3.3.2 抛物线的几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.3.2　抛物线的几何性质 基础过关练 题组一　抛物线的几何性质及其应用 1.抛物线y=x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离为(　　) A.4　　　　B.2　　　　C.　　　　D.1 2.(教材习题改编)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为(　　) A.8 3.已知线段AB是抛物线y2=4x的一条弦,且AB的中点M在直线x=1上,则点A的横坐标(　　) A.有最大值,无最小值　　　　 B.无最大值,有最小值 C.无最大值,无最小值　　　　 D.有最大值,有最小值 4.已知抛物线C的顶点是坐标原点O,焦点F在y轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若=-12,则抛物线C的方程为(　　) A.y2=8x　　　　B.y2=4x C.x2=8y　　　　D.x2=4y 5.写出一个同时满足以下条件的抛物线C的方程:　　　　.  ①C的顶点在坐标原点; ②C的对称轴为坐标轴; ③C的焦点到其准线的距离为. 题组二　抛物线几何性质的综合应用 6.已知mn≠0,则方程mx2+ny2=1与ny2=mx在同一坐标系内对应的图形编号可能是(　　) A.①④　　　　B.②③ C.①②　　　　D.③④ 7.如图1,某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成,为了更好地利用热效能,反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面),热馈源安装在抛物线的焦点处,圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面,防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离,已知口径长为40 cm,防护罩宽为15 cm,则顶点O到防护罩外端CD的距离为(　　) 　　　　　　图1　　　　　　　　图2 A.25 cm　　　　B.30 cm C.35 cm　　　　D.40 cm 8.已知抛物线W:y2=2px的焦点F关于原点O的对称点为A.若以F为圆心的圆经过点A且与W交于点B,C,则下面结论正确的是(　　) A.△BOC一定是钝角三角形 B.△BOC可能是锐角三角形 C.△ABC一定是钝角三角形 D.△ABC可能是锐角三角形 能力提升练 题组　抛物线几何性质的综合应用 1.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ⊥l,垂足为Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NRF=60°,则(　　) A.∠FQP=60°　　　　B.QM=1 C.FP=4　　　　D.FR=2 2.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点K,过点K的直线l与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知△NAB的面积为2,则直线l的斜率为(　　) A.±　　　　D.±2 3.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,且,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形AA1CF的面积为5,则准线l的方程为(　　) A.x=- C.x=-2　　　　D.x=-1 4.(多选题)已知A,B是抛物线C:y2=6x上的两动点,F是C的焦点,下列说法正确的是(　　) A.直线AB过焦点F时,以AB为直径的圆与C的准线相切 B.直线AB过焦点F时,AB的最小值为6 C.若坐标原点为O,且OA⊥OB,则直线AB过定点(3,0) D.与抛物线C分别相切于A,B两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点,则点N在抛物线C的准线上 5.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　) A.若AB=8,则点M到y轴的距离为4 B.过点(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 C.P是准线上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则FP=6 D.9AF+BF≥16 6.已知抛物线M:x2=4y,圆C:x2+(y-3)2=4,在抛物线M上任取一点P,向圆C作两条切线PA和PB,切点分别为A,B,则的取值范围是　　　　.  7.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,E的准线交x轴于点K,过K的直线l与拋物线E相切于点A,且交y轴正半轴于点P,△AKF的面积为2. (1)求抛物线E的方程; (2)过点P的直线交E于M,N两点,过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T,点H满足.证明:直线HN过定点. 