1.1.1 空间向量及其运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.1 空间向量及其运算 知识 清单破 1.1.1　空间向量及其运算 知识点 1 空间向量的概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量),空间向量的大小称为向量的模(或长度) 单位向量 模等于1的向量 零向量 始点和终点相同的向量,规定零向量与任意向量平行 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 平行(共 线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反,那么称这两个向量平行(共线) 共面向量 对于空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 空间向量的线性运算 空间向 量的线 性运算 加法 三角形法则:a+b= + = ; 平行四边形法则:a+b= + =    减法 三角形法则:a-b= - =  数乘 (1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向: ①当λ>0时,与a的方向相同; ②当λ<0时,与a的方向相反. (2)当λ=0或a=0时,λa=0 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 运算律 (λ,μ ∈R) 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 空间向量的数量积 1.向量的数量积 两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>,其中<a,b>为a与b的夹角, 范围为[0,π]. 　　规定零向量与任意向量的数量积为0. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.空间向量数量积的几何意义 两个向量数量积的几何意义与投影有关.一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α), 过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或 平面α)上的投影. a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积,即向量a在向量b上的投影的数 量为 =|a|cos<a,b>. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b=0; (2)a·a=|a|2=a2; (3)|a·b|≤|a||b|; (4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R); (5)a·b=b·a(交换律); (6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.若两个向量是共线向量,则表示这两个向量的有向线段必在同一条直线上. (　    ) ✕ 表示这两个向量的有向线段所在的直线平行或重合. 提示 2.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. (　    ) 提示 向量共面时,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时,向量所在的直线才共面. ✕ 3.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=(b·c)·a. (　    ) ✕ 向量数量积的运算不满足乘法的结合律,(a·b)·c与c共线,(b·c)·a与a共线,但c与a不一定共 线. 提示 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 4.若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|. (　    ) 提示 ✕ |a·c|=|a||c||cos θ|,其中θ是向量a和c的夹角,|b·c|=|b||c|·|cos α|,其中α是向量b和c的夹角,而 |cos θ|和|cos α|不一定相等,故错误. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 向量的数量积 1.求两个向量的数量积的方法 (1)当所求数量积中两向量的夹角和模已知时,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>求解. (2)当所求数量积中两向量的夹角和模未知,但其他向量的模和夹角已知时,将所求数量积中 两向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式,再利用向量数量积的运算律展开,转化成已 知模和夹角的向量的数量积. (3)利用向量数量积的几何意义求解. 讲解分析 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.向量数量积的应用 (1)利用数量积求向量的夹角(或夹角的余弦值):可利用cos<a,b>= 求两个向量的夹角(或 夹角的余弦值).若a·b>0,则<a,b>∈ ;若a·b=0,则<a,b>= ;若a·b<0,则<a,b>∈ . (2)利用数量积求向量的模:求向量的模时,一般将此向量表示为已知的几个向量的和或差的 形式,求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|= (推广公式:|a±b|=  = )求解即可. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E,F,G分别是AB, AD,CD的中点. (1)求 · ; (2)求| |; (3)求cos< , >.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以 =  ,所以 · =  · = | || | cos 120° =- . (2)连接BG.由题意得 = + =  + ( + )= ( + - ),所以| |2= ( + - )2= × ( + + +2 · -2 · -2 · )=  × 12+12+12+2×1×1× -2×1×1× -2×1×1×   = ,所以| |= . (3)由题意得 = ( + ), = + =  - , 所以 · = ( + )· =  · -  +  · -  · = ×1×1× - +  ×1×1× - ×1×1× =- ,| |2= ( + )2= ( + +2 · )= ×(1+1+1)= ,| |2= 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念  =  - · + = -1×1× +1= , 所以| |= ,| |= , 所以cos< , >= = =- . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$