1.3 两条直线的平行与垂直（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.3　两条直线的平行与垂直 基础过关练 题组一　两条直线平行 1.下列说法中正确的有(　　) ①若两条直线的斜率相等,则两直线平行; ②若两直线平行,则两直线斜率相等; ③若两直线中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则两直线相交; ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行. A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.已知直线l1的倾斜角为60°,l2经过点A(1,),则l1,l2的位置关系是(　　) A.平行或重合　　　　B.平行 C.垂直　　　　D.以上都不对 3.已知直线l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,其中m>0,n>0,若l1∥l2,则的最小值为(　　) A.2　　　　B.2　　　　D.8 4.与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为　　　　　　　　.  题组二　两条直线垂直 5.(教材习题改编)已知△ABC的三个顶点A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),则AB边上的高CD所在直线的方程是(　　) A.x+5y-5=0　　　B.x+2y+5=0 C.2x+y-5=0　　　　D.2x-y-5=0 6.两条平行直线l1,l2分别经过A(1,1),B(0,-1)两点,当l1,l2间的距离最大时,l1的方程为(　　) A.x+2y-3=0　　　B.x-2y-3=0 C.2x-y-1=0　　　　D.2x-y-3=0 7.已知直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,a>0,b>0,且l1⊥l2,则的最小值为(　　) A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 8.已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则点A的坐标为(　　) A.(-19,-62)　　　　B.(19,-62) C.(-19,62)　　　　D.(19,62) 题组三　直线平行与垂直的综合应用 9.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,所构成的图形是(　　) A.平行四边形　　B.直角梯形 C.等腰梯形　　　D.以上都不对 10.(多选题)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0 C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 11.菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求: (1)AD边所在直线的方程; (2)对角线BD所在直线的方程. 能力提升练 题组一　两条直线平行 1.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与(m,n)重合,则m+n=(　　) A.1　　　　B.2 023　　　　C.4 043　　　　D.4 046 2.(教材深研拓展)(多选题)已知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,则经过点D且与直线AD夹角为45°的直线l的方程为(　　) A.2x-7y-1=0　　　　B.7x+2y-31=0 C.7x+2y-16=0　　　　D.2x-7y+29=0 3.三角形的欧拉线:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.-3　　　　D.3 4.设集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B=⌀,则实数a=　　　.  5.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点. (1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上; (2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标. 题组二　两条直线垂直 6.如图,分别以Rt△ABC的直角边AB,斜边BC为其中一边向三角形所在一侧作正方形ABDE和BCFG,则向量的夹角为(　　) A.45°　　　　B.60°　　　　 C.90°　　　　D.120° 7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=　　　　.  8.已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC的中点为D(0,2),斜边上的中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为　　　　　　.  题组三　直线平行与垂直的综合应用 9.(多选题)△ABC的三个顶点A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是(　　) A.边BC与直线3x-2y+1=0平行 B.BC边上的高所在直线的方程为3x+2y-12=0 C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-13=0 D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点(3,5) 10.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 答案与分层梯度式解析 1.3　两条直线的平行与垂直 基础过关练 1.A　①④中两条直线还有可能重合,②中两直线斜率还有可能都不存在,易知③正确.故选A. 2.A　由题意得l2的斜率k2=, ∵l1的倾斜角为60°,∴其斜率k1=tan 60°=, 故l1与l2平行或重合.故选A. 3.D　∵l1∥l2,∴1-n=2m,∴2m+n=1(m>0,n>0), ∴≥4+2=8, 当且仅当,即m=时,等号成立, ∴的最小值是8.故选D. 4.答案　3x+4y-24=0 解析　解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-的斜率为-, ∴设所求直线方程为y=-. 令x=0,得y=b;令y=0,得x=. 由题意知,b>0且=24,解得b=6(b=-6舍去), ∴所求直线的方程为y=-x+6,即3x+4y-24=0. 解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9). 令x=0,得y=-;令y=0,得x=-. 由题意得解得m<0, ∴=24,∴m=-24, ∴所求直线的方程为3x+4y-24=0. 5.D　由题意知kAB=,则kCD=-=2,故CD所在直线的方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.故选D. 6.A　当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大, 因为kAB==2,所以直线l1的斜率k=-, 所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 故选A. 7.D　因为l1⊥l2,所以a-1+2b=0,即a+2b=1, 又a>0,b>0,所以≥4+2=8,当且仅当,即a=时等号成立,故选D. 8.A　∵H为△ABC的垂心, ∴AH⊥BC,BH⊥AC. 