1.5.1 平面上两点间的距离（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 基础过关练 题组一　两点间的距离及中点坐标公式 1.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是(　　) A.直角三角形　　　　B.锐角三角形 C.钝角三角形　　　　D.等腰三角形 2.(多选题)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标可以是(　　) A.(-4,5)　　　　B.(-1,2)　　　　C.(-3,4)　　　　D.(1,0) 3.点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0(m∈R)的距离的最大值是(　　) A.5　　　　B.2 4.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P,则线段AB的长为(　　) A.11　　　　B.10　　　　C.9　　　　D.8 5.(多选题)已知点A(-2,-1),B(2,2),直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足PA+PB=5,则实数a可能为(　　) A.-2　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.3 6.(教材习题改编)已知△ABC的顶点A(4,6),B(-1,1),C(3,3). (1)求BC边上的中线长; (2)求BC边上的中线所在直线的方程; (3)过A作直线l,若l被两坐标轴截得的线段的中点为A,求直线l的方程. 题组二　两点间的距离及中点坐标公式的应用 7.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后,再射到直线OB上(O为坐标原点),最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(　　) A.3 8.已知直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-5=0关于点M对称的直线方程为(　　) A.2x+3y+11=0　　　　B.2x+3y+12=0 C.3x-2y-5=0　　　　D.2x+3y-6=0 9.已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则PA+PB的最小值为　　　　.  10.直线3x+4y-12=0分别交x轴和y轴于点A,B,P为直线y=x+1上一点,则PA-PB的最大值是　　　　.  11.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),P(3,-1),Q(-3,3). (1)若P,Q两点到直线l的距离相等,求此时直线l的方程; (2)当k为何值时,原点到直线l的距离最大? 能力提升练 题组　两点间的距离及中点坐标公式的应用 1.已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l的距离最大为3,则的最小值为(　　) A.　　　　C.1　　　　D.9 2.已知直线l1:kx+2y-k-4=0恒过点M,点N的坐标为(4,6),直线l2:y=x-1上有一动点P,当PM+PN取得最小值时,点P的坐标为(　　) A. 　　　　B. C. 　　　　D. 3.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心,则△PQR的周长等于(　　) A. 4.(教材习题改编)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段的中点恰好为P,则直线l的方程为　　　　,此时被截得的线段长为　　　　.  5.已知实数x,y满足x-y=0,则的最大值是　　　　　　.  6.在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-4,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x-y+1=0,∠B的平分线所在直线的方程为2x+y-2=0,则直线BC的方程为　　　　　　.  7.已知△ABC的顶点A(-6,0),B(0,6),其外心、重心、垂心都在直线x-y+3=0上,则顶点C的坐标是　　　　.  8.已知直线l:(1+2λ)x-(λ+1)y-λ=0,λ∈R. (1)判断直线l是否过定点,若过,求出定点;若不过,说明理由; (2)若λ=-,求直线l被曲线:x2+y2=|x|+|y|(x,y不同时为0)所截得的线段长. 答案与分层梯度式解析 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 基础过关练 1.A　∵A(5,-1),B(1,1),C(2,3), ∴AB=, AC=,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.故选A. 2.BC　设所求点的坐标为(x0,y0),则x0+y0-1=0,且, 两式联立解得所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2),故选BC. 3.B　将直线方程变形为(x+y+4)+(-3x-y+4)m=0, 令则l恒过点(4,-8),设为B,所以A到直线l的距离的最大值为线段AB的长,此时l⊥AB. 易得AB=, 所以A到直线l的距离的最大值为2.故选B. 4.B　因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直,所以2×1+(-1)×a=0,解得a=2,所以P(0,5). 设A(m,2m),B,则所以A(4,8),B(-4,2), 所以AB==10,故选B. 5.CD　直线l的方程可变形为y-3=-a(x+3),故l过定点(-3,3),且斜率为-a,设C(-3,3).易求得AB==5, 要想直线l上存在点P满足PA+PB=5,则l与线段AB有交点, 因为kBC==-4, 所以-a∈,解得a∈,结合选项知C、D正确. 6.解析　(1)设BC的中点为E,则E(1,2), 所以中线长AE==5. (2)易求得kAE=,所以BC边上的中线所在直线的方程为y-2=(x-1),即4x-3y+2=0. (3)设直线l的方程为y-6=k(x-4),易知k<0,令x=0,则y=6-4k;令y=0,则x=4-,所以直线l与两坐标轴的交点坐标为(0,6-4k),, 由题意得解得k=-. 所以直线l的方程为y-6=-(x-4),即3x+2y-24=0. 7.C　如图,由题意得直线AB的方程为x+y=4,设P关于直线AB的对称点为Q(a,b), 则解得即Q(4,2), 设P关于y轴的对称点为T,则T(-2,0),故QT=,故光线所经过的路程是2.