第3章 专题强化练6（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

专题强化练6　圆锥曲线中的最值、范围问题 1.已知椭圆=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若BF2+AF2的最大值为10,则b=(　　) A. C.2 2.已知P是椭圆C:=1上的动点,且与C的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若点M在∠F1PF2的平分线上,且=0,则OM的取值范围是(　　) A.(0,2)　　　　B.(0,2) C.(0,3-2)　　　　D.(0,1) 3.记由双曲线C1:=1及C2:=1(a>0,b>0)的四个顶点构成的四边形的面积为S1,由其四个焦点构成的四边形的面积为S2,则当取得最大值时,双曲线C1的离心率为(　　) A. 4.(多选题)M为抛物线C:x2=4y上的动点,动点N到点(0,2)的距离为NF(F是C的焦点),则下列结论正确的是(　　) A.MN的最小值为3- B.MF+NF的最小值为3- C.MN+MF的最小值为4- D.NF+MN的最小值为2 5.(多选题)已知F为椭圆C:=1的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,AD⊥x轴,垂足为D(异于原点),连接BD并延长,交椭圆C于另一点E,则(　　) A.AB⊥AE B.△ABD面积的最大值为4 C.△ABF周长的最小值为12 D. 6.(多选题)已知椭圆Γ:=1的左、右焦点分别为F1,F2,若P为Γ上一动点,记△PF1F2的内心为I,外心为M,重心为G,且△PF1F2的内切圆I的半径为r,△PF1F2外接圆M的半径为R,则(　　) A.∠F1PF2的最大值为 B.r的最大值为 C.为定值 D.的最小值为2 7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),若点P在双曲线C的渐近线上,且PF1=PF2,则△PF1F2面积的最大值为　　　　,实数a的最小值为　　　　.  8.已知P(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点,则x0+|2x0-y0+10|的最小值为　　　　.  9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B. (1)求椭圆C的方程; (2)若坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值; (3)若线段AB的垂直平分线过点(1,0),求k的取值范围. 10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,F为C的右焦点,直线l过点F,且与C的右支交于P,Q两点,当l垂直于x轴时,PQ=6. (1)求双曲线的方程; (2)过点F且垂直于l的直线l'与双曲线交于M,N两点,求的取值范围. 11.已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,椭圆M与圆O:x2+y2=r2(r>0)相交于点A,B,C,D. (1)当四边形ABCD的面积最大时,求圆O的半径; (2)直线l:x=ty+m与(1)中的圆O相切,并与椭圆M相交于P,Q两点,求△OPQ面积的最大值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练6　圆锥曲线中的最值、范围问题 1.D　由已知得a=4.∵BF2+AF2+AB=4a=16,∴BF2+AF2=16-AB, 根据椭圆的几何性质可知当AB⊥x轴时,AB有最小值,此时BF2+AF2有最大值,为10,在方程=1中,令x=-c,则y=±, ∴(AB)min=.故选D. 2.D　由已知得a=3,b=2,c=1,则F1(-1,0),F2(1,0),设直线F1M与PF2相交于点N,∵=0,∴PM⊥F1N, 又PM平分∠F1PF2,∴△F1PN是等腰三角形, ∴PF1=PN,点M为F1N的中点, 故OM=|PF1-PF2|=|PF1-a|=|PF1-3|, 设P(m,n),则|m|∈(0,3),则PF1=|m+9|,PF1∈(2,3)∪(3,4),∴OM∈(0,1),∴OM的取值范围是(0,1).故选D. 3.D　易知四个顶点的坐标分别为(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),四个焦点的坐标分别为(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),则S1=×2c×2c=2c2, 所以,当且仅当a=b时,等号成立.故当取得最大值时,a=b,所以c=a,所以双曲线C1的离心率为. 4.BCD　抛物线C的焦点为F(0,1), 设N(x,y),则, 整理得x2+y2-6y+7=0,即x2+(y-3)2=2,∴点N的轨迹是以(0,3)为圆心,为半径的圆, 设P(0,3),M(x1,y1),则y1≥0,, ∴当y1=1时,MP的值最小,为2,∴MN的最小值为2,故A错误; NF的最小值为2-,MF的最小值为1,∴MF+NF的最小值为3-,故B正确; MF的长等于点M到直线y=-1的距离,∴MN+MF的最小值为点P到直线y=-1的距离减去,即4-,故C正确; 设Q(0,2),则NF+(NQ+MN)≥MQ, 易得MQ=,当y1=0时,最小,为2,∴NF+MN的最小值为2,故D正确.故选BCD. 5.ABD　对于A,设A(m,n),则B(-m,-n),D(m,0),设E(x1,y1), 由题意可知m≠0,m≠x1,m+x1≠0, 则=1,两式相减得=0, 即,即kBE·kAE=-, 由kAB=,知kBE=kBD=kAB, 则kAB·kAE=-,所以kAB·kAE=-1,即AB⊥AE,故A正确. 对于B,由A知=1,不妨设点A在第一象限内,则m>0,n>0, 所以1=≥2,所以mn≤4,当且仅当m=2,n=2时取等号,故S△ABD=m×2n=mn≤4,故B正确. 对于C,椭圆C的左焦点为F(-2,设右焦点为F',则F'(2,0),根据椭圆的对称性可知BF=AF', 故△ABF的周长为2a+AB=8+AB. 