第3章 第2课时 直线与抛物线的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　直线与抛物线的位置关系 基础过关练 题组一　直线与抛物线的位置关系 1.(多选题)过点(1,0)且与抛物线C:x2=4y只有一个交点的直线的方程可能是(　　) A.x=1　　　　B.y=0　　 C.x-y-1=0　　　　D.x+y-1=0 2.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　) A.若|AB|=8,则点M到y轴的距离为4 B.过点(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 C.P是准线上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|FP|=6 D.9|AF|+|BF|≥16 3.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l绕点P(-2,1)旋转,点Q为C上的动点,O为坐标原点,则(　　) A.以Q为圆心,|QF|为半径的圆与直线x=-1相切 B.若直线l与抛物线有且只有一个公共点,则这样的直线l有两条 C.线段PF的垂直平分线的方程为3x-y+2=0 D.过点F的直线交C于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有2条 4.已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,则实数a的值为　　　　　　　.  5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,y0)为抛物线上一点,且|AF|=4. (1)求抛物线的方程; (2)不过原点的直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若OP⊥OQ,求m的值. 题组二　弦长及中点弦问题 6.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=,则该抛物线的方程是(　　) A.y2=x　　B.y2=2x　　C.y2=4x　　D.y2=6x 7.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点,且弦AB的长是,则p=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 8.设直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线y2=2x相交于A,B两点,若|AB|=2,则k的值为　　　　.  9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,位于第一象限的两点A,B均在抛物线上,且满足|BF|-|AF|=4,|AB|=4.若线段AB中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为　　　　　　　.  10.已知直线l与抛物线y2=2x交于点A,B,且与x轴、y轴分别交于点P,Q,且A为线段PQ的中点.若|QA||PB|=,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.  11.已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,P(x0,-6)是抛物线C上的点,且|PF|=9. (1)求抛物线C的方程; (2)已知直线l交抛物线C于M,N两点,且MN的中点为(3,-6),求直线l的方程. 12.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,点P在C上,点Q满足=2,点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)过点F的直线l与曲线E交于M,N两点,且|MN|=4,求直线l的方程. 13.已知点P到F(0,4)的距离与它到x轴的距离的差为4,P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)若直线l与C交于A,B两点,且弦AB中点的横坐标为-4,求l的斜率. 14.以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB为直径的圆与准线切于点(-2,-3). (1)求这个圆的方程; (2)求△AOB的面积. 能力提升练 题组　直线与抛物线的综合应用 1.斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=9相切于点M,且M为线段AB的中点,则k=(　　) A.±　　B.±　　C.±　　D.± 2.已知点A,B在抛物线y2=x上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则直线AB一定过点(　　) A.(2,0)　　B.　　C.(0,2)　　D. 3.如图,抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4;抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6.Γ1和Γ2交于P,Q两点,分别过P,Q作直线与两准线垂直,垂足分别为M,N,T,S,过F的动直线与封闭曲线APBQ交于C,D两点,有下列说法:①|AB|=5;②四边形MNST的面积为100;③·=0;④|CD|的取值范围为.其中正确的是(　　) A.①②④　　B.①③④　　C.②③　　D.①③ 4.已知直线AB是曲线y=-及抛物线y2=2px(p>0)的公切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>0),则x1y1=　　　　,若|AB|=,则p=　　　　.  5.已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B,求证:以AB为直径的圆经过定点. 6.