故选C. 8.A　由ax+y+3a-1=0,得a(x+3)+y-1=0, 联立 ∴直线ax+y+3a-1=0恒过定点M(-3,1). 在所求直线上任取一点P(x,y),设点P关于点M对称的点为P'(x0,y0), 则有 ∵点P'(-x-6,2-y)在直线2x+3y-5=0上, ∴2(-x-6)+3(2-y)-5=0,即2x+3y+11=0, ∴所求直线的方程为2x+3y+11=0.故选A. 9.答案　2 解析　易知点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0的同侧, 设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b), 则∴C(4,-2), ∴(PA+PB)min=BC=. 10.答案　 解析　由题意得A(4,0),B(0,3),如图所示,设点B(0,3)关于直线y=x+1的对称点为C(m,n), 则即C(2,1), 因为PB=PC,所以PA-PB=PA-PC≤AC,当且仅当A,C,P三点共线时,等号成立,即(PA-PB)max=AC=. 11.解析　(1)由题意得线段PQ的中点坐标为(0,1), 若l过线段PQ的中点,则-1+1+2k=0,解得k=0,此时直线l的方程为y=1,满足条件; 若l∥PQ,对直线l的方程变形得y=kx+1+2k,则k=kPQ=,则l的方程为2x+3y+1=0. 综上,直线l的方程为y=1或2x+3y+1=0. (2)由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)+(-y+1)=0, 令则直线l过定点(-2,1),设为N. 当直线l与ON垂直时,原点到直线l的距离最大, 最大值为ON=, 因为kON=-,所以k=2,即当k=2时,原点到直线l的距离最大. 解题模板　(1)已知P,Q两点到直线l的距离相等,求l的方程有两种情况,一是l过PQ的中点,二是l∥PQ. (2)求点M到直线l:Ax+By+C=0的距离的最大值,先求l所过的定点N,则所求最大值为线段MN的长,最后由两点间距离公式求值即可. 能力提升练 1.B　∵动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),∴a+bm+c-2=0. 则点Q到l的距离的最大值为线段PQ的长, ∴PQ==3,∴m=0,∴a+c=2. ∴,当且仅当a=时取等号.故选B. 2.B　由直线l1:kx+2y-k-4=0,即k(x-1)+2y-4=0, 可知该直线恒过点M(1,2), 因为(4-1-6)×(1-1-2)>0,所以点M,N在直线y=x-1的同侧. 设点M关于直线y=x-1的对称点为M'(a,b), 则所以M'(3,0).如图: PM+PN=PM'+PN≥M'N,当且仅当P,M',N三点共线时取等号,此时M'N的长为PM+PN的最小值, 直线M'N的方程为,即y=6x-18. 与直线l2:y=x-1联立,得 故当PM+PN取得最小值时,点P的坐标为.故选B. 规律总结　设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点M(x1,y1),N(x2,y2).若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,则M,N在直线的同侧;若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0,则M,N在直线的异侧. 3.A　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(4,0),C(0,4),A(0,0),所以直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0<t<4),点P关于直线BC的对称点为P1,点P关于y轴的对称点为P2,易得P1(4,4-t),P2(-t,0).易知直线P1P2就是RQ所在的直线,所以直线RQ的方程为y=·(x+t). 设△ABC的重心为G,则G, 所以,即3t2-4t=0,所以t=0(舍去)或t=,所以P1. 结合对称关系可知QP=QP1,RP=RP2, 所以△PQR的周长即线段P1P2的长,为.故选A. 4.答案　x+4y-4=0;2 解析　设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知点A关于点P的对称点(-a,2a-6)在l2上,设为B, 把点B的坐标代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,所以A(4,0),B(-4,2), 故l的方程为,即x+4y-4=0. 此时被截得的线段长AB=. 5.答案　 思路分析　赋予式子几何意义,它表示直线x-y=0上的点P(x,y)到点A(2,4),B(1,0)的距离之差,通过作B关于直线x-y=0的对称点B'求最值. 解析　表示直线x-y=0上的点P(x,y)到点A(2,4),B(1,0)的距离之差,设点B(1,0)关于直线x-y=0的对称点为B'(a,b), 则即B'(0,1), 则PA-PB=PA-PB'≤AB'=,当且仅当P,A,B'三点共线时取等号, 所以. 6.答案　18x-y-38=0 解析　设B(a,b),则AB的中点M, 把M的坐标代入直线CM的方程得+1=0,即a-b-4=0,① 又点B在直线2x+y-2=0上,所以2a+b-2=0,② 由①②得所以B(2,-2), 设点A(-4,2)关于直线2x+y-2=0的对称点为A'(m,n),则A'在直线BC上, 则所以A', 所以直线BC的方程为y+2=(x-2),即18x-y-38=0. 7.答案　(3,0)或(0,-3) 解析　设C(m,n),则△ABC的重心坐标为, 由题意可知+3=0,即m=n+3.① 易得线段AB的中点坐标为(-3,3),斜率kAB==1,则线段AB的垂直平分线的方程为y-3=-(x+3),即y=-x, 联立即△ABC的外心为,设为M. 由MC=MA,得,② 由①②得n=0或n=-3,即C(3,0)或C(0,-3),经检验均符合题意. 8.解析　(1)直线l:(1+2λ)x-(λ+1)y-λ=0,λ∈R,即(2x-y-1)λ+(x-y)=0, 令解得x=y=1,即直线l过定点(1,1). (2)若λ=-,则直线l:=0,即x=2y-1, 将x=2y-1代入x2+y2=|x|+|y|, 得(2y-1)2+y2=|2y-1|+|y|, 当y≥时,(2y-1)2+y2=2y-1+y,即5y2-7y+2=0, 解得y=1或y=(舍),则交点坐标为(1,1); 当0≤y<时,(2y-1)2+y2=1-2y+y,即5y2-3y=0, 解得y=0或y=(舍),则交点坐标为(-1,0); 当y<0时,(2y-1)2+y2=1-2y-y,即5y2-y=0, 解得y=0(舍)或y=(舍). 所以截得的线段长度为. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$