因为AB不能与椭圆的短轴重合,所以AB>2b=4,故△ABF的周长大于8+4,故C错误. 对于D,由C的分析可知AF+BF=AF+AF'=2a=8, 故,当且仅当AF=时取等号,故D正确. 故选ABD. 6.ACD　对于A,在椭圆Γ中,a=2,b=,则c==1,即F1(-1,0),F2(1,0), 由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=4,F1F2=2c=2, 由基本不等式可得PF1·PF2≤=4,当且仅当PF1=PF2=2时,等号成立,所以在△PF1F2中,cos∠F1PF2= =-1≥, 又0<∠F1PF2<π,所以0<∠F1PF2≤,即∠F1PF2的最大值为,故A正确; 对于B,r(PF1+PF2+F1F2)=3r,若r为△ABC的内切圆半径,则S△ABC=r·C△ABC 当点P为椭圆Γ的短轴端点时,取最大值,为,所以r=,即r的最大值为,故B错误; 对于C,如图,设△PF1F2的内切圆与三边F1F2,PF2,PF1分别相切于点A,B,C, 因为I为△PF1F2的内心,所以PB=PC,F1A=F1C,F2A=F2B, 所以PB=PC==1, 又G为△PF1F2的重心, 所以)·,即为定值,故C正确; 对于D,因为PF1·PF2sin∠F1PF2, 所以r=PF1·PF2sin∠F1PF2, 又=2R,所以R=, 则= ==≥2,所以的最小值为2,故D正确.故选ACD. 7.答案　8 解析　设P(x,y),由PF1=PF2得, 整理得x2+y2-12x+4=0,即(x-6)2+y2=32, 所以点P(x,y)在圆(x-6)2+y2=32上, 则P(x,y)到x轴的最大距离为4, 所以△PF1F2面积的最大值为. 又渐近线y=±x与圆(x-6)2+y2=32有交点, 所以≤4,即36b2≤32(a2+b2),整理得a2≥,又a>0,所以a≥,所以实数a的最小值为. 8.答案　12- 解析　如图所示,过点P作直线l:2x-y+10=0的垂线,垂足为M,过点P作准线x=-1的垂线,垂足为G,且PG交y轴于Q,设抛物线的焦点为F,则F(1,0), 易得PM=,动点P到y轴的距离为PQ=|x0|=x0, ∴+x0=PM+PQ=PM+(PG-1)=PM+(PF-1),当且仅当F,P,M三点共线时,PM+PF有最小值,故PM+(PF-1)≥MF-1≥d-1(d为点F到直线l的距离). 又d=+x0≥-1, ∴, ∴x0+|2x0-y0+10|的最小值为12-. 9.解析　(1)由题设知故椭圆C的方程为+y2=1. (2)设直线l:y=kx+m,则,故4m2=3(1+k2), 联立消去y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 则Δ=36k2m2-12(m2-1)(1+3k2)>0,即1+3k2>m2, 即1+3k2>(1+k2),即9k2+1>0,显然成立. 所以xA+xB=-, 则AB=·|xA-xB|=, 所以△AOB的面积S=, 当且仅当9k2=,即k2=,即k=±时等号成立, 所以△AOB面积的最大值为. (3)由(2)知xA+xB=-,则AB的中点坐标为-,设该点为G. 由AB的垂直平分线过点(1,0),得k≠0,且,整理得-1-3k2=2km, 所以=4k2m2,由(2)知1+3k2>m2, 所以<4k2(1+3k2),解得k2>1,即k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 10.解析　(1)依题意得c=2a,当l垂直于x轴时,PQ==6,即b2=3a,即c2-a2=3a,即4a2-a2=3a,所以a=1,b=,因此双曲线的标准方程为x2-=1. (2)由(1)知c=2,则F(2,0),设直线PQ的方程为x=my+2,与双曲线的方程联立, 消去x得(3m2-1)y2+12my+9=0. 当m=0时,直线l:x=2,l':y=0,不妨设P在第一象限内,N在右支上,则P(2,3),Q(2,-3),M(-1,0),N(1,0),则=-12. 当m≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4), 因为直线PQ与双曲线右支相交,所以y1y2=<0,即m2<, 同理可得y3y4=, 依题意得)·(, )·(, y3y4 = =-, 因为m2<,所以m2+, 则<-6, 所以)<-12. 综上,的取值范围为(-∞,-12]. 11.解析　(1)根据题意可知e=,2b=2, 又a2=b2+c2,所以a=2,b=1,故椭圆M的方程为+y2=1, 联立 利用对称性可得四边形ABCD的面积S=4×2×, 又(r2-1)(4-r2)≤,当且仅当r2-1=4-r2,即r2=时取等号, 所以当S最大时,圆O的半径为. (2)由(1)可知圆O:x2+y2=, 因为直线l与圆O相切,所以点O到直线l的距离d=,可得m2=(t2+1), 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去x整理得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0, 所以Δ=4m2t2-4(t2+4)(m2-4)>0,得t2-m2+4>0,即t2-(t2+1)+4>0,得0≤t2<1, 由根与系数的关系得y1+y2=-,y1·y2=, 由弦长公式可知PQ= =, 故S△OPQ= =2× =,0≤t2<1, 令t2+4=x,则4≤x<5, 所以S△OPQ=, 由4≤x<5,得, 则当时,S△OPQ最大,为, 即△OPQ面积的最大值为. 解题技法　破解解析几何中的最值与范围问题的模板 1.用定义与性质:利用抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等,椭圆或双曲线上的点到两焦点的距离之间的固定规律,以及圆锥曲线的性质,将所求问题进行合理转化; 2.建立目标关系式:利用已知条件与圆锥曲线的定义、几何性质,建立目标关系式; 3.建立目标函数:求最值(范围)问题时,根据平面几何中的最值的结论(如两点间线段最短等)或基本不等式,建立目标函数,利用函数的知识求解. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$