如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2在第一象限内的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于点M(B,M不同于A). (1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值. 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(1,-2),过点Q(0,-1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围; (2)证明:存在定点T,使得=λ,=μ,且+=-4. 8.设抛物线E:y2=2px(p>0),过焦点F的直线与抛物线E交于点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线AB垂直于x轴时,|AB|=2. (1)求抛物线E的标准方程; (2)如图,已知点P(1,0),当直线AB不垂直于x轴时,直线AP,BP分别与抛物线E交于点C,D. ①求证:直线CD过定点; ②求△PAB与△PCD面积之和的最小值. 9.已知抛物线C:y2=4x,点P(4,4). (1)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,若△PAB的面积为2,求直线l的方程; (2)是否存在定圆M:(x-m)2+y2=4,使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线,与曲线C交于另外两点A,B时,总有直线AB也与圆M相切?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第2课时　直线与抛物线的位置关系 基础过关练 1.ABC 2.CD 3.AC 6.B 7.B 1.ABC　由抛物线C:x2=4y,可知其对称轴为直线x=0. 当所求直线与抛物线对称轴平行时,其方程为x=1,此时直线与抛物线只有一个交点,成立; 当所求直线与抛物线的对称轴不平行时,可知直线斜率存在,设直线方程为y=k(x-1), 联立消去y,得x2-4kx+4k=0, 由直线与抛物线只有一个交点,可知Δ=(-4k)2-4×4k=16k2-16k=0,解得k=0或k=1, 所以直线方程为y=0或y=x-1,即y=0或x-y-1=0. 综上所述,所求直线方程为x=1或y=0或x-y-1=0, 故选ABC. 2.CD　因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,所以p=2,则抛物线C:y2=4x,所以焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6, 又M为线段AB的中点,故M, 所以点M到y轴的距离为=3,故A错误. 对于B选项,若过点(0,1)的直线的斜率不存在,则该直线为y轴,易知y轴与抛物线C相切,二者只有一个公共点; 若过点(0,1)的直线的斜率为零,则该直线的方程为y=1,联立可得 故直线y=1与抛物线C只有一个公共点; 若过点(0,1)的直线的斜率存在且不为零,设该直线的方程为y=kx+1, 联立可得k2x2+(2k-4)x+1=0, 则解得k=1, 即直线y=x+1与抛物线C只有一个公共点, 故满足条件的直线共有三条,故B错误. 对于C选项,不妨设准线与x轴交于点D,Q位于第一象限,P在x轴上方,过点Q作准线的垂线,垂足为Q',如图,则|QQ'|=|QF|, 易知△PQ'Q∽△PDF, 因为=4,所以===, 则|Q'Q|=,则xQ=|QQ'|-1=,所以yQ=, 即|Q'D|=,所以|PD|=4,则|PF|==6,故C正确. 对于D选项,依题意可设过点F的直线的方程为x=my+1,A(xA,yA),B(xB,yB), 由消去x得y2-4my-4=0, 显然Δ>0,所以yA+yB=4m,yAyB=-4,则xA+xB=m(yA+yB)+2=4m2+2,xAxB==1, 所以+=+===1, 所以9|AF|+|BF|=(9|AF|+|BF|) =10++≥10+2=16, 当且仅当=,即|AF|=,|BF|=4时取等号,故D正确. 故选CD. 3.AC　由抛物线C:y2=4x可知,C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 对于A,由抛物线的定义可知A正确. 对于B,当过点P(-2,1)的直线的斜率不存在时,直线与抛物线无公共点;当直线的斜率存在时,设斜率为k,则过点P(-2,1)的直线方程为y=k(x+2)+1,当k=0时,直线方程为y=1,此时直线与抛物线有且只有一个公共点, 当k≠0时,联立整理可得k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0, 所以Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,化简得2k2+k-1=0,解得k=-1或k=, 所以过P(-2,1)与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条,故B错误. 对于C,线段PF的中点为,又kPF==-,所以线段PF的中垂线方程为y-=3,即3x-y+2=0,故C正确. 对于D,因为|AB|=4=2p,所以线段AB为抛物线的通径,这样的直线只有一条,故D错误. 故选AC. 4.答案　0或-1或- 解析　当a=0时,曲线y2=ax为直线y=0,显然直线y=x-1与y=0有唯一公共点(1,0),因此a=0满足题意. 当a≠0时,由消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0, 当a=-1时,x=-1,y=-1,此时直线y=-1与曲线y2=-x有唯一公共点(-1,-1),因此a=-1满足题意; 当a≠-1时,Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=5a2+4a=0,则a=-, 此时直线y=x-1与曲线y2=-x相切,有唯一公共点,因此a=-满足题意. 所以实数a的值为0或-1或-. 5.解析　(1)由抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,y0),|AF|=4,得2+=4,∴p=4, 所以抛物线方程为y2=8x. