2.1 圆的方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点就是圆心,定长就是半径. 第2章 圆与方程 2.1　圆的方程 知识点 1 圆的定义 必备知识 清单破 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.圆的标准方程 　　方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程.特别地,当a=b=0 时,方程为x2+y2=r2(r>0),表示以原点为圆心,r为半径的圆. 2.圆的一般方程 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程,化为标准形式为 + =  ,表示以点 为圆心, 为半径的圆. 　　说明:①当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ; ②当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形; ③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时,B=0,A=C≠0. 知识点 2 圆的方程 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 设所给点为M(x0,y0),则点与圆的位置关系如表: 知识点 3 点与圆的位置关系 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 MC=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2(或 + +Dx0+Ey0+F=0) 点在圆内 MC<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2(或 + +Dx0+Ey0+F<0) 点在圆外 MC>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2(或 + +Dx0+Ey0+F>0) 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 圆的直径式方程与圆的参数方程 (1)若圆的直径端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. (2)若点P(x,y)满足 (α为参数)(*),则点P的轨迹是圆心为(a,b),半径为r的圆.(*)式 叫作圆的参数方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.方程(x0-a)2+(y0-b)2=m2一定表示圆吗? 2.过原点的圆的标准方程是否可表示为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)? 3.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圆吗? 4.如果方程x2+y2+2kx+2y+2k2=0表示圆,那么k的取值范围是什么?点A(1,2)与此圆有怎样的位 置关系? 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.当m2>0时,方程表示以(a,b)为圆心,|m|为半径的圆;当m2=0时,方程表示点(a,b). 2.可以.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由原点在圆上得a2+b2=r2≠0,因此过原点的圆的标 准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0). 3.一定.方程可化为x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因为D2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠ 0)一定表示圆. 4.由方程表示圆,得(2k)2+22-4×2k2>0,解得-1<k<1.将x=1,y=2代入方程的左边,得9+2k+2k2>0,故 点A在圆外. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 圆的方程的求解  关键能力 定点破 1.直接代入法 　　确定圆心坐标和半径,直接代入圆的标准方程即可,确定圆心坐标和半径的方法: (1)利用条件确定圆心C(a,b)及半径r. (2)利用几何性质确定圆心C(a,b)及半径r,常用的几何性质如下: ①圆心与切点的连线垂直于圆的切线; ②圆心到切线的距离等于圆的半径r; ③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2; ④圆的弦的垂直平分线过圆心; ⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则此两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与 直线l的交点为圆心. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 2.待定系数法 (1)根据题意,设出所求圆的标准方程或一般方程; (2)根据已知条件,建立关于参数的方程组; (3)解方程组,求出参数的值; (4)将参数代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3); (2)与圆x2+y2-4x+6y+7=0同圆心且过点P(-1,1); (3)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(4,0),C(0,0),求△ABC外接圆的方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设圆心坐标为(a,0),因为点A(2,-3)在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25, 所以a=6或a=-2. 所以所求圆的标准方程为(x-6)2+y2=25或(x+2)2+y2=25. (2)解法一:设圆的方程为x2+y2-4x+6y+F=0(F≠7),把(-1,1)代入,得F=-12, 所以圆的方程为x2+y2-4x+6y-12=0,化为标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二:圆x2+y2-4x+6y+7=0的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=6,圆心坐标为(2,-3),设所求圆的方程为 (x-2)2+(y+3)2=r2(r>0,r≠ ), 将(-1,1)代入,得r2=25,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. (3)解法一:易得AC的垂直平分线的方程为y= ,CB的垂直平分线的方程为x=2, 所以圆心坐标为 ,半径r= = , 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 所以△ABC的外接圆的标准方程为(x-2)2+ = . 解法二:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则由 解得  所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-4x-3y=0,化为标准方程为(x-2)2+ = . 方法技巧    用待定系数法求圆的方程时,若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,通常设圆的标 准方程;若已知条件为多个点,通常设圆的一般方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法:根据已知条件,先抽象出动点间的几何关系,再利用解析几何的有关公式(两点间的 距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式. (2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,则可先设方程,再确定其中的基本量,进而求出动 点的轨迹方程. (3)相关点法:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相 关点)的运动而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动 点坐标表示相关点坐标,根据相关点坐标所满足的条件即可求得动点的轨迹方程. 定点 2 与圆有关的轨迹问题  第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知△ABC的顶点A(0,0),B(6,0). (1)若CB=2CA,求顶点C的轨迹方程; (2)若顶点C在曲线y=x2+3上运动,求△ABC的重心的轨迹方程. 思路点拨    (1)利用直接法求.先令C(x,y),再直接利用两点间的距离公式列方程求解.(2)用相 关点法求.先设出重心坐标(m,n),然后用m,n表示C的坐标,最后代入曲线方程得轨迹方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设C(x,y),由CB=2CA,得(x-6)2+y2=4(x2+y2),整理得x2+y2+4x-12=0, 又A,B,C三点不能共线,所以C的轨迹方程为x2+y2+4x-12=0(y≠0). (2)设△ABC的重心为(m,n),则C(3m-6,3n), 由顶点C在曲线y=x2+3上运动,得3n=(3m-6)2+3,所以n=3(m-2)2+1, 则重心的轨迹方程为3(x-2)2-y+1=0. 方法技巧    若除了求轨迹方程的动点外,无其他动点,一般考虑直接法;若有多个动点,且其坐 标之间存在一定关系,则考虑用相关点法,注意此时设要求轨迹的动点坐标. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$