答案与分层梯度式解析 3.3.2　抛物线的几何性质 基础过关练 1.A　把A(x0,2)代入抛物线方程中,得2=,解得x0=±4, 因为该抛物线的对称轴为y轴,所以抛物线y=x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离为4, 故选A. 2.A　由抛物线的对称性知等边三角形另外两个顶点关于x轴对称, 设另外两个顶点的坐标分别为(m>0), ∴tan 30°=,解得m=4, 故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A. 3.D　设A(x1,y1),B(x2,y2), 易知当点A在原点时,其横坐标有最小值,为0; 当点B在原点时,点A的横坐标有最大值,由=1,得x1=2,即点A的横坐标的最大值为2. 故选D. 4.C　根据题意设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则F, 易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立可得x2-2pkx-p2=0, ∴x1x2=-p2,y1y2=, 又=-12,∴x1x2+y1y2=-12,∴-p2+=-12,∴p=4, 故抛物线的方程为x2=8y. 5.答案　y2=x或y2=-x或x2=y或x2=-y(写出一个即可) 解析　由①②可知C的方程为抛物线的标准方程,由③可知p=, 所以抛物线C的方程可以为y2=x或y2=-x或x2=y或x2=-y(写出一个即可). 6.B　方程ny2=mx(mn≠0)表示焦点在x轴上的抛物线,④不符合要求. 当m,n>0时,方程mx2+ny2=1表示椭圆或圆,抛物线的开口向右,③符合要求. 当m,n<0时,方程mx2+ny2=1不表示任何图形. 当m>0,n<0时,方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,抛物线开口向左. 当m<0,n>0时,方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线,抛物线开口向左,①不符合要求,②符合要求.故选B. 7.C　以顶点O为坐标原点,射线OF所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图, 设轴截面边界曲线AOB所在抛物线方程为y2=2px(p>0), 则F,因为点A在抛物线上,所以400=2p,又p>0,所以p=10,则O到CD的距离d=+30=35(cm), 所以顶点O到防护罩外端CD的距离为35 cm.故选C. 8.A　设p>0,B位于第一象限,C位于第四象限, 由题意得F, 则圆的方程为+y2=p2,与y2=2px联立,解得则B, 则有xB=xC=xF,则BF⊥AF,则tan∠BOF==2, 根据对称性得tan∠BOC=tan 2∠BOF=<0, 又因为∠BOC∈(0,π),所以∠BOC∈,所以△BOC一定是钝角三角形,故A正确,B错误. 又因为AF=BF=p,且AF⊥BF,所以△ABF为等腰直角三角形,故∠BAF=,根据对称性知∠BAC=,则△ABC为直角三角形,故C,D错误.故选A. 能力提升练 1.ACD　如图所示,连接MF,QF,设准线l与x轴的交点为H. 易知焦点F(1,0),准线l:x=-1,∴FH=2,PF=PQ. ∵M,N分别为PQ,PF的中点,∠NRF=60°, ∴MN∥QF,∠QFH=∠NRF=60°. ∵PQ⊥l,∴PQ∥OR,∴∠FQP=∠QFH=60°,A正确. ∵PQ=PF,∴△PQF为等边三角形, ∵QH⊥HF,∴QF=2FH=4, ∴FP=PQ=QF=4,C正确. ∴MF⊥PQ,∴四边形QMFH为矩形, ∴QM=FH=2,B错误. ∵PQ∥OR,MN∥QF,∴四边形QMRF为平行四边形, ∴FR=QM=2,D正确.故选ACD. 2.A　易得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,则K(-1,0). 显然直线l的斜率存在且不为0,设其方程为x=ty-1(t≠0),与y2=4x联立,化简并整理得y2-4ty+4=0. 由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4, ∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2. ∵M是AB的中点,∴M(2t2-1,2t). 过点M且平行于x轴的直线为y=2t,与抛物线的交点为N(t2,2t),∴MN=t2-1. 又∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),∴|y1-y2|=4, ∴△NAB的面积S=MN·|y1-y2|=2()3=2,得t2=2(满足Δ>0),解得t=±. ∴直线l的方程为x=±y-1,即y=±(x+1), ∴直线l的斜率为±.故选A. 3.D　解法一:由题意知F,准线l的方程为x=-,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则,由,得,即x2=(3p-2x1),① 由题意知直线AB的斜率存在且不为0, 设直线AB的方程为y=k(k≠0),代入抛物线方程,消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+=0, 所以x1x2=,② 联立①②,得2-3px1+p2=0, 解得x1=p或x1=(舍去),所以|y1|=p, 易知四边形AA1CF是直角梯形,所以·|y1|=5, 将x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍负),所以准线l的方程为x=-1,故选D. 