2.7.1抛物线的标准方程（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

2.7.1 抛物线的标准方程 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 |PF1|+|PF2|=2a > 2c 双曲线：在平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。 ||PF1|-|PF2||=2a < 2c 情景与问题 抛物线这个几何对象，我们并不陌生. 例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分；二次函数的图象是一条抛物线；等等. 到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？ 问题探究 在平面内与到定点F与到定直线 l 距离相等的点的轨迹是什么？ 一、抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线 l ( l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 这个定点叫做焦点 定直线叫做准线 |MF|=dM-l M 思考 平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹： l 不经过点F l 经过点F 抛物线 直线 探究 怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？ 设M(x,y)是抛物线上一点，则|MF|=dM-l 建立如图所示平面直角坐标系，设焦点F到准线l的距离为p，(p>0) 所以 整理得 y2=2px 则焦点F(,0)，准线为x= 二、抛物线的标准方程 开口方向 右 左 上 下 图像 标准方程 焦点 准线 定义 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py M M M M |MF|=dM-l 探究 如何根据抛物线方程判断焦点位置(开口方向)？ 开口方向 右 左 上 下 图像 标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py M M M M 谁是“一次项”，焦点就在哪个轴 一次项系数为正，焦点在正半轴；一次项系数为负，焦点在负半轴； 焦点坐标等于一次项系数除以4 【典型例题一】 例1. 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上. (2)抛物线的焦点是F(-3,0). 解：(1)由题意，抛物线的标准方程为y2=2px， 且p=3， 因此所求标准方程是y2=6x，准线方程为x= 【典型例题一】 例1. 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上. (2)抛物线的焦点是F(-3,0). 解：(2)因为抛物线的焦点是F(-3,0)， 所以抛物线的标准方程为y2=-2px， 且=3，则p=6 因此所求标准方程是y2=-12x，准线方程为x=3 【典型例题二】 例2. 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： (1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一. 解：(1)由已知可得焦点坐标为(0,2)， 因此抛物线得标准方程具有x2=2py的形式，且p=4， 从而所求抛物线的标准方程为x2=8y. 【典型例题二】 例2. 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： (1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是双曲线的焦点之一. 解：(2)因为双曲线中，c=， 又因为双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0,-5)或(0,5)， 如果抛物线的焦点为(0,-5)，则抛物线的标准方程为x2=-20y， 如果抛物线的焦点为(0,5)，则抛物线的标准方程为x2=20y. 【典型例题三】 例3 已知平面直角坐标系中，动点M到F(0,-2)的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线. 解：设M的坐标(x,y)，则根据题意可知 ，化简得 x2=4(|y|-y). 当y>0时，方程可变为x=0，这表示的是 端点在原点，方向为y轴正方向的射线，且不包括端点； 当y≤0，方程可变为x2=-8y，这表示的是焦点为F(0,-2)的抛物线. F x y 课堂小结 图像 标准方程 焦点 准线 定义 焦半径 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py M M M M |MF|=dM-l 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $$