1.5.2 点到直线的距离（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.5.2　点到直线的距离 基础过关练 题组一　点到直线的距离 1.(多选题)已知直线l过原点,且A(1,4),B(3,2)两点到直线l的距离相等,则直线l的方程可以为(　　) A.x+y=0　　　　B.x+y-5=0 C.3x-2y=0　　　　D.3x+2y=0 2.已知点A(2,1),点B在直线x-y+3=0上,则AB的最小值为　　(　　) A.　　　　D.4 3.点P为x轴上的点,A(1,2),B(3,4),以A,B,P为顶点的三角形的面积为8,则点P的坐标为(　　) A.(7,0)或(-9,0)　 B.(7,0)或(-11,0) C.(7,0)或(9,0)　D.(-11,0)或(-9,0) 4.已知点P(x,y)在直线x-y-1=0上运动,则(x-2)2+(y-2)2的最小值是(　　) A. 题组二　两条平行线间的距离 5.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为d,则(　　) A.a=6,d= C.a=6,d= 6.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上的任意一点,则PQ的最小值为(　　) A. 7.已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取点A,在l2上任取点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离; (2)求直线l3的方程. 题组三　距离公式的综合应用 8.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A.3　　　　D.4 9.已知直线l1:ax-2y+3=0,l2:x+(a-3)y+5a=0. (1)当a=1时,求两直线间的距离; (2)若l1⊥l2,求a的值; (3)写出原点到直线l1的距离,并求出该距离的最大值. 能力提升练 题组　距离公式的综合应用 1.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为(　　) A. 2.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,点M(5,4),记M到l的距离为d,则d的取值范围为(　　) A.[0,3)　　　　C.[0,18]　　　　D.[0,18) 3.(多选题)若P,Q分别为l1:3x+4y-12=0,l2:ax+8y+c=0上的动点,且满足l1∥l2,则下列说法正确的有(　　) A.a=6 B.c≠-24 C.当c确定时,PQ有最小值,没有最大值 D.当PQ的最小值为3时,c=3 4.已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C.当四边形OACB(O为坐标原点)的面积取最小值时,点B到直线l1的距离是(　　) A. 5.若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式|2a+b+1|=|a-5b-1|=t,写出符合条件的实数t的一个取值:　　　　　　.  6.已知△ABC的顶点A(0,4),B(-4,0),C(2,0). (1)若直线l过顶点C,且顶点A,B到直线l的距离相等,求直线l的方程; (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出:三角形的外心、重心、垂心共线,这条直线被称为欧拉线,求△ABC的欧拉线方程. 7.已知三条直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原点到直线l1的距离是. (1)求a的值; (2)若a>0,能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是?若能,求点P的坐标;若不能,说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.5.2　点到直线的距离 基础过关练 1.AC　易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为kx-y=0,由已知及点到直线的距离公式可得,解得k=-1或k=,即直线l的方程为x+y=0或3x-2y=0.故选AC. 2.C　易知当AB与直线x-y+3=0垂直,且B为垂足时,AB的值最小,最小值为点A到直线x-y+3=0的距离,故(AB)min=.故选C. 3.A　设P(x,0),易求得直线AB的方程为x-y+1=0, 则点P到直线AB的距离d=, 又AB=, 所以S△ABP==8,解得x=-9或x=7, 所以点P的坐标为(7,0)或(-9,0).故选A. 4.A　(x-2)2+(y-2)2表示点P(x,y)与点(2,2)之间距离的平方, 因为点(2,2)到直线x-y-1=0的距离d=, 所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为d2=.故选A. 5.B　由题意可得2×3=-a,则a=-6,方程-6x+3y-4=0可化为2x-y+=0,则d=.故选B. 易错警示　应用两平行线间的距离公式时,两直线方程中x,y的系数要对应相等,如果不相等,要先化为相等再应用公式解决问题. 6.C　因为≠-,所以两直线平行, 将方程3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0, 由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离,即,所以PQ的最小值为.