解法二:不妨设A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,则AF=, 因为,所以,解得cos θ=,则sin θ=, 易知四边形AA1CF是直角梯形,其中CF=p,AA1=AF=p,AC=AFsin θ=p·p,所以四边形AA1CF的面积为,解得p=2(舍负),所以准线l的方程为x=-1,故选D. 导师点睛　　　AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的倾斜角为α,则有下列结论成立: (1)x1x2=,y1y2=-p2. (2)AF=x1+. (3)AB=x1+x2+p=. 4.ABD　对于A,设线段AB的中点为M,分别过点A,B,M向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,M1(图略), 则由抛物线的定义可得AF=AA1,BF=BB1,则MM1=, 所以以AB为直径的圆与C的准线相切,故A正确. 对于B,易得F, 由题意可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x得y2-6my-9=0,则Δ=(-6m)2+36=36m2+36>0恒成立. y1+y2=6m,y1y2=-9,则x1+x2=my1+=6m2+3, 所以AB=x1+x2+3=6m2+6,当且仅当m=0时,AB取到最小值6,故B正确. 对于D,先证抛物线C在点处的切线方程为x=, 联立消去x得y2-2y0y+=(y-y0)2=0, 可知方程组只有一个解,即直线x=与抛物线C相切, 可知抛物线C在点A,B处的切线方程分别为x=, 联立即点N, 结合B可得,所以点N在抛物线C的准线x=-上,故D正确. 对于C,由题意可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+a,A,y1y2≠0, 则, 若OA⊥OB,则+y1y2=0,解得y1y2=-36或y1y2=0(舍去), 联立消去x可得y2-6my-6a=0, 则y1y2=-6a=-36,解得a=6, 此时Δ=(-6m)2+4×36=36m2+144>0,符合题意, 所以OA⊥OB,则直线AB过定点(6,0),故C错误. 故选ABD. 5.CD　由题意得 p=2,则抛物线C:y2=4x,所以焦点F(1,0),准线方程为x=-1, 对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=AF+BF=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6, 又M为线段AB的中点,所以M,所以点M到y轴的距离为=3,故A错误. 对于B,若过点(0,1)的直线斜率不存在,则该直线为y轴,易知y轴与抛物线C相切; 若过点(0,1)的直线的斜率为零,则直线的方程为y=1,联立 此时直线y=1与抛物线C只有一个交点; 若过点(0,1)的直线的斜率存在且不为零,设该直线的方程为y=kx+1, 联立可得k2x2+(2k-4)x+1=0,则解得k=1, 即直线y=x+1与抛物线C只有一个公共点,故满足条件的直线共有三条,故B错误; 对于C,过点Q作准线的垂线,垂足为Q',则QQ'=QF, 设准线与x轴交于点D,则△PQ'Q∽△PDF, 因为,所以, 则Q'Q=,则xQ=QQ'-1=,所以|yQ|=, 即Q'D=,所以PD=4,则PF==6,故C正确. 对于D,设直线AB的方程为x=my+1, 由消去x得y2-4my-4=0, 显然Δ>0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2==1, 所以=1, 所以9AF+BF=(9AF+BF) =10+≥10+2=16, 当且仅当,即AF=,BF=4时取等号,故D正确.故选CD. 6.答案　(-4,0] 解析　由已知得圆心C(0,3),半径r=2. 设点P(x0,y0),则=4y0, PC2=-2y0+9=(y0-1)2+8, 在Rt△PAC中, cos2∠PCA=, 易知∠ACB=2∠PCA,则cos∠ACB=2cos2∠PCA-1=-1, 则|cos∠ACB=4-4, 因为y0≥0,所以当y0=1时,取得最大值,为-4=0,又>0,所以>-4. 所以的取值范围是(-4,0]. 7.解析　(1)由题可知F,准线方程为x=-, 因为直线l的斜率存在且不为0,所以设l的方程为x=my-, 联立消去x,得y2-2pmy+p2=0, 因为l与E相切,所以Δ=4p2(m2-1)=0,所以m=1或m=-1, 因为直线l与y轴正半轴交于点P,所以m=1, 因此y2-2py+p2=0,所以y=p,所以A, 故AF⊥KF,所以S△AKF=p2=2,所以p=2(负值舍去),所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明:由(1)知A(1,2),l:y=x+1,所以P(0,1), 因为过点P的直线交E于M,N两点,所以MN的斜率存在且不为零, 设MN的方程为y=kx+1(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),联立消去x,得ky2-4y+4=0(k≠0), 则Δ=16(1-k)>0,所以k<1且k≠0,y1+y2=y1y2=. 易得直线OA:y=2x,令x=x1,得y=2x1,所以T(x1,2x1), 因为,所以H(x1,4x1-y1),所以kNH=, 所以直线NH的方程为y-y2=(x-x2), 所以y= =, 因为4x1x2-x1y2-x2y1=4×[y1y2-(y1+y2)]=0, 所以直线NH的方程为y=x,所以NH恒过定点(0,0). 16 学科网（北京）股份有限公司 $$