第3章 专题强化练4（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

专题强化练4　圆锥曲线的离心率 1.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M,直线MF与另一条渐近线交于点N,若M是FN的中点,则双曲线的离心率为(　　) A.　　　　D.3 2.已知椭圆C:=1(a>b>0),长轴为A1A2,过椭圆上一点M向x轴作垂线,垂足为P,若,则椭圆C的离心率为(　　) A. 3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D,若MD>F1F2-MF1恒成立,则C的离心率的值可能为(　　) A. 4.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是(　　) A.e1e2=2　　　　B.=2 C. 5.已知椭圆方程为=1(a>b>0),若在该椭圆中截得的最大矩形的面积的范围是,则椭圆离心率 的范围是(　　) A. C. 6.(多选题)已知F1,F2是椭圆=1(a1>b1>0)和双曲线=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则以下结论正确的是　　(　　) A.=4c2 C.≥1+=1 7.如图所示,椭圆E的中心为坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,左、右焦点分别是F1,F2,延长B1F2交A2B2于点P,若∠B1PA2是钝角,则椭圆E的离心率e的取值范围是　　　　.  8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF2⊥x轴,过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线,与直线PF1交于点A,若点A在圆O:x2+y2=a2上,则C的离心率为　　　　.  答案与分层梯度式解析 专题强化练4　圆锥曲线的离心率 1.B　不妨设左焦点为F1,由题意可知∠MOF=∠NOF1, 又因为M是FN的中点,OM⊥FN,所以∠MOF=∠MON,所以3∠MOF=π,所以∠MOF=, 又双曲线的渐近线方程为y=±x, 所以=tan∠MOF=,因为a2+b2=c2,所以e==2.故选B. 2.B　不妨设A1(-a,0),A2(a,0),M(x0,y0),则=1,P(x0,0), 则A1P=|x0+a|,A2P=|x0-a|,MP=|y0|, 所以, 易知<a2,所以,即a2-, 代入椭圆方程可得=1,化简可得a2=3b2, 则离心率e=. 故选B. 3.A　由已知得F1(0,c),F2(0,-c),渐近线方程为y=±x.过点F2作F2E⊥OD,垂足为E(图略). 则EF2==b. 由双曲线的定义可得MF1-MF2=2a,故MF1=MF2+2a, 所以MD+MF1=MD+MF2+2a≥EF2+2a=b+2a,即MD+MF1的最小值为2a+b,当且仅当F2,M,D三点共线时取等号, 因为MD>F1F2-MF1恒成立,所以MD+MF1>F1F2恒成立,即2a+b>2c恒成立, 所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac, 所以3c2+5a2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1<e<.故选A. 4.D　因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO, 所以OF1=OP=OF2=c,所以PF1⊥PF2, 记椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,PF1=m,PF2=n, 则由椭圆和双曲线的定义可得m+n=2a1①,m-n=2a2②, ①2+②2可得2(m2+n2)=4(), 由勾股定理知m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=, 整理得=2,即=2,所以. 故选D. 5.C　不妨设矩形为ABCD,对角线AC所在直线的方程为y=kx(k>0), 联立=1,解得x2=, 所以矩形ABCD的面积S=4|xy|==2ab,当且仅当k=时取等号, 所以b2≤2ab≤b2,则b≤a≤b,即b2≤a2≤b2, 所以(a2-c2)≤a2≤(a2-c2), 即 故e∈. 故选C. 6.AC　不妨设P在第一象限. 对于A,由椭圆和双曲线的定义得 由余弦定理得P-2·PF1·PF2·cos, 所以(a1+a2)2+(a1-a2)2-2×(a1+a2)×(a1-a2)×=4c2,化简可得=4c2,故A正确; 对于B,因为 又因为=4c2,所以)=4c2,所以,所以=4c2不一定成立,故B错误; 对于D,因为=4c2,所以=1,所以=1,故D错误; 对于C,由D可知=1,所以≥1+2,当且仅当,即时取等号,故C正确.故选AC. 7.答案　 解析　结合题图易知∠B1PA2是向量的夹角.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,a>0,b>0,c>0, 则=(-c,-b),∵∠B1PA2为钝角,∴-ac+b2<0,又b2=a2-c2,∴a2-ac-c2<0,∴e2+e-1>0,解得e<或e>,又0<e<1,∴<e<1,∴椭圆E的离心率e的取值范围为. 8.答案　 解析　由题意知F2(c,0),将x=c代入=1中, 得=1,则y=±,即PF2=, 由PF2⊥x轴可知P在双曲线右支上,则PF1-PF2=2a,故PF1=2a+. 设PQ为∠F1PF2的平分线,由题意知F2A⊥PQ, 则PA=PF2,即PA=,而PF1=PA+AF1=2a+, 故AF1=2a, 由点A在圆O:x2+y2=a2上,得OA=a. 又OF1=c,所以cos∠PF1F2=, 在△AOF1中,OA2=O-2OF1·AF1cos∠PF1F2, 即a2=c2+4a2-2c·2a·,结合b2=c2-a2, 即得3a4-4a2c2+c4=0,即e4-4e2+3=0, 解得e2=3或e2=1(舍),故e=(负值舍去), 即C的离心率为. 解题技法　求椭圆或双曲线的离心率的方法 (1)定义法:由已知条件列出关于a、c的式子或找出a,b,c之间的关系,求得a、c的值,再代入e=求解. (2)齐次式法:由已知条件,结合a2,b2,c2之间的关系列出关于a、b、c的式子,然后两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的式子求解. (3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率. 注意:椭圆中e的范围是0<e<1,双曲线中e的范围是e>1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$