1.2 空间向量基本定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.2　空间向量基本定理 基础过关练 题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解 1.(多选题)给出下列命题,其中正确的有(　　) A.空间任意三个向量都可以构成一个基底 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc D.如果a,b是两个单位向量,那么|a|=|b| 2.(教材习题改编)已知{a,b,c}为空间的一个基底,则下列向量也能构成空间的一个基底的是(　　) A.a+b,b+c,a-c　　　　B.a+2b,b,a-c C.2a+b,b+2c,a+b+c　　　　D.a+c,b+2a,b-2c 3.已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则不能与a,b共同构成空间的一个基底的向量是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D.以上都不能 4.已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,O为空间中任意一点,则能使向量,,构成空间的一个基底的关系是(　　) A.=++ B.=+ C.=++ D.=2- 题组二　空间向量基本定理的应用——用空间的基底表示空间向量 5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+y+z,则(x,y,z)=(　　) A.(-1,1,1)　　　　B.(1,-1,1)　　 C.(1,1,-1)　　　　D.(-1,-1,-1) 6.在三棱锥A-BCD中,若=2,=,则=(　　) A.++　　　　B.++ C.++　　　　D.++ 7.如图,在四面体A-BCD中,点O为底面△BCD的重心,P为AO的中点,设=a,=b,=c,则=(　　) A.a-b-c　　　　B.-a+b+c C.a-b-c　　　　D.-a+b+c 8.在空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为P,Q,若=ma+nb+pc,则m+n+p=　　　　.  题组三　利用空间向量基本定理解决立体几何问题 9.在化学中,若粒子(原子、离子、分子等)在空间按一定规律呈周期性重复排列,则它们构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,晶体结构可被截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙(Ca)、钛(Ti)、氧(O)原子可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子位于顶点位置,O原子位于棱的中点),则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为　　　　.  10.如图,M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点(点P靠近点N),若=a,=b,=c. (1)以{a,b,c}为基底表示; (2)若|a|=|b|=1,|c|=2,∠OAB=∠OAC=,∠CAB=,求||. 11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为棱CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证: (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EFG∥平面ABD. 12.如图,在三棱锥O-ABC中,点G为底面△ABC的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若=k,=m,=n,求证:++为定值,并求出该定值. 答案与分层梯度式解析 1.2　空间向量基本定理 基础过关练 1.BD 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.B 1.BD　空间任意三个不共面的向量才可以构成基底,故A错误; 因为a∥b,所以a与b共线,故a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,故B正确; 当{a,b,c}为空间的一个基底时,才有C选项中的结论,故C错误; 单位向量的模都为1,故D正确.故选BD. 2.B　∵a+b=(b+c)+(a-c),a+b+c=(2a+b)+(b+2c),a+c=(b+2a)-(b-2c),∴A,C,D中的三个向量都共面,不能构成空间的一个基底. 对于B,假设a+2b,b,a-c共面, 则存在实数λ,μ使得a+2b=λb+μ(a-c), ∴无解,∴a+2b,b,a-c不共面,可以构成空间的一个基底.故选B. 3.C　=(++)-(+-)=(a-b),∴与a,b共面,∴不能与a,b共同构成空间的一个基底.易知,均能与a,b共同构成空间的一个基底. 故选C. 4.C　只有不共面的向量才可以构成空间的一个基底.对于A,由=x +y +z (x+y+z=1),知M,A,B,C四点共面,故,,共面;对于B,D,由共面向量定理知,,共面. 故选C. 5.A　易得=+=+=+-, ∴x=-1,y=1,z=1,故选A. 6.B　如图.因为=2,所以-=2-2,故=+,又=,所以=+=×+=++. 故选B. 7.B　取CD的中点E,连接BE,由重心的性质可知,BO=BE,且B,O,E三点共线. 因为=(+)=(-+-)=(b-2a+c),所以==(b-2a+c), 所以=(+)=-+=-a+×(b-2a+c)=-a+b+c.故选B. 8.答案　1 解析　∵Q为BD的中点,∴=(+), 又∵P为AC的中点,∴==(+), ∴=-=(+)-(+)=(+).∵=a-2c,=5a+6b-8c, ∴=(+)=[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b-5c,又∵=ma+nb+pc, ∴根据空间向量基本定理,得m=3,n=3,p=-5. 由此可得m+n+p=3+3-5=1. 9.答案　 解析　设立方体的棱长为a(a>0).取{,,}为空间的一个基底,其中<,>=90°,<,>=90°,<,>=90°, 则=-=-=-, =+=+. 设BF与B1E所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|====,∴BF与B1E所成角的余弦值为. 10.解析　(1)由题可知=,即-=-,故=+, 由于M,N分别为棱OA,BC的中点,所以=,=+=(+)+(+)=++, 所以=+++=-a+b+c. (2)由(1)得=-a+b+c, 所以||=, 故||2==a2+b2+c2-a·b-a·c+c·b=,故||=. 11.证明　(1)易得=+=+,=+=-, ∴·=·=0, ·=·=-=0,∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA,BD⊂平面ABD,BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD. (2)连接B1G.易得=-=(+)-=+-,=, ∴·=+·+-=-=0, ·=·=0, ∴B1D⊥EG,B1D⊥FG, 又EG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G, ∴B1D⊥平面EFG.又由(1)知B1D⊥平面ABD,且易知平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD. 12.解析　由题意可知,==(+)=×+×(+)=×+(-)+(-)=++, 因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数λ,μ,使得=λ+μ, 所以-=λ(-)+μ(-), 所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)k·+λm+μn, 所以 故++=(1-λ-μ)+λ+μ=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$