1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

知识 清单破 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点 1 空间向量的坐标与运算 1.空间向量的坐标 如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基 底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1 +ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 名称 坐标表示 线性运算 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3) 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 模 |a|= =  夹角 cos<a,b>= = (a≠0,b≠0) 2.空间向量坐标的运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 平行 a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3;当a的每一个坐标分量都不为零时,a∥b⇔ = =  垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过 O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴,这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. 2.相关概念 在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个 坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面,它们把空间分成八个 部分,如图所示.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　注意:在平面内画空间直角坐标系Oxyz时,一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°),z轴与y轴(或x轴)垂直. 3.空间直角坐标系下点的坐标 空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z). 此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐 标),z称为点M的竖坐标(或z坐标). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    空间直角坐标系中对称点的问题常常用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相 反”这个结论来解决. (1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); (2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); (3)点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c); (4)点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c); (5)点(a,b,c)关于xOy平面的对称点为(a,b,-c); (6)点(a,b,c)关于yOz平面的对称点为(-a,b,c); (7)点(a,b,c)关于zOx平面的对称点为(a,-b,c). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 空间向量坐标的应用 1.两点之间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间直角坐标系中的两点,O是坐标原点,则 = - =(x2-x1,y2-y1, z2-z1),所以P1P2=| |= . 2.中点坐标公式 已知空间直角坐标系中的两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点的坐标为  . 知识拓展    已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC重心的坐标为  . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 在这里要强调b的每一个坐标分量都不为0. 提示 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(b≠0),则a∥b的充要条件是 = = . (　    ) ✕ 2.空间向量 的坐标就是点P的坐标.(　    ) ✕ 提示 当O为坐标原点时,向量 的坐标才是点P的坐标. 3.点(2,1,3)关于xOy平面的对称点为(-2,-1,3). (　    ) ✕ 提示 根据“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”知,对称点为(2,1,-3). 4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量 与 的夹角为60°. (　    ) 提示 由已知得 =(0,3,3), =(-1,1,0),所以cos< , >= = ,故< , >=60°. √ 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题 1.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型:一是判定平行或垂直;二是已知平行 或垂直求参数. 2.利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题的一般步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标; (2)求出相关向量的坐标; (3)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),利用“a∥b(a≠0)⇔b=λa(λ∈R)⇔b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3”“a⊥b⇔ a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0”建立关系; (4)得出结论. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点. (1)求证: ∥ , ⊥ ; (2)若点M在线段AC1上,且 ⊥ ,求点M的坐标.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    以A为坐标原点,{ , , }为单位正交基底建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0, 0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),E ,G ,H .   (1)证明: =(1,0,1), = , = .因为 =2 , · =1× +0+1× = 0,所以 ∥ , ⊥ . (2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).易知 =(1,1,1). 由 ⊥ ,得 · =0,即x-1+y+z=0.① 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 因为点M在AC1上,所以设 =μ (0≤μ≤1),得x=μ,y=μ,z=μ.② 由①②得μ= , 所以x= ,y= ,z= . 所以点M的坐标为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 利用空间向量的坐标运算求夹角或线段长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标; (2)求出相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求两向量的夹角,利用两点之间的距离公式求线段的长度. 疑难 2 利用空间向量的坐标运算求夹角和长度 讲解分析 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=  CD,H是C1G的中点. (1)求 与 夹角的余弦值; (2)求FH的长. 解析    如图所示,以{ , , }为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz,   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则E ,F ,C1(0,1,1),G ,H . (1) = , = , ∴| |= ,| |= , · = , ∴cos< , >= = . (2)FH= = . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$