1.2.5 空间中的距离（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

知识 清单破 1.2.5　空间中的距离 知识点 空间中的距离 1.两点之间的距离 (1)构造三角形,通过解三角形求解. (2)利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|. (3)用坐标法求向量的长度,从而得到两点间的距离,此法适用于求解的图形适宜建立空间直 角坐标系的情况. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.点到直线的距离 　　如图①,若A是直线l外一点,B是直线l上一点,a是直线l的方向向量,则点A到直线l的距离 d= .        第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.点到平面的距离 　　如图②,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的 距离d= . 4.其他距离 (1)两平行直线之间的距离:在其中一条直线上取定一点,转化为直线外一点到直线的距离. (2)平行的线面、面面之间的距离:转化为平面外一点到平面的距离. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.若直线l平行于平面α,则直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的 距离. (　    ) ✕ 2.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,若点P(-2,1,4)到平面α的距离为  ,则x=-1.(　    ) ✕  =(x+2,2,-4),由题意得 = ,即 = ,解得x=-1或x=-11. 提示 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 利用空间向量研究距离问题 1.用向量法求距离问题的两种思路 (1)转化为求向量模的问题,过已知点作直线、平面的垂线段,利用待定系数法求出垂足的坐 标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法. (2)直接套用相关公式求解. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.利用空间向量解决与距离有关的探索性问题 解决几何体中与距离有关的探索性问题的方法与解决几何体中与空间角有关的探索性问题 的方法相同,一般通过求距离的基本方法把问题转化为求关于某个参数的方程的解的问题, 根据方程解的存在性来解决. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点. (1)求点A1到直线B1E的距离; (2)求直线FC1到直线AE的距离; (3)求直线FC1到平面AB1E的距离.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,   则A(1,0,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E ,F . (1)解法一:设点H满足 =λ 且A1H⊥B1E,连接DH,DB1,则 = + = +λ =(1,1, 1)+λ = 1-λ,1-λ,1- λ ,所以H ,所以 = . 因为A1H⊥B1E,所以 · =0,即-λ×(-1)+(1-λ)×(-1)+ × =0,解得λ= ,所以 = 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念  ,所以点A1到直线B1E的距离为| |= = . 解法二:易得 =(0,1,0), = , 所以点A1到直线B1E的距离为 = = . (2)易得 = , = ,所以 = ,又 与 不共线,所以C1F∥AE,所以直线 FC1到直线AE的距离等于点F到直线AE的距离. 易得 =(1,1,0),所以直线FC1到直线AE的距离为 = = . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (3)因为FC1∥AE,FC1⊄平面AB1E,AE⊂平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直线FC1到平面 AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离. 易得 =(0,1,1), = . 设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,得z=2,y=-2,所以n=(1,-2,2). 又 =(-1,1,1),所以直线FC1到平面AB1E的距离为 = . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E 为PD的中点.   (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)求PC与平面ACE所成角的正弦值; (3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 ?若存在,确定点F的位置;若不 存在,请说明理由. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴BC⊥AB,CD⊥AD. ∵PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B, ∴BC⊥平面PAB. ∵PA⊂平面PAB, ∴PA⊥BC. ∵PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D, ∴CD⊥平面PAD. ∵PA⊂平面PAD, ∴PA⊥CD. ∵BC∩CD=C, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴PA⊥平面ABCD. (2)由(1)知PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, ∴以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(0, 0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),∴ =(2,2,0), =(0,1,1), =(2,2,-2).   设平面ACE的一个法向量为m=(x,y,z), 则  第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 取y=1,则x=-1,z=-1, ∴m=(-1,1,-1). cos<m, >= = = , ∴PC与平面ACE所成角的正弦值为 . (3)假设存在满足题意的点F,且F(2,t,0)(0≤t≤2). 易得 =(2,t,0), =(0,0,2), =(0,1,1). 设平面PAF的一个法向量为n=(a,b,c), 则  取a=t,则b=-2,c=0, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴n=(t,-2,0). 又 =(0,1,1),∴点E到平面PAF的距离d= = = ,解得t=1(负值舍去),即F(2,1,0), ∴在线段BC上存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 ,且F为BC的中点. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$