1.1.1 空间向量及其线性运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 基础过关练 题组一　空间向量的基本概念 1.(多选题)下列命题中,是真命题的是(　　) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 2.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.向量的模是一个正实数 B.任一向量与它的相反向量都不相等 C.四边形ABCD是平行四边形的充要条件是= D.“向量的模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件 3.(教材习题改编)给出下列命题:①若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;②空间中,a∥b,b∥c,则a∥c;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与是相等向量;④在空间四边形ABCD中,与是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量一共有4个. 其中正确命题的序号为　　　　.  题组二　空间向量的线性运算 4.(多选题)(2024湖北荆门龙泉中学月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为的是(　　) A.-- B.+- C.-- D.-+ 5.如图,在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,=a,=b,=c,则=(　　) A.a+b+c　　　　B.-a-b-c C.-a+b+c　　　　D.-a-b+c 6.(教材习题改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=2,则以下结论正确的是(　　) A.=++　　　　 B.=-+- C.=-+　　　　 D.=+- 7.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,G为△ABC的重心,P为OG的中点,则=(　　) A.-a+b+c　　　B.a-b-c　　C.-a+b+c　　　　D.a-b-c 8.在四面体OABC中,=a,=b,=c,=λ(λ>0),N为BC的中点,若=-a+b+c,则λ=(　　) A.　　B.3　　C.　　D.2 9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,则|-|=　　　　.  题组三　空间向量共线、共面问题 10.设e1,e2是两个不共线的空间向量,且=e1+2e2,=2e1+7e2,=3(e1+e2),则(　　) A.A,C,D三点共线　　　　B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线　　　　D.A,B,D三点共线 11.(多选题)若O为空间中任意一点,在下列条件中,不能使M与A,B,C四点共面的是(　　) A.=2--　　　　 B.=++ C.++=0　　　　 D.+++=0 12.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,=a,=b,=c.若=,=,则(　　) A.=a+b+c　　　　B.=a+b+c C.A,P,D'三点共线　　　　D.A,P,M,D四点共面 13.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且=+λ+μ(λ,μ∈R),若P,A,B,C四点共面,则函数f(x)=x2-3(λ+μ)x-1(x∈[-1,2])的最小值是　　　　.  14.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=k,=k,=k,=k. (1)当k=时,试用,,表示; (2)证明:E,F,G,H四点共面. 答案与分层梯度式解析 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 基础过关练 1.ABC 2.CD 4.AB 5.A 6.D 7.C 8.B 10.D 11.ABD 12.BD 1.ABC　空间向量不能比较大小,A正确;易知B、C正确;共线的单位向量大小相等,但方向可能相同,也可能不同,故它们不一定相等,D错误. 2.CD　A不正确,向量的模是一个非负实数.B不正确,零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.易知C,D正确. 3.答案　①③ 解析　①正确,向量的相等满足传递性;②错误,平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行;③正确,与的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不是相反的;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量是,,,,,一共有5个. 4.AB　A中,--=-=; B中,+-=+=; C中,--=-=-=≠; D中,-+=++=+≠.故选AB. 方法技巧　化简空间向量的常用思路 ①分组:将向量合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②利用多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,即将若干个向量的和转化为首尾相接的向量求和. ③“走边路”:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量“走边路”(即沿几何体的边选择化简途径). 5.A　=+=+=(a+b)+c=a+b+c.故选A. 6.D　因为底面ABCD是平行四边形,=2, 所以=+=++=++(+)=+-.故选D. 7.C　∵G为△ABC的重心,∴=(+)=(-+-)=(b+c-2a),∵P为OG的中点,∴=(+)=-a+b+c.故选C. 8.B　∵=λ(λ>0),N为BC的中点,∴=,=+,∴=-=+-=-a+b+c, 又∵=-a+b+c,∴-=-,解得λ=3. 故选B. 9.答案　 解析　|-|=|-|=||=||==. 10.D　∵=+=3e1+9e2,=3(e1+e2),∴不存在实数λ,使得=λ成立,故A错误;∵=e1+2e2,=+=3e1+9e2,∴不存在实数λ,使得=λ成立,故B错误;∵=2e1+7e2,=3(e1+e2),∴不存在实数λ,使得=λ成立,故C错误;∵=e1+2e2,=+=5e1+10e2,∴=,故D正确. 规律总结　对于空间三点P,A,B,可通过下列结论来得出三点共线: (1)存在实数λ,使=λ成立. (2)对空间中任意一点O,有=+t(t∈R). (3)对空间中任意一点O,有=x+y(x+y=1). 11.ABD　空间四点A,B,C,M共面的充要条件是=x+y+z,其中O为空间中任意一点,且x+y+z=1.对于A,因为2-1-1=0≠1,所以A,B,C,M不共面;对于B,因为++=≠1,所以A,B,C,M不共面;对于C,=--,若,共线,则易知M,A,B,C四点一定共面,若,不共线,则由共面向量定理可知,,为共面向量,所以M与A,B,C一定共面;对于D,因为+++=0,所以=---,因为-1-1-1=-3≠1,所以A,B,C,M不共面.故选ABD. 名师支招　1.证明点P在平面ABC内,可以用=x+y,或=+x+y,或=x+y+z(x+y+z=1),其中O为空间中任意一点. 2.证明三个向量共面一般用p=xa+yb,证明三线共面常用=x+y,证明四点共面常用=x+y+z(其中x+y+z=1,O为空间中任意一点). 12.BD　对于A,=++=a+b-c,故A错误;对于B,=+=++(+)=++=a+b+c,故B正确;对于C,易知A,P,D'三点不共线,故C错误;对于D,连接PM,由题可知点P和点M分别为CA'和CD'的中点,故PM∥A'D',又A'D'∥AD,所以PM∥AD,所以A,P,M,D四点共面,故D正确.故选BD. 13.答案　-2 解析　因为P,A,B,C四点共面,且=+λ+μ,所以+λ+μ=1,所以λ+μ=,所以f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.当x∈[-1,2]时, f(x)min=f(1)=-2,即函数的最小值为-2. 14.解析　(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=+, 当k=时,=,=,∴=+=(+)+=++. (2)证明:连接AC,EG.由共面向量定理可设=λ+μ(λ,μ∈R,且λ,μ不为0), 则=-=k-k=k=k(λ+μ)=kλ+kμ=kλ(-)+kμ(-)=λ(-)+μ(-)=λ+μ,则,,共面且有公共点E,所以E,F,G,H四点共面. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$