2.6 双曲线及其方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.6　双曲线及其方程 知识 清单破 知识点 1 双曲线的定义 一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a<|F1F2|,则平面上满足||PF1|-|PF2||= 2a的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离|F1F2| 称为双曲线的焦距. 知识拓展    (1)当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端 点);当2a>|F1F2|时,动点P的轨迹不存在.(2)若将定义中的“||PF1|-|PF2||=2a”改成“|PF1|-|PF2|= 2a”,则动点P的轨迹是双曲线的一支. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 双曲线的标准方程与几何性质 1.双曲线的标准方程与几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形     标准 方程  - =1(a>0,b>0)  - =1(a>0,b>0) 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c(c= ) 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴长 实轴(线段A1A2)的长:2a; 虚轴(线段B1B2)的长:2b; 实半轴长:a;虚半轴长:b 渐近线 y=± x y=± x 离心率 e= (e>1) 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.等轴双曲线 　　实轴长和虚轴长相等的双曲线,称为等轴双曲线,其方程为x2-y2=±a2(a>0),离心率e= ,两 条渐近线互相垂直. 3.双曲线的其他几何性质 (1)双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于b. (2)通径:过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径,其长 度为 . (3)若双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,当点P在左支上时,|PF1|∈[c-a,+∞), |PF2|∈[c+a,+∞);当点P在右支上时,|PF1|∈[c+a,+∞),|PF2|∈[c-a,+∞). 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.平面内与两个定点间的距离的差等于常数的点的轨迹是双曲线. (　    ) ✕ 2.双曲线的离心率越大,开口越大. (　    ) √ 3.焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. (　    ) ✕ 4.双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若|PF1|=5,则|PF2|的值是1或9.  (　    ) 提示 ✕ 双曲线 - =1中,a=2,b=2 ,c= =4,若点P在双曲线的右支上,可得|PF1|≥a+c=6,若点P在双曲线的左支上,可得|PF1|≥c-a=2,由|PF1|=5可得点P在双曲线的左支上,可得|PF2|-|PF1|=2a=4,即有|PF2|=5+4=9. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 双曲线的标准方程的求解 1.定义法求双曲线的标准方程 　　根据双曲线的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出双曲线的标准方程. 2.待定系数法求双曲线的标准方程 　　根据焦点位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不定时,可 设为mx2+ny2=1(mn<0). 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用双曲线的性质确定双曲线的标准方程 (1)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0)或 - =λ (λ>0). 　　注意:已知离心率不能确定焦点位置. (2)与渐近线有关的双曲线的标准方程的设法: ①与双曲线 - =1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0). ②渐近线方程为ax±by=0(a>0,b>0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). (3)与焦点有关的双曲线的标准方程的设法: ①与双曲线 - =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(-b2<λ<a2). ②与椭圆 + =1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为 + =1(b2<λ<a2). 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=2 ,经过点(2,-5),焦点在y轴上; (2)经过点P ,Q ; (3)与双曲线 - =1有公共焦点,且过点(3 ,2); (4)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为 ,且经过点(-3,2 ); (5)渐近线方程为y=± x,且经过点(2,-3). 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0). 因为a=2 ,且点(2,-5)在双曲线上, 所以 - =1,解得b2=16. 故所求双曲线的标准方程为 - =1. (2)解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 因为点P 和Q 在双曲线上, 所以 此方程组无实数解. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 因为点P 和Q 在双曲线上, 所以 解得  所以双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设双曲线的标准方程为 + =1(mn<0).因为P,Q两点在双曲线上, 所以 解得  第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以双曲线的标准方程为 - =1. (3)解法一:设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0). 由题意易求得c=2 . 因为双曲线过点(3 ,2),所以 - =1.又因为a2+b2=20,所以a2=12,b2=8, 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设双曲线的标准方程为 - =1(-4<k<16),将(3 ,2)代入,得 - =1,解 得k=4或k=-14(舍去). 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 (4)设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).由题意得 解得  故所求双曲线的标准方程为 - =1. (5)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .① 因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.② 联立①②,无解. 当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .③ 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 因为点(2,-3)在双曲线上,所以 - =1.④ 联立③④,解得a2=8,b2=32. 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设双曲线的标准方程为 -y2=λ(λ≠0).因为点(2,-3)在双曲线上,所以 -(-3)2=λ,即λ=-8. 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两焦点F1,F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形. (1)令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,|F1F2|=2c,则 ①定义:|r1-r2|=2a. ②余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ. ③面积公式: = r1r2sin θ= =c|yP|. ④焦点三角形PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a. (2)由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面 积、周长及有关角、变量的范围等问题. 疑难 2 双曲线的焦点三角形问题 讲解分析 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)设F1,F2分别是双曲线x2- =1的左、右焦点,P是双曲线上一点,且3|PF1|=4|PF2|,则 △PF1F2的面积为 (　    ) A.4 　    B.8 　    C.24　    D.48 (2)双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为 (　    ) A.1或21　    B.14或36　     C.1　     D.21 (3)若F1,F2是双曲线 - =1的两个焦点,P是双曲线上的点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积 为　　　　    . 16 C D 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知点P在双曲线的右支上. 由题意得 解得  ∵|F1F2|=10,∴△PF1F2是直角三角形, ∴ = |PF1|·|PF2|=24.故选C. (2)设点P到另一个焦点的距离为m(m>0). ∵点P到一个焦点的距离为11, ∴由双曲线的定义得|11-m|=10, ∴m=1或m=21. ∵a=5,c=7,m≥c-a,∴m≥7-5=2,∴m=1不符合题意,舍去.∴m=21.故选D. (3)由题意可知a=3,b=4,c= =5. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 由双曲线的定义和余弦定理得||PF2|-|PF1||=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2·|PF1||PF2|cos 60°, ∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, ∴|PF1|·|PF2|=64. ∴ = |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×64× =16 . 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 3 双曲线的离心率问题 讲解分析 1.求双曲线的离心率 (1)易求a,c的值时,直接求出并代入e= 求解,有时要结合c2=a2+b2求解. (2)构建关于a,c的齐次方程,利用e= 将齐次方程转化为关于e的方程,解方程即可.注意e>1. 2.求双曲线离心率的取值范围 　　利用题设中的条件,构造关于a,b,c的齐次不等式,结合c2=a2+b2求解.解题时注意利用图形 中的位置关系(如三角形中的边角关系等). 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知双曲线 - =1(a>1,b>1)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的 距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥ c,则双曲线的离心率e的取值范围是 (　    ) A.(1, ]　    B.  C.[ ,+∞)　    D.  (2)如图,已知F1,F2分别为双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1 F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M,N两点,且∠MAN=135°,则该双曲线的离心率为  (　    ) A. 　    B. 　    C.2　    D.  D D 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得直线l的方程为 + =1,即bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式及a>1,b>1,得点(1,0)到直线l的距离d1= ,点(-1,0)到直线l的距 离d2= , ∴s=d1+d2= = .由s≥ c得 ≥ c, 即5a ≥2c2,即5 ≥2e2,即4e4-25e2+25≤0,解得 ≤e2≤5,又e>1,∴ ≤e≤ .故 选D. (2)易得以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,双曲线C的一条渐近线方程为y= x. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 由 解得 或  不妨设M(a,b),N(-a,-b). 因为A(-a,0),∠MAN=135°,所以∠MAO=45°,又tan∠MAO= ,所以1= ,即b=2a, 所以该双曲线的离心率e= = .故选D. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$