1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 1.2.2 空间中的平面与空间向量（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.2 空间向量在立体几何中的应用 知识 清单破 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 1.2.2　空间中的平面与空间向量 知识点 1 空间中点、直线的向量表示及平面的法向量 1.点的位置向量 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量 唯一确定, 此时, 通常称为点P的位置向量. 2.直线的方向向量 　　一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在 的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.平面的法向量 (1)平面的法向量的概念:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的 有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记 作n⊥α. (2)求平面的法向量的步骤: ①设平面的一个法向量为n=(x,y,z); ②在平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);(可以利用平面上点的坐标来求向量的 坐标) ③建立方程组  ④解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两个未知量的未知量赋予 特殊值(不能取0,赋值时一般尽量保证x,y,z∈Z,这样求得的法向量在后续解题运算中更为简 便),从而得到平面的一个法向量. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 空间中线面的位置关系 位置关系 向量表示 线线平行 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则u1∥u2⇔l1∥l2或l1与l2重合 线面平行 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,则l∥α或l⊂α⇔u⊥n 面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2 线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2 线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n 面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>. 特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|. 注意:异面直线所成角的范围为 . 知识点 3 空间中两条直线所成的角 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 4 三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理 　　如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂 直.三垂线定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a⊂α,若a⊥l',则a ⊥l. 2.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂 直.三垂线定理的逆定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a⊂α, 若a⊥l,则a⊥l'. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.直线的方向向量是唯一的. (　    ) ✕ 2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. (　    ) √ 3.若直线l⊥平面α,则l的方向向量一定是平面α的法向量. (　    ) √ 4.若点A,B在平面α上,且 ∥ ,则直线CD与平面α平行. (　    ) ✕ 提示 题目未说明直线CD在平面α外,所以有两种可能,直线CD在平面α内或与平面α平行. 5.一条直线若垂直于斜线,则它必垂直于斜线在平面内的射影. (　    ) ✕ 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用空间向量解决平行问题 1.利用空间向量证明线线平行 (1)基底法:用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过线性运算,证明方向向量共线 即可. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量的坐标之间的线性关系进行证明. 2.利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)根据线面平行的判定定理,要证明一条直线和一个平面平行,只需在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量即可,需要特别说明的是已知直线不在平面内. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用空间向量证明面面平行 (1)证明两个平面的法向量平行. (2)转化为线面平行、线线平行来证明. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证: (1)MN∥平面A1BD; (2)平面A1BD∥平面CB1D1.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明    如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,   设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N , ∴ =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = . (1)证法一:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则  第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 令x=1,则y=-1,z=-1, ∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1). ∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0, ∴ ⊥n. 又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD. 证法二:∵ = = (1,0,1)=  , ∴ ∥ . 又MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)设平面CB1D1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则  令y1=1,则x1=-1,z1=1, ∴平面CB1D1的一个法向量为m=(-1,1,1). 又平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1), ∴m=-n,∴m∥n,故平面A1BD∥平面CB1D1. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 2 利用空间向量解决垂直问题 1.利用空间向量证明线线垂直只需证明两直线的方向向量垂直即可. 2.利用空间向量证明线面垂直 (1)基底法:先用基底分别表示直线与平面内两条相交直线的方向向量,然后利用直线的方向 向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积分别为0得到线线垂直,从而得到线面垂直. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 3.利用空间向量证明面面垂直 (1)利用两个平面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直. (2)直接求解两个平面的法向量,证明两个平面的法向量垂直,从而得到两个平面垂直. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明    证法一:设 =a, =c, =b,连接BD,则 = + = ( + )= ( + )=  ( + - )= (-a+b+c). ∵ = + =a+b,∴ · = (-a+b+c)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,∴  ⊥ ,即EF⊥AB1. 同理可证EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC. 证法二:设正方体的棱长为2a,建立空间直角坐标系,如图, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0). ∵ · =-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,  · =2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面B1AC, ∴EF⊥平面B1AC. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平 面AEC1⊥平面AA1C1C.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明    由题意得BA,BC,BB1两两互相垂直.以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,   则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E ,∴ =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,2,1), =  . 设平面AA1C1C的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则 即  第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0). 设平面AEC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则 即  令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4). ∵n·m=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴n⊥m,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 利用空间向量求异面直线所成的角(或夹角的余弦值)的方法 (1)坐标法: ①建立适当的空间直角坐标系,并写出相应点的坐标; ②求出两条异面直线的方向向量; ③利用公式cos<a,b>= 求向量夹角的余弦值; ④将所求向量夹角的余弦值加上绝对值,得异面直线所成角的余弦值,进而求出异面直线所 成角的大小. (2)基底法:在一些不适合建立坐标系的题目中,我们经常用基底法.在由公式cos<a,b>=  疑难 3 利用空间向量求异面直线所成的角(或夹角的余弦值) 讲解分析 求向量a,b的夹角时,一般是把a,b用一组基底表示出来,再求有关的量. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则异面直 线BM与AN所成角的余弦值为 (　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  C 解析    以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.   设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,0),N(1,0,2),M(1,1,2),B(0,2,0),∴ =(-1,0,2), =(1,-1,2), ∴cos< , >= = = ,∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 4 利用空间向量解决立体几何中与平行、垂直相关的探索性问题 讲解分析 1.存在、判断型 先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程“是否有解”或“是否有规定范围内的 解”的问题.若有解且满足题意,则存在;若有解但不满足题意或无解,则不存在. 2.位置探究型 借助向量,引入参数,综合题目信息列关系式,解出参数,从而确定位置. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D. (1)求证:A1C⊥平面AMN; (2)当AB=2,AD=2,A1A=3时,问:在线段AA1上是否存在一点P,使得C1P∥平面AMN?若存在,试确 定点P的位置;若不存在,请说明理由.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为CB⊥平面AA1B1B,AM⊂平面AA1B1B,所以CB⊥AM. 又因为AM⊥A1B,A1B∩CB=B, 所以AM⊥平面A1BC,所以A1C⊥AM. 同理可证A1C⊥AN. 又AM∩AN=A,所以A1C⊥平面AMN. (2)存在. 以C为坐标原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标 系Cxyz,如图.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 因为AB=2,AD=2,A1A=3,所以C(0,0,0),A1(2,2,3),C1(0,0,3),所以 =(2,2,3). 由(1)知CA1⊥平面AMN, 故平面AMN的一个法向量为 =(2,2,3). 假设线段AA1上存在一点P(2,2,t)(0≤t≤3),使得C1P∥平面AMN,则 =(2,2,t-3). 因为C1P∥平面AMN,所以 ⊥ , 所以 · =4+4+3t-9=0,解得t= ,所以P ,所以在线段AA1上存在一点P ,使得C1P∥平面AMN. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$