第2章 第2课时 圆的一般方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

第2课时　圆的一般方程 基础过关练 题组一　对圆的一般方程的理解 1.若方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,则m=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.-1或1　　　　D.-2或2 2.若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 3.已知圆E:x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称,则a=(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4 4.已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+mx-2y+2=0外,则实数m的取值范围为　　　　　　　　　.  题组二　求圆的一般方程 5.与圆x2+y2-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是　(　　) A.x2+y2-2x+4y-4=0　　　　B.x2+y2-2x+4y+4=0 C.x2+y2+2x-4y-4=0　　　　D.x2+y2+2x-4y+4=0 6.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为(　　) A.x2+y2-6x-6y-16=0　　　　B.x2+y2-2x+2y-8=0 C.x2+y2-6x-6y+8=0　　　　D.x2+y2-2x+2y-56=0 7.圆C:x2+y2-4y=0关于直线y=2x+1对称的圆的方程为(　　) A.x2+y2-2x-2y=0　　　　 B.x2+y2-2x-4y+1=0 C.x2+y2-=0　　　　 D.x2+y2-=0 8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限内,半径为,则圆C的一般方程为　　　　　　　.  题组三　求动点的轨迹方程 9.已知点P(4,3),点Q在圆x2+y2=4上运动,若点M满足,则点M的运动轨迹围成图形的面积为(　　) A.π　　　　B.2π　　　　 C.3π　　　　D.4π 10.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),则线段PQ的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　　.  11.已知圆O:x2+y2=4,直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0.若l过定点P,点M,N在圆O上,且PM⊥PN,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.  12.已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,0), C(1,). (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (2)在△ABC外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程. 能力提升练 题组一　圆的方程 1.若圆x2+y2+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)平分,则的最小值为(　　) A. 2.由曲线x2+y2=2|x|+2y围成的图形的面积为(　　) A.2π　　　　B.3π　　　　C.2π+3　　　　D.3π+2 3.已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　(　　) A.+1 题组二　圆的方程的综合应用 4.已知点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,与点C关于x轴对称,若过A,B,C三点的圆与x轴和直线x+y-1=0交于四点,则以这四个点为顶点的四边形的面积为(　　) A.6 5.已知a≠0,点(a,b)是圆x2+y2-4x-8y+16=0上任意一点,则　　(　　) A.a+b的最大值是4+2 B. C.a2+b2的最小值是24+8 D.a2+b2-2a+2b的最大值是30+4 6.已知点P(-1,-1),点M为圆O:x2+y2=1上的任意一点,点N在直线OP上,其中O为坐标原点,若MP=MN恒成立,则点N的坐标为　　　　.  7.在△ABC中,AB=3,sin B=m·sin A(m≥2),则△ABC面积的最大值为　　　　.  8.已知动点M与两定点Q,P的距离之比=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P,且λ=2,若点B(1,1),则2MP+MB的最小值为　　　　.  9.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向,且距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向,且距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程; (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船在O岛的南偏西30°方向,且距O岛40千米的M处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问:该船有没有触礁的危险,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第2课时　圆的一般方程 基础过关练 1.D　由方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,可得=1,解得m=±2. 故选D. 2.C　当方程表示圆时,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2<a<, 又a∈,所以a∈.故选C. 3.C　由于圆E关于直线l对称,所以圆心在直线l上,所以-1=0,解得a=2,故选C. 4.答案　(-3,-2)∪(2,+∞) 解析　因为方程x2+y2+mx-2y+2=0表示圆, 所以m2+(-2)2-4×2>0,即m>2或m<-2,① 因为点A在圆C外, 所以12+22+m-2×2+2>0,即m>-3,② 由①②得-3<m<-2或m>2, 故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(2,+∞). 易错警示　　　在运用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0时,要注意隐含条件D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误. 5.B　设所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+m=0(m≠3),由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-2×1+4×(-1)+m=0,解得m=4, 所以所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+4=0.故选B. 方法技巧　　　与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0,D2+E2-4λ>0,λ≠F. 6.C　设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心坐标为, 所以 所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0.故选C. 7.D　将圆C:x2+y2-4y=0化为标准形式为x2+(y-2)2=4,则圆心C(0,2),半径r=2. 设点C(0,2)关于直线y=2x+1对称的点为D(x0,y0),则 即对称圆的圆心为D. 