故选C. 7.解析　(1)易知l1与l2平行,所以两平行直线l1与l2间的距离d=. (2)由l3∥l2可设l3的方程为2x+3y+C=0(-8<C<18). 由题意知l3与l1之间的距离为,所以,解得C=5或C=31(舍去),所以l3的方程为2x+3y+5=0. 8.A　由题意知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上, 设该直线方程为x+y+c=0(-7<c<-5),则,即c=-6,∴点M在直线x+y-6=0上,∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即.故选A. 9.解析　(1)当a=1时,l1:x-2y+3=0,l2:x-2y+5=0, 所以两直线间的距离为. (2)若l1⊥l2,则a×1+(-2)×(a-3)=0,解得a=6. (3)原点到直线l1的距离d=,当a=0时,dmax=. 能力提升练 1.C　由题可得(m,n)为直线3x+4y=6上的动点,(a,b)为直线3x+4y=1上的动点, 的最小值可理解为两动点间距离的最小值, 显然最小值即两平行线间的距离,为=1.故选C. 规律总结　根据平面解析几何的相关知识可将具有显著特征的代数式赋予其几何意义,根据几何图形的相关性质求解,常见的有:系数不全为0的二元一次方程表示平面内的直线,表示平面内两点(m,n)与(a,b)间的距离.除此之外,涉及分式形式的代数式可考虑斜率. 2.B　当l过点M时,M到l的距离为0,此时(m+2)×5+(m-1)×4-3m-3=0,解得m=-,符合题意; 当l不过点M时,由直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,可得m(x+y-3)+2x-y-3=0, 由即直线l过定点(2,1),设为A, 则MA=, 当l与直线MA垂直时,d=3,此时距离最大, 因为kMA==1,所以kl=-=-1,m的值不存在,即这样的直线l不存在,所以0≤d<3.故选B. 3.ABC　因为l1∥l2,所以4a=3×8=24,,所以a=6,c≠-24,故A,B正确; 因为l1∥l2,所以PQ的最小值为l1,l2之间的距离,由A得l2:6x+8y+c=0,可变形为3x+4y+=0,故l1,l2之间的距离d=, 所以当c确定时,PQ有最小值,为,没有最大值,故C正确; 当=3时,c=6或c=-54,故D错误.故选ABC. 4.B　直线l1:x+ay=2a+4即为x-4=-a(y-2),l2:2x+ay=2a+8即为2(x-4)=-a(y-2),都过点(4,2),即点C(4,2). 在x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,同理可得B(4+a,0),如图, 所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=≥8+2, 当且仅当a=,即a=2时等号成立. 所以当a=2时,四边形OACB的面积取最小值. 此时,点B的坐标为(4+2,0),直线l1的方程是x+2=0, 故点B到直线l1的距离是.故选B. 5.答案　(答案不唯一) 解析　由|2a+b+1|=|a-5b-1|=t, 得=t,可以看成恰有三条不过原点的直线l:ax+by+1=0满足A(2,1),B(-1,5)到该直线的距离相等. 当AB∥l时,kAB=,则,此时t>0,有2条满足题意的直线l, ∵a,b不全为0,∴l不过原点,当l过原点时,方程为4x+3y=0,此时t=,故当t=且AB∥l时,有1条直线满足条件; 当l过线段AB的中点且不垂直于AB时,有2条满足题意的直线l,∵a,b不全为0,∴l不过原点,当l过原点和线段AB的中点时,方程为6x-y=0,此时t=,故当t=且l过线段AB的中点且不垂直于AB时,有1条直线满足条件; 当l过线段AB的中点且l⊥AB时,t=,有1条直线满足条件. 综上,当t=或t=或t=时,满足题意. 小题速解　本题是填空题,很容易想到当l过线段AB的中点且l⊥AB时的情况,可以直接计算这种情况下t的值. 6.解析　(1)直线l的斜率显然存在,可设直线l:y=k(x-2),即kx-y-2k=0, 由题意可得, 整理得|k+2|=|3k|,解得k=1或k=-, 所以直线l的方程为x-y-2=0或x+2y-2=0. (2)易得BC的垂直平分线的方程为x=-1,可设△ABC的外心P(-1,y), 因为PA=PC,所以, 则1+(y-4)2=9+y2,解得y=1,即P(-1,1), 由题意可知△ABC的重心G,则欧拉线的斜率kGP==1, 故△ABC的欧拉线的方程为y-1=x-(-1),即x-y+2=0. 7.解析　(1)因为原点到直线l1的距离是,所以,所以|a|=3,所以a=±3. (2)由(1)结合题意得a=3,所以直线l1:2x-y+3=0. 设存在点P(m,n)(m>0,n>0)满足题意, 则由点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍得,即|4m-2n-1|=4×|2m-n+3|=|8m-4n+12|, 所以4m-2n+13=0或12m-6n+11=0. 由点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是,得,化简得|2m-n+3|=|m+n-1|,所以m-2n+4=0或3m+2=0(舍去). 联立(舍去); 联立 故存在满足条件的点P. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$