1.2.2 空间中的平面与空间向量（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.2.2　空间中的平面与空间向量 基础过关练 题组一　平面的法向量 1.(多选题)已知平面ABC内的两个向量=(0,2,-2),则平面ABC的一个法向量可以是(　　) A.(,1,1) C.(-3,) 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),则平面ABE的一个法向量为(　　) A.(1,0,-2)　　　　B.(0,1,2) C.(0,2,-4)　　　　D.(-2,1,4) 3.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立空间直角坐标系,求平面SAB、平面SDC的一个法向量. 题组二　用法向量解决平行问题 4.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1),向量= (1,1,1),则(　　) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α与平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 5.已知n1=(1,y,-2),n2=(x,-2,1)分别是平面α,β的法向量,若α∥β,则x+y=(　　) A.-　　　　 C.3　　　　 D. 6.已知n为平面α的一个法向量,l为一条直线,则“l⊥n”是“l∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点N在线段AC上,点M在线段A1D上,且A1M=,MN∥平面AA1B1B,则MN的长为(　　) A.　　　　 C.2　　　　 D. 题组三　用法向量解决垂直问题 8.若直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则下列能使l⊥α成立的是(　　) A.u=(2,1,1),n=(-1,1,1) B.u=(1,-2,0),n=(-2,4,0) C.u=(1,2,4),n=(1,0,1) D.u=(1,-1,2),n=(0,3,1) 9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则下列结论正确的是(　　) A.BD1⊥平面B1EF　　　　B.BD⊥平面B1EF　　　　 C.A1C1∥平面B1EF　　　　D.A1D∥平面B1EF 10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证: (1)BD1⊥平面AB1C; (2)平面EAC⊥平面AB1C. 题组四　三垂线定理的应用 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　) A.AC　　　　B.BD　　　　C.A1D　　　　D.A1A 12.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD.若在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥QD,则a=　　　　.  13.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分别是△ABC,△PBC的垂心,求证:OQ⊥平面PBC. 能力提升练 题组一　利用空间向量研究平行、垂直问题 1.(多选题)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1的中点,AA1=AB=BC,AA1⊥平面ABC,∠ABC=90°,则下列结论错误的是(　　) A.平面ABC1⊥平面ACC1A1 B.平面A1BC⊥平面ABC1 C.A1D∥平面ABC1 D.A1D⊥AC1 2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是线段AD的中点,动点P在底面正方形ABCD内(不包括边界),若直线B1P∥平面A1BM,则||的取值范围是　　　　.  3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4, AA1=2,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足为D,E为线段A1B上一点. (1)若E为线段A1B的中点,证明:DE∥平面ABC; (2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求的值. 题组二　利用空间向量解决立体几何中的探索性问题 4.如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分别是BC,PC,CD的中点. (1)求证:BG⊥平面PAE; (2)在线段BG上是否存在点H,使得FH∥平面PAE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC=AA1=1,AC⊥BC,且D,E,F分别为棱AB,BC,AC的中点. (1)证明直线A1F与B1E共面,并求其所成角的余弦值; (2)在棱CC1上是否存在点M,使得DM⊥平面A1B1EF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.2.2　空间中的平面与空间向量 基础过关练 1.BC 2.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 11.B 1.BC　设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则取y=1,得n=(-,1,1);取y=,得n=(-3,).故选BC. 2.C　易得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0), 所以=(2,0,0). 设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z), 则取y=1,得m=(0,1,-2), 所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2), 所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一个法向量. 故选C. 3.解析　由已知得SA,AB,AD两两垂直, ∴以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. ∵SA=AB=BC=1,AD=, ∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D, ∴. 易知平面SAB的一个法向量为. 设平面SDC的一个法向量为m=(x,y,z), 则取z=1,则x=2,y=-1, ∴平面SDC的一个法向量为m=(2,-1,1). 解后反思　求解平面的法向量时,如果题目中已经给出坐标,可以直接利用坐标运算来求解法向量,如果题目中未给出坐标,需先分析条件,利用共点的相互垂直的三条直线建立恰当的空间直角坐标系,再利用坐标运算求解法向量. 4.A　因为n·=0,n·=0,AB∩AC=A,所以n也是平面ABC的一个法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.故选A. 5.D　∵α∥β,∴n1∥n2,∴,解得x=-.故选D. 6.B　若l⊥n,则l在平面α内或l∥α.若l∥α,则l⊥n.故“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B. 7.A　以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),则平面AA1B1B的一个法向量为=(2,0,0). 因为A1M=,所以M为A1D的中点,所以M(1,0,1). 因为点N在线段AC上,所以设N(m,2-m,0)(0≤m≤2),则=(m-1,2-m,-1). 因为MN∥平面AA1B1B,所以, 则2(m-1)=0,所以m=1,所以=(0,1,-1), 所以MN=|. 8.B　若l⊥α,则u∥n.