又两圆半径相等,所以所求圆的方程为=4,化为一般方程为x2+y2-=0. 故选D. 8.答案　x2+y2+2x-4y+3=0 解析　易知圆心C的坐标为. 因为圆心在直线x+y-1=0上, 所以--1=0,即D+E=-2.① 因为,所以D2+E2=20.② 由①②可得 又圆心在第二象限内,所以->0, 即D>0,E<0,所以 所以圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 9.A　设M(x,y),Q(x0,y0), 由得M是线段PQ的中点,∴ 又Q在圆x2+y2=4上,∴(2x-4)2+(2y-3)2=4,即(x-2)2+=1, ∴点M的轨迹是半径为1的圆,面积S=π×12=π,故选A. 10.答案　x2-3x+y2+2=0 解析　设M(x,y),因为M是线段PQ的中点,所以点P(2x-3,2y),又点P在圆x2+y2=1上, 故(2x-3)2+(2y)2=1,即x2-3x+y2+2=0, 所以点M的轨迹方程为x2-3x+y2+2=0. 11.答案　 解析　直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,即(x-y)+m(2x+y-3)=0, 令即点P(1,1). ∵PM⊥PN,Q为MN的中点,∴MQ=PQ. 设Q(x,y),易知OQ⊥MN. 所以OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2, 即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得,即点Q的轨迹方程为. 12.解析　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0, 因为该圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点, 所以 所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-4=0. (2)设M(x,y),∵M为线段PD的中点,PD⊥x轴,D为垂足,∴D(x,0),P(x,2y), 又点P在圆x2+y2=4上, ∴x2+(2y)2=4,即+y2=1, 故点M的轨迹方程为+y2=1. 能力提升练 1.C　由题意得圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1, 又a>0,b>0,所以+2≥2+2=4,当且仅当,即a=b=时取等号,所以的最小值为4.故选C. 2.D　当x≥0时,曲线方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2; 当x<0时,曲线方程为x2+y2=-2x+2y,即(x+1)2+(y-1)2=2, 如图所示, 故所求面积为两个圆的面积减去中间重叠部分的面积, 易知两圆的半径都为,且两圆对称,故所求面积为2×π×()2-2×=3π+2.故选D. 3.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0,得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5, 因此圆心为C(-1,m),半径r=,当且仅当m=-2时,半径最小,即圆的面积最小,此时圆心为C(-1,-2),半径r=1,圆心到坐标原点的距离d=.根据圆的性质,可知圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=+1. 4.D　解法一:设B(x,y),则故B(2,2), ∵点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,∴C(-1,1), 设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则 因此圆的方程为x2+y2-2x-4=0,即(x-1)2+y2=5, 由题意易知四边形为矩形(直径所对的圆周角为直角),由解得y=±, 故该四边形的面积为.故选D. 解法二:因为点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称, 所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线x+y-1=0上. 又因为点A(-1,-1)与点C关于x轴对称, 所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线y=0上. 由所以圆心坐标为(1,0),设为P,圆的半径为AP=, 故圆的方程为(x-1)2+y2=5, 下同解法一. 5.B　圆的方程可化为(x-2)2+(y-4)2=4, 设0≤θ<2π且θ≠π,即0≤<π且, 则a+b=6+2sin θ+2cos θ=6+2, 当θ=时,a+b取得最大值6+2,故A错误; = =tan2, 所以当tan时,,故B正确; a2+b2=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2=24+8cos θ+16sin θ=24+8cos(θ-φ1),其中tan φ1=2, 所以当cos(θ-φ1)=-1时,a2+b2取得最小值24-8,故C错误; a2+b2-2a+2b=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2-2(2+2cos θ)+2(4+2sin θ)=24+8cos θ+16sin θ-4-4cos θ+8+4sin θ=28+4cos θ+20sin θ=28+4cos(θ-φ2),其中tan φ2=5, 所以当cos(θ-φ2)=1时,a2+b2-2a+2b取得最大值28+4,故D错误. 故选B. 方法总结　　　利用三角换元思想来求最值,是一个很好的方法.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可转化为=1,类比cos2θ+sin2θ=1,可以得到=cos θ,=sin θ,则可进行三角换元0≤θ<2π. 6.答案　 解析　易知直线OP的方程为x-y=0,由题意可设N(x0,x0),M(x',y'),则可得x'2+y'2=1, 由MP=MN,可得=2, 则2(x'+y')+3=2[-2x0(x'+y')+1+2], 即2(1+2x0)(x'+y')=(2x0+1)(2x0-1), 若MP=MN恒成立,则1+2x0=0,解得x0=-, 故N. 7.答案　3 解析　设角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为sin B=m·sin A,所以由正弦定理得b=ma,即AC=m·BC, 设边AB的中点为O,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 不妨设A,C(x,y), 由AC=m·BC得=m·, 因为m≥2,所以整理得x2+y2-=0, 由此可知点C的轨迹是以为圆心,r=为半径的圆,且除去当y=0时的两个点, 所以当点C在圆上运动时,点C到x轴的最大距离为半径r=, 所以△ABC的面积S=,易知y=在m∈[2,+∞)上单调递减, 所以Smax==3. 8.答案　 解析　由题意可得圆x2+y2=1是关于P,Q的阿波罗尼斯圆,且λ=2,则=2, 设M(x,y),Q(m,0),则=2, 整理得x2+y2+=0, 由该圆的方程为x2+y2=1得 解得m=-2,∴Q(-2,0), 易知2MP+MB=MQ+MB, 如图,当点M位于M1或M2时,MQ+MB取得最小值,且最小值为QB=. 9.解析　(1)由题意得A(40,40),B(20,0), 设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则 所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)该船有触礁的危险.理由:由题意得M(-20,-20),且该船的航线所在直线(记为l)的斜率为1, 故直线l:x-y+20-20=0, 由(1)知圆心C(10,30),半径r=10, 所以圆心C到直线l的距离d=,所以该船有触礁的危险. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$