1.1 直线的斜率与倾斜角（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

第1章 直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 知识点 1 直线的斜率 　　对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2(如图1),那么直线l的斜率k= (x1 ≠x2).如果x1=x2(如图2),那么直线l的斜率不存在. 必备知识 清单破 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　直线的斜率与直线方向的关系: (1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜; (2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜; (3)当直线的斜率为零时,直线与x轴平行或重合. 图1 图2 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到 与直线重合时,所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角. 规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围是{α|0≤α<π}. 知识点 2 直线的倾斜角 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示          倾斜角α α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°  斜率 k=0 k>0 k不存在 k<0 　　当直线与x轴不垂直时,该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k=tan α . 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.任何一条直线都有倾斜角吗? 2.任何一条直线都存在斜率吗? 3.直线的斜率一定随着倾斜角的增大而增大吗? 4.不同的直线,它的倾斜角一定不相同吗? 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.是.当直线与x轴相交时,存在一个最小正角是直线的倾斜角,当直线与x轴平行或重合时,直 线的倾斜角是0. 2.不是.当直线的倾斜角为 时,直线的斜率不存在. 3.不一定.当直线的倾斜角α≠ 时,斜率k=tan α,由正切函数的图象可知,当α∈ ∪  时,k=tan α不单调. 4.不一定.当两条直线不平行时,它们的倾斜角不相同;当两条直线平行时,倾斜角一定相同. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 倾斜角和斜率的关系及其应用 　　当直线l的倾斜角α∈ 时,k≥0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α∈ 时,k< 0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α= 时,它的斜率不存在.k=tan α 的图 象如图所示. 　　由斜率k的范围截取函数图象,可得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函数图 象,可得到斜率k的范围. 关键能力 定点破 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的倾斜角的取值范围; (2)求直线l的斜率k的取值范围. 思路点拨    (1)由题意画出图形,分别求出P与线段AB端点连线的倾斜角,从而得出答案.(2)由 斜率是倾斜角的正切值即可得到k的取值范围. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图,当直线l过点B时,设l的倾斜角为α(0≤α<π), 则tan α= =1, 即α= ; 当直线l过点A时,设l的倾斜角为β(0≤β<π), 则tan β= =-1,即β= , ∴要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是 . (2)由(1)可知直线l的倾斜角的取值范围是 , ∴直线l的斜率的取值范围是k≤-1或k≥1. 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    本题易错误地认为斜率k的取值范围是-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于 直线PB与直线PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),即 ,利用k=tan α  的图象(如图所示)得到k的取值范围是k≤-1或k≥1.   第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念   1.求解三点共线问题 　　若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB =kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的斜率相同,又过同一点A(或B或C),所 以点A,B,C在同一条直线上. 2.求形如 的代数式的范围(最值)问题 　　形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义:过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的 斜率,并借助图形解决. 定点 2 直线斜率的应用 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知三点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,则a= (　    ) A.2或 　　　    B.2　　　    C. 　　　    D.-2 (2)已知正△ABC的顶点A(1,1),B(1,3),点C在第一象限,若点P(x,y)是△ABC内部及其边界上一 点,则 的最大值为 (　    ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.  A B 第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知该直线的斜率存在. 由题意可得kBC=kAB,即 = ,解得a=2或a= .故选A. (2)在平面直角坐标系中画出正△ABC,可知顶点C的坐标为(1+ ,2), 可看作△ABC内部 及其边界上一点P(x,y)与点(-1,0)连线的斜率, 当点P运动到点B时,直线的斜率最大,故 的最大值为 = .故选B.   第一章　直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$