1.1.2 空间向量基本定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

知识 清单破 1.1.2　空间向量基本定理 知识点 1 空间向量共线、共面的有关定理 1.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a,那么存在唯一的实数λ,使得b=λa. 2.共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+ yb. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得p=xa+yb+zc. 2.基底 如果空间中的三个向量a,b,c不共面,则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量,这时 a,b,c组成空间向量的一组基底,记为{a,b,c},其中a,b,c都称为基向量;表达式xa+yb+zc称为向 量a,b,c的线性组合或线性表达式. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 当a与e1,e2不共面时,不能这样表示. 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.若向量e1,e2不共线,则对空间中任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R). (　    ) ✕ 提示 2.若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc(x,y,z∈R),则a,b,c可构成空间向量的一组基 底. (　    ) 提示 ✕ 三个向量必须不共面才行. 3.空间向量的基底确定后,空间内的任何一个向量都能用这组基底唯一表示. (　    ) √ 4.若{a,b,c}是空间向量的一组基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则必有x=y=z=0. (　    ) √ 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知e1,e2,e3不共面,且 =e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3, =e1+e2-e3,则{ , , }是空间向量 的一组基底.(　    ) √ 假设 , , 共面,则存在实数λ,μ,使得 =λ +μ ,即e1+2e2-e3=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ- μ)e3,∴-3λ+μ=1,λ+μ=2且2λ-μ=-1,无解,∴ , , 不共面,∴{ , , }能作为空间向量的一组基底. 提示 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 共面向量定理的应用 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面:利用已知条件将其中一个向量表示成另外两个向量的线性组合,即若p=xa+yb, 则向量p,a,b共面. (2)空间四点A,B,P,M共面:① =x +y ;② = +x +y ;③ =x +y +z (x +y+z=1);④ ∥ (或 ∥ 或 ∥ ).(O为空间中不与A,B,P,M重合的任一点,x,y,z∈ R) 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,四边形ABCD是平行四边形,过平面ABCD外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射 线上分别取点E,F,G,H,使 = = = =k,证明:E,F,G,H四点共面.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明    因为 = = = =k,所以 =k , =k , =k , =k . 连接AC,EG,在▱ABCD中, = + , 所以 = - =k( - )=k =k( + )=k( - + - )= - + - = + . 由共面向量定理可知, , , 共面, 又 , , 过同一点E, 所以E,F,G,H四点共面. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 2 空间向量基本定理的应用 1.用基底表示向量 　　若未给定基底,则先根据已知条件确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底.基 底确定后,利用空间向量的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换,把目标向量 逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果. 2.利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、模、夹角 根据已知条件确定基底,一般用已知的向量(向量的模、夹角已知)作为基向量,用基底表示要 求的向量,可证平行、垂直,可求两向量的数量积、夹角,向量的模. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E是线段CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设  =a, =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题:   (1)用基底表示向量 ; (2)证明: ⊥ , ⊥ . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接AE.  = + = +  = + ( - )=  +  =  + × ( + )=  +  +  = a+ b+ c. (2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , =b-a, =c-a. ∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0, ∴ ⊥ . ∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0, ∴ ⊥ . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$