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得x2+(2m-8)x+m2=0, 所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2,由题意知Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m<2, 因为OP⊥OQ,所以·=0,则x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0, ∴2m2+m(8-2m)+m2=0,即m2+8m=0,解得m=0或m=-8, 当m=0时,直线过原点,不符合题意,故舍去. 所以m的值为-8. 6.B　由题可得直线MN的方程为y=-2,即y=-2x+p, 与抛物线方程联立,可得4x2-6px+p2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,x1x2=, 故|MN|=·=p=, 解得p=1,则该抛物线的方程是y2=2x,故选B. 7.B　易知弦AB所在直线的斜率存在. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2. 又点A,B在抛物线y2=2px上,故 两式作差可得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), 故=p,即kAB=p,故弦AB所在直线的方程为px-y+1-p=0. 联立整理得p2x2-2p2x+(1-p)2=0,所以x1x2=. 所以|AB|=·=·=,得(1+p2)(2p-1)=15, 即8p3-19p2+8p-4=0,即(p-2)(8p2-3p+2)=0,解得p=2.故选B. 8.答案　1 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=k(x-2)代入y2=2x,整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0, 则Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0, x1+x2==,x1x2=4. 则|AB|=|x1-x2|=·=·=2,整理得(1+k2)(16k2+4)=40k4,所以k2=1, 又k>0,故k=1. 9.答案　y2=8x 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|BF|-|AF|=4, 所以-=4,所以x2-x1=4, 又因为|AB|=×|x1-x2|=4,所以=1, 因为A,B都位于第一象限,所以kAB=1, 又因为kAB====1且y1+y2=4×2=8, 所以2p=8,即p=4,所以抛物线的方程为y2=8x. 10.答案　y=-2x+2或y=2x-2 解析　由题意可知,直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=kx+b(k≠0,b≠0),则P,Q(0,b), 由A为线段PQ的中点,得A,又A在抛物线上,∴=2×,即kb=-4.① 不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,令Δ>0,则kb<, 由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=, ∴x2=,y2=,即B. ∵|QA||PB|=,且Q,A,P,B四点共线,与同向,∴·=+=,② 由①②可得或 ∴直线l的方程为y=-2x+2或y=2x-2. 11.解析　(1)由抛物线的定义可知|PF|=6+=9, 所以p=6,故抛物线C的方程为x2=-12y. (2)易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,M(x1,y1),N(x2,y2), 则两式相减得-=-12(y1-y2), 整理得=-, 因为MN的中点为(3,-6),所以x1+x2=6, 所以k==-=-, 所以直线l的方程为y+6=-(x-3),即x+2y+9=0. 12.解析　(1)由题意得F(1,0),设Q(x,y), 则=(1-x,-y),=2=(2-2x,-2y), 所以(x-xP,y-yP)=(2-2x,-2y),即xP=3x-2,yP=3y,所以P(3x-2,3y), 由P在抛物线C上可得(3y)2=4(3x-2),即9y2=12x-8,则曲线E的方程为9y2=12x-8. (2)显然当直线l的斜率为0时,它与曲线E只有一个交点,不符合要求,故可设直线l的方程为x=my+1, 另设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立消去x得9y2-12my-4=0, 则Δ=144m2+144>0,y1+y2=,y1y2=-, 所以|MN|==·=·=(m2+1)=4,所以m=或m=-. 所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 13.解析　(1)设P(x,y),由题意可知|PF|-|y|=4,即=4+|y|,两边同时平方,得x2+y2-8y+16=16+y2+8|y|,即x2=8y+8|y|, 当y≥0时,C:x2=16y;当y<0时,C:x=0, 所以C的方程为x2=16y(y≥0)或x=0(y<0). (2)由题中“弦AB”可知直线l与曲线C在y≥0的部分相交于A,B两点,即l与抛物线x2=16y相交于A,B两点, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×(-4)=-8. 由A,B均在抛物线上,得两式作差, 得-=(x1-x2)(x1+x2)=16(y1-y2), 所以l的斜率为==-. 14.解析　(1)由抛物线的方程知其准线方程为x=-,设焦点弦AB的中点为M(x0,y0),由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点(-2,-3),可知∴所以焦点为(2,0),抛物线方程为y2=8x,记F(2,0). 