故选B. 9.C　以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示. 设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),所以 =(2,0,2). 设平面B1EF的一个法向量为m=(x,y,z), 则令z=-1,则y=2,x=2, 所以m=(2,2,-1). 因为与m不平行,所以BD1与平面B1EF不垂直,故A错误; 因为与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,故B错误; 因为·m=0,且A1C1⊄平面B1EF,所以A1C1∥平面B1EF,故C正确; 因为·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF不平行,故D错误. 10.证明　以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(0,0,1),A(2,0,0), C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2). (1)易得=(-2,-2,2). 设平面AB1C的一个法向量为m=(x,y,z), 则取x=1,则y=1,z=-1, ∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量. ∵=-2m,∴∥m,∴BD1⊥平面AB1C. (2)易得=(-2,0,1). 设平面EAC的一个法向量为n=(x',y',z'), 则取x'=1,则y'=1,z'=2, ∴n=(1,1,2)是平面EAC的一个法向量. 由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量. ∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C. 11.B　直线CE在平面ABCD内的射影为AC,又AC⊥BD,∴BD⊥CE,故选B. 12.答案　2 解析　连接AQ,∵PA⊥平面ABCD,∴AQ是PQ在平面ABCD内的射影.由PQ⊥QD,得AQ⊥QD,则△AQD为直角三角形. 设BQ=x,则CQ=a-x,∴AQ2=1+x2,QD2=1+(a-x)2, 则a2=1+x2+1+(a-x)2,整理得x2-ax+1=0. 由题意知,该方程有两个相等的实数根, ∴Δ=a2-4=0.又∵a>0,∴a=2. 13.证明　如图,连接AO并延长,交BC于点E,连接PE. ∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心),∴PE⊥BC(三垂线定理),∴点Q在PE上. ∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE, ∵OQ⊂平面PAE,∴BC⊥OQ.① 连接BO并延长,交AC于点F,则BF⊥AC. 连接BQ并延长,交PC于点M,则BM⊥PC. 连接MF. ∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂线定理). ∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B, ∴PC⊥平面BMF, ∵OQ⊂平面BMF,∴PC⊥OQ.② 由①②知,OQ⊥平面PBC. 能力提升练 1.ABC　易得BB1,BA,BC两两垂直,故以点B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设AA1=2,所以AB=BC=2,则A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0), D(0,0,),所以). 设平面ABC1的一个法向量为u=(x1,y1,z1), 则取y1=,则u=(0,,-1). 设平面ACC1A1的一个法向量为m=(x2,y2,z2), 则取x2=1,则m=(1,1,0). 设平面A1BC的一个法向量为n=(x3,y3,z3), 则取x3=,则n=(,0,-1). 对于A,因为u·m=≠0,所以平面ABC1与平面ACC1A1不垂直,A中结论错误; 对于B,因为u·n=1≠0,所以平面A1BC与平面ABC1不垂直,B中结论错误; 对于C,因为·u=≠0,所以A1D与平面ABC1不平行,C中结论错误; 对于D,因为=4-4=0,所以AC1⊥A1D,D中结论正确.故选ABC. 2.答案　 解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则M. 设P(x,y,0)(0<x<1,0<y<1),则=(x-1,y-1,-1). 设平面A1BM的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则 令x1=2,则y1=z1=-1,∴n=(2,-1,-1). 若B1P∥平面A1BM,则n⊥,即n·=2(x-1)-(y-1)+1=2x-y=0,∴y=2x. ∴=(x,y-1,-1)=(x,2x-1,-1), ∴| ≤|. 3.解析　(1)证明:连接AC1,易得AC1==4,∴AC1=AB.又AD⊥BC1,∴D为BC1的中点. 又E为A1B的中点,∴DE∥A1C1. ∵AC∥A1C1,∴DE∥AC, 又DE⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC. (2)以A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略), 则A(0,0,0),C1(2,0,2),所以). 设,0≤λ≤1,则E(0,4λ,2λ),所以λ). 设平面A1BC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则取z1=2,得n=(0,,2). 设平面ADE的一个法向量为m=(x2,y2,z2), 则 取z2=-2λ,得m=(4λ,-2λ). ∵平面ADE⊥平面A1BC1, ∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ=. ∴当平面ADE⊥平面A1BC1时,. 4.解析　因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以PA,AB,AD两两互相垂直. 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0). (1)证明:=(2,1,0). 因为=0,所以BG⊥AP,BG⊥AE, 又AE∩AP=A,AE,AP⊂平面PAE,所以BG⊥平面PAE. (2)假设在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE.连接FB.设(0≤λ≤1),则=(1-λ,2λ-1,-1). 因为FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE, 所以=-1×(1-λ)+2×(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3=0,所以λ=,所以在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE,且. 5.解析　(1)∵E,F分别是棱BC,AC的中点,∴EF∥AB.由棱柱的性质易得A1B1∥AB,∴EF∥A1B1, ∴E,F,A1,B1四点共面,即直线A1F与B1E共面. 取A1B1的中点H,连接EH(图略). 易知四边形EFA1H为平行四边形,故A1F∥HE,则∠HEB1(或其补角)为直线A1F与B1E所成的角. ∵AC=BC=1,AC⊥BC,∴AB=A1B1=, 在△HEB1中,HB1=,HE=A1F=B1E=, ∴cos∠HEB1=, 即直线A1F与B1E所成角的余弦值为. (2)以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(0,1,1),B1(1,0,1),F. 所以. 设M(0,0,m)(0≤m≤1),则. 要使DM⊥平面A1B1EF,则 即 解得m=∈[0,1],即. 故在棱CC1上存在点M,使得DM⊥平面A1B1EF,且. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$