM+2DN==2, 所以OM+2DN为定值2. 10.解析　(1)由题意得,a2=b2=8,故c2=16,则双曲线C的左焦点为F(-4,0). 易知直线l的斜率存在. 当直线l的斜率为0时,方程为y=0,与双曲线C交在两支上,舍去. 当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=my-4,m≠0, 易求得双曲线的渐近线方程为y=±x, 故直线l的斜率>1或<-1,解得0<|m|<1, 联立消去x,得(m2-1)y2-8my+8=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=. 因为,所以y1=-3y2, 即y1+y2=-2y2=,故y2=-, 所以y1y2=-3,所以m2=,解得m=±. 故直线l的方程为y=±(x+4). (2)证明:直线AP:y-2=k1(x+4),得Q(-2,2+2k1), 结合(1)可得k2=, 又k1=kPA=, 所以k1-k2= = =, 因为k1=,所以k1my1=y1-2, 又y1+y2=my1y2, 所以k1-k2==-2,为定值. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$