由题可设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB:y=k(x-2), 与抛物线方程联立,得⇒ky2-8y-16k=0,所以y1+y2==2y0=-6,y1y2=-16, ∴k=-,∴直线AB:y=-x+.将y0=-3代入,得x0=,则这个圆的圆心为,半径为, 故所求圆的方程为+(y+3)2=. (2)S△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|×|y1-y2|=×2×=10. 能力提升练 1.A 2.A 3.B 1.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则=4x1,=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 即=,即k=,即ky0=2, 因为直线与圆相切于点M,所以=-,所以x0=3,由M在圆上可得(x0-5)2+=9,将x0=3代入,可得y0=±,故M(3,±), 由=-,可得k=±,故选A. 2.A　当直线AB的斜率为0时,直线AB与抛物线只有1个交点,不符合题意,所以直线AB的斜率不为0, 设直线AB的方程为x=ty+m,因为点A,B在抛物线y2=x上,所以可设A(,yA),B(,yB), 所以·=+yAyB=2,解得yAyB=1或yAyB=-2. 又因为A,B位于x轴的两侧,所以yAyB=-2. 联立消去x,得y2-ty-m=0,所以Δ=t2+4m>0,yAyB=-m=-2,即m=2, 所以直线AB的方程为x=ty+2,所以直线AB一定过点(2,0).故选A. 3.B　不妨以抛物线Γ1的顶点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 因为抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4,所以|AF|=2,则抛物线Γ1的标准方程为y2=8x. 因为抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6,所以|BF|=3,则|AB|=2+3=5,故①正确. 结合图象的平移变换可知抛物线Γ2的方程为y2=-12(x-5),因为Γ1和Γ2交于P,Q两点,所以联立解得故P(3,2),Q(3,-2), 从而可得M(-2,2),N(8,2),S(8,-2),T(-2,-2), 则四边形MNST的面积为10×4=40,故②错误. 又F(2,0),故=(-4,-2),=(6,-2), 易知·=0,故③正确. 由抛物线的对称性,不妨设点D位于封闭曲线APBQ在x轴上方的部分,C在直线l1上的射影为C1,D在直线l2上的射影为D1,连接CC1,DD1, 当点D在抛物线Γ2的曲线段BP上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,由抛物线的定义可知,|CD|=|CF|+|DF|=|CC1|+|DD1|, 故当C,D分别与A,B重合时,|CD|最小,最小值为5, 当D与P重合,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时, 因为P(3,2),F(2,0),所以直线CD的方程为y=(x-2),即y=2(x-2), 联立消去y并整理,得3x2-13x+12=0,不妨设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=, 所以|CD|=x1+x2+4=,所以|CD|∈; 当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时, 不妨设直线CD的方程为x=ty+2, 联立消去x并整理,得y2-8ty-16=0, 不妨设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=8t, 所以|CD|=x3+x4+4=t(y3+y4)+8=8t2+8≥8, 当t=0,即CD⊥AB时,等号成立, 由抛物线的对称性可知|CD|∈; 当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ2的曲线段QB上时, 由抛物线的对称性可知|CD|∈. 综上,|CD|∈,故④正确. 故说法正确的有①③④.故选B. 4.答案　-1;或8 解析　易知直线AB的斜率存在,不妨设直线AB的方程为y=kx+b, 联立消去y并整理,得kx2+bx+1=0,此时k≠0,由Δ1=b2-4k=0,解得k=, 代入kx2+bx+1=0,得b2x2+4bx+4=0,解得x=-(二重根),则A,则x1y1=-×=-1. 联立消去y并整理,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,此时k≠0,由Δ2=(2kb-2p)2-4k2b2=0,解得p=2kb,代入k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,得k2x2-2kbx+b2=0,解得x=(二重根),所以y=k·+b=2b,则B, 若|AB|=,则+=, 又k=,故b2=2或b2=8, 因为p=2kb,且p>0,k=,所以b>0, 当b2=2,即b=时,p=2kb=2××b=; 当b2=8,即b=2时,p=2kb=2××b=8. 5.解析　(1)因为抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),所以22=-2p×(-1),解得p=2, 则抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1. (2)证明:由(1)知抛物线C的焦点为(0,-1), 根据题意,不妨设直线l的方程为y=kx-1(k≠0), 联立消去y并整理,得x2+4kx-4=0, 不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4, 易知直线OM的方程为y=x, 令y=-1,解得xA=-,同理可得xB=-, 易知以AB为直径的圆与y轴恒有交点,不妨设定点在y轴上,且定点为D(0,n),则·=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=(n+1)2-4, 由D为以AB为直径的圆上的点,可知·=0,解得n=1或n=-3. 