3.2.2 双曲线的几何性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

知识点 1 双曲线的几何性质 知识 清单破 3.2.2 双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程  - =1(a>0,b>0)  - =1(a>0,b>0) 图形     第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 几何性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 中心 O(0,0) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,长度为2a,线段B1B2叫作双曲线的虚轴,长度为2b 渐近线 直线y=± x 直线y=± x 离心率 e= ,e∈(1,+∞) 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 1.双曲线的通径:过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双曲线截得的弦叫作通径, 其长度为 ,通径是过双曲线的一个焦点与同侧双曲线的一支相交所得弦中最短的一条. 2.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是b. 3.双曲线 - =1(a>0,b>0)右支上任意一点M到左焦点距离的最小值为a+c;到右焦点距离的 最小值为c-a. 4.焦半径:双曲线上一点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作双曲线 的焦半径,记r1=PF1,r2=PF2. (1)对于 - =1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2= -ex0+a. (2)对于 - =1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2= -ey0+a. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 两类特殊的双曲线 等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质:①渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角;②a=b,离心率e=  共轭双曲线 定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率的倒数的平方和等于1 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.双曲线 - =1(a>0,b>0)与 - =1(a>0,b>0)的渐近线相同吗? 2.双曲线的离心率越大,其开口越大,对吗? 3.有相同渐近线的两条双曲线的离心率一定相等吗? 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近 线方程为y=± x,若a=b,则两双曲线的渐近线相同;若a≠b,则两双曲线的渐近线不同. 2.对.因为e= = = ,若a一定,则当e增大时,b增大,从而双曲线的开口变大. 3.不一定.不妨设两条双曲线具有共同的渐近线y=±mx(m>0),则它们的方程分别为 -x2=λ1和  -x2=λ2(λ1≠λ2),若λ1,λ2同号,则它们的离心率相等,若λ1,λ2异号,则当且仅当m=1时,它们的离心 率相等. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 双曲线的几何性质及其应用  关键能力 定点破 1.由双曲线的方程研究其几何性质的步骤 (1)将双曲线的方程化为标准方程; (2)根据标准方程确定焦点的位置,求出a,b的值; (3)由c2=a2+b2求出c的值,进而写出双曲线的几何性质. 2.根据双曲线的几何性质求其标准方程 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法.当双曲线的焦点位置不明 确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线的方程为mx2+ ny2=1(mn<0). (2)常见双曲线方程的设法 ①渐近线为y=± x的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近线的方程为 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0). ②与双曲线 - =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,λ≠1,a>0,b>0). ③与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0,a>0,b>0)或  - =λ(λ>0,a>0,b>0),要注意由离心率不能确定焦点位置. ④与椭圆 + =1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(b2<λ<a2). 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)渐近线方程为y=± x,经过点P(2,2); (2)焦点在x轴上,离心率为 ,且过点(2, ); (3)实轴长为2,且与椭圆 + =1共焦点. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0),将P(2,2)代入,解得λ=-12, 所以双曲线的标准方程为 - =1. (2)由e= = ,得c= a, 又b2=c2-a2=( a)2-a2=a2,故a=b, 故可设双曲线的方程为 - =1(a>0),把点(2, )代入,得 - =1,解得a2=2, 所以双曲线的标准方程为 - =1. (3)设双曲线方程为 - =1(4<λ<8). 因为实轴长为2,所以8-λ=1,解得λ=7. 所以双曲线的标准方程为x2- =1. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　  　　双曲线的渐近线与离心率是双曲线最重要的两个几何性质,需注意以下几点 以双曲线  - =1(a>0,b>0)为例 : (1)渐近线的斜率 与离心率e的关系: = ,e= . (2)已知渐近线方程为y=mx(m>0)求离心率时,若焦点的位置不确定,则双曲线的离心率有两种 可能. (3)求双曲线离心率的方法 ①公式法:直接求出a,c或找出a,b,c之间任意两个的关系,代入公式e= = 计算. ②构造法:根据已知条件,结合c2=a2+b2,构造关于a,c的方程(不等式),两边同时除以a的最高次 定点 2 双曲线的渐近线与离心率 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 幂,转化为关于e的关系式,再结合e∈(1,+∞)得出结果.求解范围时,注意利用图形中的不等关 系(如三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点的距离的范围等). ③特例法:通过特殊值或特殊位置求解. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知双曲线Γ: - =1(a>0)的一条渐近线方程是y=3x,则双曲线Γ的离心率为　　        ; (2)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若过点F2且斜率为 的直线l与 双曲线的右支交于A,B两点,则该双曲线的离心率的取值范围为　　　    . (1,2) 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知可得双曲线的焦点在x轴上,b=9,一条渐近线方程为y= x=3x, 所以a=3,c= =3 , 所以离心率e= = = . (2)双曲线的渐近线方程为y=± x, 由于过点F2且斜率为 的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,所以 < , 因此e= = = = <2, 又e>1,所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,2). 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$