2.2.1 直线的倾斜角与斜率（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.2　直线及其方程 知识 清单破 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 知识点 1 直线的倾斜角 1.倾斜角的概念 　　一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的 交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角. 　　如果一条直线与x轴平行或重合,那么规定这条直线的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围 平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角,倾斜角的取值范围是[0,π). 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 直线的斜率 1.若直线l的倾斜角为θ,则当θ=90°时,直线l的斜率不存在;当θ≠90°时,直线l的斜率k=tan θ. 2.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则直线l的斜率不存在;若x1≠x2,则直线l的斜率 k= . 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 直线的方向向量和法向量 1.直线的方向向量与斜率的关系 (1)当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k); (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k= . 2.直线的法向量 (1)一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为l的法向量,记 作v⊥l. (2)一条直线的方向向量与法向量互相垂直.特别地,当x0与y0不全为0时,因为向量(x0,y0)与(y0,-x0) 是互相垂直的,所以,如果其中一个为直线l的一个方向向量,则另一个一定是直线l的一个法向量. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 只有当0°≤α<180°,且α≠90°时,才能由直线的斜率为tan α推出其倾斜角为α,否则不能,例如直线的斜率可以为tan 240°,但其倾斜角为60°. 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.直线与x轴的夹角称为直线的倾斜角.(　    ) ✕ 2.每一条直线都有唯一的倾斜角与斜率.(　    ) ✕ 3.若直线的倾斜角为60°,则它的一个方向向量为(1, ). (　    ) √ 4.若直线的斜率等于tan α,则α就是直线的倾斜角. (　    ) ✕ 提示 5.直线的倾斜角越大,斜率就越大. (　    ) ✕ 只有当倾斜角α∈ 或α∈ 时,直线的斜率才随倾斜角的增大而增大. 提示 6.若直线的一个法向量是(2,-3),则它的一个方向向量为(3,2). (　    ) √ 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 倾斜角与斜率的关系及应用 所有直线都有倾斜角,但并非所有直线都存在斜率.当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率 非负,倾斜角越大,斜率越大;当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率 越大.k=tan α 的图象如图所示:   　　由斜率k的范围截取函数图象,可得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函数 图象,可得到斜率k的范围. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的倾斜角α的取值范围; (2)若直线l的斜率存在,求直线l的斜率k的取值范围. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1.   (1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角), ∵PB的倾斜角是 ,PA的倾斜角是 , ∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ . (2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 2 直线斜率的应用 讲解分析 1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即 kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC 与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上. 2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜 率),借助图形,将求 的范围(最值)问题转化为求直线斜率的范围(最值)问题,从而简化运 算过程. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值. 思路点拨     的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线 的斜率,结合图形求出斜率的最大值和最小值即可. 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析     的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜 率. 作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象,如图.   由图可知,当直线经过点P(-2,-3)和B(-1,5)时,斜率最大; 当直线经过点P(-2,-3)和A(1,1)时,斜率最小. 又kPA= = ,kPB= =8, 所以 的最大值为8,最小值为 . 第二章　平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$