综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3). 6.解析　(1)当p=时,C2的方程为y2=x,故抛物线C2的焦点坐标为. (2)解法一(根与系数的关系+基本不等式法):设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m(λ≠0,m≠0), 由得(2+λ2)y2+2λmy+m2-2=0, ∴y1+y2=,y0=,x0=λy0+m=, 由M在抛物线上,可得=,即=4p,① 又⇒y2=2p(λy+m)⇒y2-2pλy-2pm=0, ∴y1+y0=2pλ,∴x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m, ∴x1=2pλ2+2m-.② 由得x2+4px-2=0, ∴x1==-2p+,③ 由①②③得-2p+=2pλ2+2m·=2pλ2++8p≥16p,当且仅当λ2=2,即λ=时取“=”, ∴≥18p,即p2≤,故0<p≤, ∴p的最大值为,此时λ=,m=. 解法二(直接法):设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),A(x0,y0). 将直线l的方程代入椭圆C1的方程+y2=1, 得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,∴y0+yB=, ∵M为AB的中点,∴点M的纵坐标yM=-. 将直线l的方程代入抛物线C2的方程y2=2px, 得y2-2pmy-2pt=0, ∴y0yM=-2pt,∴y0=,因此x0=, 结合+=1得=2+4≥160, ∴当m=,t=时,p取到最大值,为. 解法三(点差法+判别式法):设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),其中x1+x2=2x0,y1+y2=2y0. ∵∴+-=0. 整理得·=-,∴·=-. 又=kAB=kAM=,=2px1,=2px0, ∴·=-,整理得+y1y0+8p2=0. 由题意知上述关于y0的二次方程有解,∴Δ=-32p2≥0.① 由解得x1=-2p+(舍负).因此=2px1=-4p2+2p,将此式代入①式解得p≤. 当且仅当点M的坐标为时,p的最大值为. 7.解析　(1)将(1,-2)代入抛物线方程,解得p=2,∴抛物线C:y2=4x, 依题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx-1(k≠0), 由得ky2-4y-4=0, 则解得k>-1且k≠0, 又直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N,所以直线l不能过点P(1,-2)及(1,2),∴k≠-1且k≠3. 综上,k∈(-1,0)∪(0,3)∪(3,+∞). (2)证明:设点M(0,yM),N(0,yN),∵=λ,=μ,Q(0,-1),∴可设T(0,t),则=(0,yM+1),=(0,t+1),∵=λ,∴yM+1=λ(t+1), 故=,同理可得=. ∵kPA==,∴直线PA:y+2=(x-1), 令x=0得yM=,同理可得yN=, ∴==(t+1)·,==(t+1)·, ∴+=(t+1)·=(t+1)·=(t+1)·=2(t+1), 又+=-4,∴t=-3,∴存在定点T(0,-3)满足题意. 8.解析　(1)由题意知,当直线AB垂直于x轴时,x1=,代入抛物线方程得y1=±p,则|AB|=2p,所以2p=2,即p=1,所以抛物线E:y2=2x. (2)①证明:设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB:x=my+, 联立消去x,得y2-2my-1=0,因此y1+y2=2m,y1y2=-1. 设直线AC:x=ny+1,联立消去x,得y2-2ny-2=0, 因此y1+y3=2n,y1y3=-2,则y3=.同理可得y4=. 所以kCD=====-=,因此直线CD:x=2m(y-y3)+x3, 由对称性知,定点在x轴上, 令y=0得,x=-2my3+x3=-2my3+=-2m·+=+=+=2+2=2+2·=2,所以直线CD过定点(2,0),记Q(2,0). ②因为S△PAB=|PF|·|y1-y2|=|y1-y2|, S△PCD=|PQ|·|y3-y4|====|y1-y2|, 所以S△PAB+S△PCD=|y1-y2|==≥,当且仅当m=0时取到最小值. 9.解析　(1)设直线l的方程为y=x+n,A(x1,y1),B(x2,y2), 把y=x+n代入y2=4x,可得x2+(2n-4)x+n2=0, ∴x1+x2=4-2n,x1·x2=n2, ∴|AB|=|x2-x1|==4, 点P到直线l的距离d=, ∴S△PAB=|AB|d=×4×=2, 解得n=-1,∴直线l的方程为y=x-1. (2)假设存在.取Q(0,0),设切线方程为y=kx, 由=2,解得k2=,① 将y=kx代入y2=4x,得k2x2=4x,不妨设A在B上方, 故A,B, 则直线AB的方程为x=, 若直线AB和圆相切,则=2,② 由①得m2>4,由①②解得m=3. 下面证m=3时,对任意的动点Q,直线AB和圆M相切. 设Q,当a=0时,上面假设已经说明成立; 当a=±2,过Q作圆的切线时,一条切线与x轴平行,不能与抛物线交于另一点,故a≠±2; 以下就a≠0且a≠±2的情况进行证明. 设过Q的切线方程为x=t(y-a)+a2,A,B, 由=2,可得(a2-4)t2-at+-4=0, ∴t1+t2=,t1t2=. 把x=t(y-a)+a2代入y2=4x,可得y2-4ty+4ta-a2=0, 又切线与抛物线相交于两点A,B, 故得=4t1(y1-a)+a2,=4t2(y2-a)+a2, 则a,y1是方程y2=4t1(y-a)+a2的两根,即有ay1=4t1a-a2,即y1=4t1-a,同理可得y2=4t2-a.则有A(4t1-a)2,4t1-a,B(4t2-a)2,4t2-a, 故直线AB:y-(4t1-a)=, 即y-(4t1-a)=, 则圆心(3,0)到直线AB的距离 d=, 由(a2-4)-at1+-4=0, 可得d==2, 则对任意的动点Q,存在实数m=3,使得直线AB与圆M相切. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$