又kBC=, ∴直线AH,AC的斜率存在,且kAH=4,kAC=5. 设A(x,y),则 ∴A(-19,-62). 9.B　由题意得kAB=,则kAB=kCD,kAD≠kCB, kAD·kAB=-1,所以AB∥CD,AD与BC不平行,AD⊥AB,故构成的图形为直角梯形.故选B. 10.AC　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以A中说法正确; 对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B中说法不正确; 对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以C中说法正确; 对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以D中说法不正确.故选AC. 11.解析　(1)∵点P在直线BC上,∴直线BC的斜率kBC==2,∵AD∥BC,∴kAD=2. ∴AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即2x-y+15=0. (2)易求得kAC=.∵BD⊥AC,∴kBD=. 易知AC的中点也是BD的中点,即(1,1), ∴对角线BD所在直线的方程为y-1=(x-1),即5x-6y+1=0. 能力提升练 1.C　设A(2,0),B(-2,4),则AB所在直线的斜率kAB==-1, 由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行, 所以=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.故选C. 2.BD　如图,由已知得,该平行四边形为四边形ABDC,所以AB∥CD,AC∥BD,故kAB=kCD,kAC=kBD. 由题意得kAB=kCD==1, 设D(x,y),则解得 故点D的坐标为(3,5),所以kAD=. 设所求直线l的斜率为k,则tan 45°=,解得k=或k=-, 所以直线l的方程为2x-7y+29=0或7x+2y-31=0.故选BD. 知识拓展　到角公式与夹角公式:若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, 则直线l1到l2的角的公式为tan θ=,直线l1与l2的夹角公式为tan θ=. 3.C　△ABC的重心为,即(1,1), 在直角坐标系中画出△ABC可知BC⊥AB, 所以外心为斜边AC的中点,即, 所以△ABC的欧拉线方程为,即x+2y-3=0, 因为直线ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行, 所以,解得a=-3.故选C. 规律总结　求解本题的关键是明确三角形的三心,重心即三条中线的交点,垂心即三条高所在直线的交点,外心即三条垂直平分线的交点,同时对结论“直角三角形的外心是斜边的中点”的灵活应用. 4.答案　-2或4 解析　集合A表示直线y-3=2(x-1),即直线y=2x+1上除去点(1,3)的点组成的集合, 集合B表示直线4x+ay-16=0上的点组成的集合,易知直线4x+ay-16=0过定点(4,0),故当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3), 所以-=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4. 易错警示　集合A中含有分式,要保证分母不为0,则集合A表示的直线要除去一个点,求解时不要忽略. 5.解析　(1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2(x1≠x2).由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且,又kOC=,所以kOC=kOD,即点C,D和原点O在同一条直线上. (2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1). 由直线BC平行于x轴,得log2x1=log8x2, 所以x2=,将其代入,得log8x1=3x1log8x1,由x1>1知log8x1≠0,故=3x1, 所以x1=,于是A(). 6.C　建立如图所示的平面直角坐标系,作AH⊥BC于H,DI⊥BC于I,设BC=1,∠ABC=θ, 则G(0,0),C(1,1),AB=BC·cos θ=cos θ,BH=AB·cos θ=cos2θ,AH=ABsin θ=cos θsin θ, 易知△ABH≌△BDI, 故BI=AH=cos θsin θ,DI=BH=cos2θ, ∴A(cos2θ,1-cos θsin θ),D(cos θsin θ,1+cos2θ), ∴kAG=, 故kAGkCD=-1,所以的夹角为90°,故选C. 7.答案　±1 解析　如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1). 由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于点D,且∠BCD+∠BAD=180°. ①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1. ②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD. 设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2, ∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=,∴tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1,解得k=-1. 综上,k=±1. 8.答案　x-3y+1=0 解析　∵中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0, ∴可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a<b), 由AC的中点为D(0,2),可得A(-a,3a-3), ∴kAE=, ∵△ABC为等腰直角三角形,CE为中线,∴CE⊥AB,∴kAE=-3+,∴a+b=3①. 连接DE,∵CE=AE,D是AC的中点,∴AC⊥DE,∴kAC·kDE=-1,∴=-1, 化简得2ab=3(a+b)-5②, 由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),则E(2,1), ∴直线AB的方程为y-1=(x-2),即x-3y+1=0. 9.BD　由题意得直线BC的斜率k=,又直线3x-2y+1=0的斜率为,故两直线不平行,A错误; 易得BC边上的高所在直线的斜率为-,故直线方程为y=-(x-4),即3x+2y-12=0,B正确; 当直线不过原点时,设方程为=1,把C(6,7)代入得=1,解得a=13,故方程为=1,即x+y-13=0, 当直线过原点时,方程为y=x,C错误; 易知过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点,即(3,5),D正确.故选BD. 10.解析　(1)设Q(x,y),由已知得kMN==3, ∵PQ⊥MN,∴kMN·kPQ=-1,即3×=-1(x≠3).① 由已知得kPN==-2,∵PN∥MQ,∴kPN=kMQ,即=-2(x≠1).② 联立①②,解得x=0,y=1,∴Q(0,1). (2)设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP, 又∵kNQ==2,解得x=1. ∴Q(1,0),又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$