1.2.3 直线与平面的夹角 1.2.4 二面角（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

知识 清单破 1.2.4　二面角 知识点 1 直线与平面的夹角 1.2.3　直线与平面的夹角 1.直线与平面的夹角的有关概念 如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为90°;如果一条直线与一 个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为0°. 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角.直线与平面所 成的角也称为它们的夹角. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.斜线与平面所成角的性质 　　如图所示,设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α 内的一条射线,A'M⊥OM.记∠AOA'=θ1,∠A'OM=θ2,∠AOM=θ,则cos θ=cos θ1cos θ2.   最小角定理:平面的斜线与平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则θ = -<v,n>或θ=<v,n>- .特别地,cos θ=sin<v,n>,sin θ=|cos<v,n>|.        　　注意:直线与平面所成角的范围为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 二面角 1.二面角的定义 如图所示,在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射 线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小 来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.用空间向量求二面角 如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>. 特别地,sin θ=sin<n1,n2>.        注意:二面角的平面角的范围为[0,π]. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 直线在平面α内或与平面α平行. 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.若一条直线与一个平面α的夹角为0°,则这条直线在平面α内. (　    ) ✕ 提示 2.二面角中两个半平面法向量的夹角与二面角的大小相等. (　    ) 提示 ✕ 相等或互补. 3.已知向量m是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,若cos<m,n>=- ,则直线l与平 面α所成的角为120°. (　    ) ✕ 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用空间向量研究线面角、二面角 1.用空间向量求线面角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,并写出相应点的坐标; (2)求出直线的方向向量a的坐标以及平面的法向量b的坐标; (3)计算:设线面角的大小为θ,利用sin θ= ,结合θ∈ 得出结论. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.用空间向量求二面角的平面角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,并写出相关点的坐标; (2)求两个半平面的法向量n1,n2; (3)计算:设二面角的平面角为θ,则|cos θ|=|cos<n1,n2>|; (4)观察:根据图形判断θ是钝角还是锐角,从而得出结论. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,对角线AC,BD交于点O,OA=8,OB=6,OP=8,OP ⊥底面ABCD,设点M满足 =λ (0<λ<1).   (1)若λ= ,求二面角M-AB-C的大小; (2)若直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 ,求λ的值. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意得OA,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(8,0,0),B(0,6,0),C(-8,0,0),D(0,-6,0),P(0,0,8).   (1)易得 =(-8,6,0).设M(x1,y1,z1), ∵ =  ,∴(x1,y1,z1-8)= (-8-x1,-y1,-z1),∴ 解得  第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴M(-2,0,6),∴ =(-2,-6,6). 易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1),记为n1. 设平面MAB的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  令x2=3,则y2=4,z2=5,∴n2=(3,4,5). ∴cos<n1,n2>= = = , ∴二面角M-AB-C的大小为 . (2)易得 =(8,0,-8), =(0,12,0). 设M(x3,y3,z3),∵ =λ , 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴(x3,y3,z3-8)=λ(-8-x3,-y3,-z3), ∴ 解得  ∴M , ∴ = . 设平面BDM的一个法向量为m=(x4,y4,z4), 则 即  令z4=λ,则x4=1,y4=0, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴m=(1,0,λ), ∴|m|= , ·m=8-8λ. ∵直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 , ∴ =|cos< ,m>|= = = , ∴2λ2-5λ+2=0,解得λ= 或λ=2. 又0<λ<1,∴λ= . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 利用空间向量解决与夹角有关的探索性问题的步骤 (1)假设存在(或结论成立); (2)建立空间直角坐标系,得相关点的坐标; (3)得有关向量的坐标; (4)利用夹角的计算公式列关系式求解; (5)根据解的情况得出结论. 疑难 2 利用空间向量解决与夹角有关的探索性问题 讲解分析 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图1,在△MBC中,BM=2BC=4,BM⊥BC,A,D分别为MB,MC的中点,将△MAD沿AD折起 到△PAD的位置,使∠PAB=90°,如图2,连接PB,PC. 图1       图2 (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若E为PC的中点,求直线DE与平面PBD所成角的正弦值; (3)在线段PC上是否存在一点G(不包括端点),使二面角P-AD-G的余弦值为 ?若存在,求 出 的值;若不存在,请说明理由. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为A,D分别为MB,MC的中点,所以AD∥BC. 因为BM⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD. 因为∠PAB=90°,所以PA⊥AB. 因为AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD. 又因为PA⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)由(1)知AP,AB,AD两两垂直. 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则B(2, 0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(1,1,1),所以 =(1,0,1), =(-2,1,0), =(-2,0,2). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   设平面PBD的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则 即  令y1=2,得x1=1,z1=1,所以n=(1,2,1). 设直线DE与平面PBD所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= = . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 故直线DE与平面PBD所成角的正弦值为 . (3)假设在线段PC上存在一点G(不包括端点),使二面角P-AD-G的余弦值为 . 由(2)知A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),C(2,2,0),所以 =(2,2,-2), =(0,1,0). 设 =λ (0<λ<1),则G(2λ,2λ,2-2λ), 所以 =(2λ,2λ,2-2λ). 易知平面PAD的一个法向量为(1,0,0),记为n1. 设平面ADG的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  令z2=λ,则x2=λ-1,所以n2=(λ-1,0,λ). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 由题意得|cos<n1,n2>|= = = ,所以8λ2+2λ-1=0, 解得λ1=- (舍去),λ2= . 故在线段PC上存在一点G(不包括端点),使二面角P-AD-G的余弦值为 ,且 = . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$