第2章 专题强化练3（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

专题强化练3　隐圆问题 1.已知圆C的半径为1,圆心在直线l:y=x+3上,点A(-1,0),B(1,0),若圆C上存在点P,使得PA2+PB2=10,则圆心C的横坐标a的取值范围为(　　) A.[-3,-2]　　　　B.[-3,0]　　　　C.[-2,-1]　　　　D.[-1,0] 2.已知O为坐标原点,C(1,0),B(2,0),点P是直线l:x+y-3=0上的动点,A为平面内一点,且∠ACB=2∠AOB,则∠APC的最大值为(　　) A. 3.已知圆C:(x-1)2+y2=2,直线l:y=kx-2,若直线l上存在点P,过点P引圆的两条切线l1,l2,使得l1⊥l2,则实数k的取值范围是(　　) A.∪[0,+∞)　　　　 B.∪[0,1) C.∪[1,+∞)　　　　 D. 4.已知A,B是圆M:(x-2)2+y2=1上不同的两个动点,AB=,O为坐标原点,则||的取值范围是(　　) A.[2-] C.[4-] 5.已知直线l1:x-my-2=0(m∈R)与l2:mx+y-2=0交于点A,点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,O为坐标原点,则AB的最大值为(　　) A.3 6.设平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,且·(b-c)=0,则|c|的最小值为(　　) A. 7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1,若直线y=k(x-1)+2上存在两个点Pi(i=1,2),过动点Pi作圆O的两条切线,A,B为切点,满足,则k的取值范围为(　　) A.∪(0,+∞) C.(0,1)　　　　D.(-∞,0)∪(1,+∞) 8.已知点A(-1,0),B(3,0),动点P满足PA2+PB2=26. (1)求动点P的轨迹方程; (2)直线l过点Q(-2,3)且与点P的轨迹只有一个公共点,求直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3　隐圆问题 1.B　由已知得圆心C(a,a+3),则圆C:(x-a)2+(y-a-3)2=1, 设P(x,y),由PA2+PB2=10,得(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=10,即x2+y2=4,所以点P在圆x2+y2=4上. 依题意知圆C与圆x2+y2=4有交点,则2-1≤≤2+1,解得-3≤a≤0, 所以圆心C的横坐标a的取值范围为[-3,0]. 故选B. 2.C　由∠ACB=2∠AOB及同弧所对的圆心角是圆周角的2倍知, 点A在以C为圆心,OC=1为半径的圆上. 当AP与圆C相切时,∠APC最大,此时sin∠APC=,当CP⊥l时,CP最小,sin∠APC最大,∠APC最大,此时CP=,sin∠APC=, 所以∠APC的最大值为. 故选C. 3.A　由题意得圆心C(1,0),半径r=,设P(x,y),切点分别为A,B,连接PA,PB,则PA⊥PB,且PA=PB, 连接AC,BC,由切线性质知PA⊥AC,PB⊥BC,所以四边形PACB为正方形, 连接PC,得PC=2,则点P的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆,其方程为(x-1)2+y2=4, 将直线l的方程化为一般式方程为kx-y-2=0, 要想存在点P满足题意,只需直线l与圆(x-1)2+y2=4有交点即可,则≤2,解得k≥0或k≤-,故实数k的取值范围是∪[0,+∞). 故选A. 4.C　圆M的圆心坐标M(2,0),半径R=1, 设圆心M到直线AB的距离为d,则AB=2, 即2,解得d=, 设线段AB的中点为N,则MN=d=, ∴点N的轨迹是以M(2,0)为圆心,为半径的圆,∴N的轨迹方程为(x-2)2+y2=, ∵||,OM=2, ∴OM-≤||≤OM+, 即2-≤||≤2+,即||的取值范围为 [4-].故选C. 5.C　由题意可得l1过定点(2,0),l2过定点(0,2),记M(2,0),N(0,2).由1×m+(-m)×1=0知l1⊥l2,又l1与l2交于点A,∴点A在以MN为直径的圆上,且此圆的圆心为(1,1),半径r1=,故此圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,记该圆为C. 圆(x+2)2+(y+3)2=2的圆心为(-2,-3),半径r2=,记D(-2,-3), ∵CD=,∴圆C与圆D外离, ∴AB的最大值为CD+r1+r2=5+2.故选C. 6.A　建立如图所示的平面直角坐标系, 不妨令a==(1,0),b=,因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为, 所以xB=2cos,所以b=), 设c==(x,y),则a-c=,b-c=(-1-x,-y), 由·(b-c)=0,得-y)=0,即-2-x+x2+y2-y=0, 即=3, 故点C的轨迹是以为圆心,为半径的圆,记D,又OD==1, 所以|c|=||≥-1.故选A. 7.B　设Pi(m,n),连接PiO,设∠APiO=∠BPiO=θ, 则PiO=,sin θ=, 所以cos∠APiB=cos 2θ=1-2sin2θ=1-, 又PiA=PiB=, 所以=PiA·PiBcos∠APiB=()2·, 令m2+n2=t(t>0),则(t-1),解得t=4或t=. 因为Pi(m,n)在圆O外,所以t=舍去, 即Pi(m,n)在以原点为圆心,2为半径的圆上, 因为直线y=k(x-1)+2上存在两个点Pi(i=1,2), 所以直线y=k(x-1)+2与圆x2+y2=4有2个交点, 所以<2,解得k<-或k>0. 综上,k的取值范围是∪(0,+∞).故选B. 8.解析　(1)设P(x,y),则(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=26, 整理得x2-2x+y2=8,即点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=9. (2)由题知直线l与圆(x-1)2+y2=9相切, 当l的斜率存在时,不妨设l:y=k(x+2)+3,即kx-y+2k+3=0, 则圆心(1,0)到l的距离d==3,解得k=0,此时直线l的方程为y=3; 当l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,此时直线l与圆相切. 综上所述,满足题意的直线l的方程为x=-2或y=3. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$