3.3.2 抛物线的几何性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

知识点 1 抛物线的几何性质 知识 清单破 3.3.2 抛物线的几何性质 标准方程 (p>0) y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py p的几何意义:焦点F到准线l的距离 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 离心率 e=1 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.焦点弦的概念 　　过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦. 2.通径 　　过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的通径,抛物 线的通径长为2p,是所有焦点弦中最短的弦. 定点 2 抛物线的焦点弦 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 3.有关抛物线焦点弦的结论 　　如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),AA',BB'均 垂直于准线,直线AB的倾斜角为θ. 则有:(1)AB=x1+x2+p= ; (2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2; (3)AF= ,BF= ; (4) + = ; (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (6)以AB为直径的圆与准线相切; (7)A,O,B'共线,A',O,B共线; 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 (8)∠A'FB'=90°; (9)S△AOB= ; (10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 1.圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等 于常数e的点的轨迹,其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲 线的准线. 当0<e<1时,它是椭圆;当e>1时,它是双曲线;当e=1时,它是抛物线. 椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆或双曲线,与焦点F1(-c,0), F2(c,0)对应的准线方程分别为x=- ,x= . 2.阿基米德三角形:圆锥曲线的弦AB与过弦的端点的两条切线围成的△PAB叫作阿基米德三 角形. 　　抛物线阿基米德三角形的常用性质: (1)当AB过焦点时,点P在准线上且PA⊥PB,PF⊥AB; (2)当点P在准线上时,AB过焦点,底边AB的中线所在直线平行或重合于对称轴,且S△PAB的最小 值为p2. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.抛物线的标准方程有四种形式,它们的离心率都相等吗? 2.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是x=- 吗? 3.如何区分曲线是抛物线还是双曲线的一支? 4.“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充分必要条件吗? 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.相等.抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的比值,因为两个距离 相等,所以离心率都是1. 2.不是.将抛物线化成标准方程为x2= y(a≠0),所以其准线方程为y=- . 3.曲线的延伸趋势不相同,当抛物线y2=2px(p>0)上的点趋于无穷远时,抛物线接近于与x轴平 行;当双曲线上的点趋于无穷远时,双曲线接近于它的渐近线. 4.不是.当直线与抛物线有一个交点时,直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行(或 重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线有一个交点.因此“直线与抛物线只有一个交 点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 抛物线几何性质的应用 关键能力 定点破 　　涉及抛物线的几何性质的问题,常画出图形,结合抛物线的定义求解,通过图形可以直观 地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,AB=2 ,求 抛物线的方程. 解析    由已知得,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,故可设抛物线方 程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). ∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称, ∴点A与点B关于x轴对称, ∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 , ∴|y1|=|y2|= ,代入x2+y2=4,得x2+3=4, ∴x=±1,∴A(±1, )或A(±1,- ), 代入抛物线方程,得3=±a,∴a=±3. ∴所求抛物线的方程是y2=3x或y2=-3x. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论,并灵活运用.知识点2中有关焦 点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,在实际应用中不能盲目套用. 定点 2 抛物线的焦点弦问题 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且MF= 3NF,则k=　　　    . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S,设 NF=m(m>0),则MF=3m, 由抛物线的定义得MP=MF=3m,NQ=NF=m, 所以MS=2m,MN=m+3m=4m, 则sin∠MNS= = ,即∠MNS=30°, 故直线l的倾斜角为60°, 所以k=tan 60°= . 解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ , 由于MF= ,NF= ,且MF=3NF, 所以 = ,解得cos θ= , 所以θ= ,所以k=tan θ= . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 学科素养 情境破 素养解读 圆锥曲线的定点问题主要是曲线系(直线系)过定点问题,反映的是数学对象的本质属性,常见的具有圆锥曲线的性质背景的题目有蒙日圆、阿基米德三角形等;定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或代数表达式的值等和参数无关,是一个确定的值,这类问题的综合性比较强,常涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,同时与函数、不等式、方程、平面向量等知识紧密联系,解决此类问题需要有较强的运算能力和图形识别能力,能准确进行数与形的转换,合理猜想并仔细推理论证,在求解论证的过程中培养学生数学抽象和数学运算的核心素养. 素养 在解决圆锥曲线定点、定值问题中培养学生数学抽象和数学运算的核心素养 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 例题 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为2 ,离心率为 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)一条动直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,O为坐标原点,△OMN的面积为 ,求证:OM 2+ ON 2为定值. 典例呈现 主编点评    本题第(2)问是定值问题,题设条件没有给出这个定值,那么我们可以这样思考:由 于这个定值对符合要求的一些特殊情况必然成立,因此我们可以根据特殊情况先找到这个定 值,明确了解决问题的目标,然后进行一般情况下的推理证明. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    (1)设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),则2b=2 ,e= = , 所以b= , = = = = , 解得a= ,c=1, 故椭圆C的标准方程为 + =1. (2)证明:当直线l的斜率不存在时,不妨设l:x=n,- <n< ,n≠0, 将x=n代入椭圆方程 + =1, 可得y=± ,- <n< ,n≠0, 不妨设M ,N , 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 则S△OMN= ·MN·|n|=|n| = , 化简可得4n4-12n2+9=0,解得n=± , 此时M ,N , 故OM2+ON2= +12+ +(-1)2=5. 当直线l的斜率存在时,不妨设l:y=kx+m(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2), 联立 消去y整理得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0, Δ=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-6)>0,则2+3k2>m2, 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 由根与系数的关系得  易得点O到直线l的距离为 , MN= ·  = ·  = ·  = · , 所以S△OMN= · · · = , 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 整理得(3k2-2m2+2)2=0,所以3k2+2=2m2>m2,满足题意, 所以x1+x2= ,x1x2= , 故y1+y2=k(x1+x2)+2m= , y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =k2· +km· +m2= -1, 则OM2+ON2= + + +  =(x1+x2)2-2x1x2+(y1+y2)2-2y1y2 = -2· + -2  = - + - +2 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 = = =5. 综上,OM2+ON2为定值5. 思维升华 解决定点、定值问题可以直接推理求出定点、定值,也可以从特殊情形、极限状态、图形的 对称性等方面入手猜测结论,再证明这个点(值)与变量无关,要设定合理的变量,准确把握各 变量间的数量关系,充分利用题目信息,合理变形,另外,在解题过程中经常会用到设而不求整 体代换的思想和消元思想. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$