2.7 抛物线及其方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.7　抛物线及其方程 知识 清单破 知识点 1 抛物线的定义 　　一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的 距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线. 知识拓展    抛物线定义中,若定点F在定直线l上,则轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于l的 一条直线. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         焦点坐标         顶点坐标 (0,0) 准线方程 x=-  x=  y=-  y=  第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 离心率 e=1 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 抛物线的焦点弦 1.焦点弦 过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦. 2.通径 过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的通径,抛物线的 通径长为2p,是所有焦点弦中长度最短的弦. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.有关抛物线焦点弦的结论 如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上 的射影分别为A',B',直线AB的倾斜角为θ,则有:   (1)|AB|=x1+x2+p= ; (2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2; (3)|AF|= ,|BF|= ; 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 (4) + = ; (5)以AF,BF为直径的圆与y轴相切; (6)以AB为直径的圆与准线相切; (7)A,O,B'共线,A',O,B共线; (8)∠A'FB'=90°; (9)S△AOB= ; (10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. (　    ) ✕ 2.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 ,准线方程为x=  . (　    ) 提示 ✕ 将方程y=ax2(a≠0)化成标准形式为x2= y,其表示焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是  ,准线方程为y=- . 3.在抛物线y2=2px(p>0)中,p值越大,抛物线的开口越大,p值越小,开口越小. (　    ) √ 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 抛物线标准方程的求解 求抛物线标准方程的两种常用方法 (1)定义法:先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,若符合,再根据定义求出方程. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数的值. 　　当抛物线的焦点位置不确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨 论不同情况的次数. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程. (1)准线方程为y= ; (2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5; (3)经过点(-3,-1). 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得,抛物线的准线与y轴正半轴相交,故设抛物线的标准方程为x2=-2py(p> 0),则 = ,解得p= ,故抛物线的标准方程为x2=- y. (2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设抛物线的方程为x2=2my(m≠0), 由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为 x2=10y和x2=-10y. (3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ; 若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),则由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= . 故抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 2 抛物线定义的应用 讲解分析 1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题 　　先将几何条件转化,其关键是根据几何性质,将几何条件转化为抛物线的定义:动点到定 点的距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上;再利用抛物线的定义写出标准方程. 2.抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点之间的距离及到准线的距离的转化,通过 转化可以求最值、参数、距离. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)(多选)已知点F是抛物线C:y2=12x的焦点,点P是抛物线C上一点,M(4,3),则下列说法正 确的是 ( 　    ) A.抛物线C的准线方程为x=-3 B.若|PF|=7,则△PMF的面积为2 -  C.|PF|-|PM|的最大值为  D.△PMF的周长的最小值为7+  (2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为　      　    . ACD x2=-12y 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由y2=12x得p=6,∴抛物线C的准线方程为x=-3,故A正确. 根据抛物线的定义得|PF|=xP+ =xP+3=7,解得xP=4,当xP=4时,yP=±4 .∵M(4,3),∴PM∥y轴. 若P(4,4 ),则|PM|=4 -3,△PMF的底边PM上的高为1,故S△PMF= ×(4 -3)×1=2 - ;若P(4, -4 ),则|PM|=4 +3,△PMF的底边PM上的高为1,故S△PMF= ×(4 +3)×1=2 + ,故B错误. 易知F(3,0),∵|PF|-|PM|≤|MF|, ∴(|PF|-|PM|)max=|MF|= = ,故C正确. 过点P作PD⊥准线于点D(图略),则△PMF的周长为|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|PF|+ =|PM|+|PD|+ ,显然当点P,M,D位于同一条直线上时,|PM|+|PD|最小,为|MD|=7,故△PMF的周长的最小 值为7+ ,故D正确.故选ACD. (2)设动圆圆心M(x,y).由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等. 由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,其方程为x2=-12y. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 3 抛物线的焦点弦问题 讲解分析 1.解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论,并灵活运用.有关焦点弦的诸多结 论实质是利用抛物线的定义并结合相关知识推出的. 2.知识点3中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用 中,有些抛物线的方程可能不是这种形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套用. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF| =3|NF|,则k=　　　    . 解析    解法一:过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S(图略). 设|NF|=m(m>0),则|MF|=3m. 由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m, 所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m, 则sin∠MNS= = ,所以∠MNS=30°, 故直线l的倾斜角为60°,所以k=tan 60°= . 解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ . 由于|MF|= ,|NF|= , 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 且|MF|=3|NF|,所以 = , 解得cos θ= ,所以θ= , 所以k=tan θ= . 解法三:在抛物线y2=4x中,p=2, 所以 + = =1, 又因为|MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= . 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ , 所以 = ,解得sin θ= (负值舍去), 所以θ= ,故k=tan θ= . 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$