2.5.1 直线与圆的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 基础过关练 题组一　直线与圆的位置关系 1.圆x2+(y+1)2=1与直线x+2y+3=0的位置关系是(　　) A.相交　　　　B.相切 C.相离　　　　D.不能确定 2.直线3x+my-2m=0平分圆C:x2+2x+y2-2y=0,则m=(　　) A.　　B.1　　C.-1　　D.-3 3.若点(m,n)在圆O:x2+y2=4上,则直线mx+ny=4与圆O的位置关系是(　　) A.相离　　B.相切　　C.相交　　D.不确定 4.圆x2+y2=1与直线xsin θ+y-1=0的位置关系为(　　) A.相交　　　　B.相切　　 C.相离　　　　D.相切或相交 5.(教材习题改编)已知直线mx-y-m-1=0,圆x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 6.已知圆C经过A(2,0),B(0,4)两点,且圆心在直线2x-y-3=0上. (1)求圆C的标准方程; (2)过点T(-1,0)的直线l与圆C交于P,Q两点,且·=-5,求直线l的方程. 题组二　圆的相交弦问题 7.若直线l:y=x+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|=(　　) A.　　B.2　　C.2　　D.4 8.已知直线l:y=2x与圆C:x2+y2+2x-4ay+1=0(a≠0)交于A,B两点,且点C到直线l的距离等于|AB|,则a的值为(　　) A.1　　　　B.2+4 C.1或-　　　　D.2+4或2-4 9.直线y=kx+2与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是(　　) A.　　　　B.∪ C.　　　　D.∪ 10.已知直线xsin θ+2ycos θ=2(θ∈R)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最大值为　　　　.  11.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求m的值. 12.已知定点A(1,-3),点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点. (1)求AB的中点C的轨迹方程; (2)若过定点P的直线l与C的轨迹交于M,N两点,且|MN|=,求直线l的方程. 题组三　圆的切线问题 13.过点P(2,4)向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,则切线的方程为(　　) A.x=-2或4x+3y-4=0　　　　　B.4x-3y+4=0 C.x=2或4x-3y+4=0　　　　　D.4x+3y-4=0 14.已知直线l:x+y-4=0上有一动点P,过点P向圆x2+y2=1引切线,则切线长的最小值是(　　) A.　　B.　　C.2-1　　D.2 15.过圆O:x2+y2=1外一点P(a-2,a)作圆O的切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点(　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 16.过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆的方程是　　　　.  17.已知圆M:x2+(y-2)2=1,点P是直线l:x+2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B. (1)当切线PA的长度为时,求点P的坐标; (2)求线段AB长度的最小值. 能力提升练 题组一　直线与圆的位置关系 1.无论实数t取何值,直线tx+y+t-1=0与圆(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共点,则实数m的取值范围是(　　) A.m>　　　　 B.m≥ C.m<-或m>　　　　 D.m≤-或m≥ 2.若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是(　　) A.[-,0)∪(0,]　　　　 B.[-,] C.(-∞,-]∪[,+∞)　　　　 D.(-∞,-)∪(,+∞) 3.(多选题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是(　　) A.对任意实数k和θ,直线l和圆M都有公共点 B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切 C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切 D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3 4.已知直线l:kx-y+k=0,若直线l与圆x2-2x+y2-4y+3=0在第一象限内的部分有公共点,则k的取值范围是　　　　.  题组二　圆的相交弦、切线问题 5.已知圆C:(x-1)2+y2=4,直线l:x-my+2m=0与圆C相交于A,B两点,若圆C上存在点P,使得△ABP为正三角形,则实数m的值为(　　) A.-　　　　B. C.-或0　　　　D.或0 6.在平面直角坐标系Oxy中,过点A(0,a)向圆C:(x-2)2+(y-1)2=3引切线,切线长为d1,设点A到直线x-y+4=0的距离为d2,当d1+d2取最小值时,a=(　　) A.　　B.3　　C.2　　D.1 7.已知圆O:x2+y2=r2(r>0),A(x1,y1),B(x2,y2)是圆O上两点,满足x1+y1=x2+y2=3,x1x2+y1y2=-r2,则r=(　　) A.　　B.3　　C.2　　D.3 8.已知P,Q是圆O:x2+y2=2上的两个动点,点A在直线l:x+y-4=0上,若∠PAQ的最大值为90°,则∠PAQ最大时,点A的坐标是(　　) A.(1,)　　　　B.　　 C.(4,0)　　　　D. 9.(多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则所给说法错误的是(　　) A.y-x的最大值为-2 B.x2+y2的最大值为7+4 C.的最大值为 D.x+y的最大值为2+ 10.在平面直角坐标系Oxy中,圆O:x2+y2=1,圆C:(x-4)2+y2=4.若存在过点P(m,0)的直线l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是　　　　　　.  11.已知直线l:x+y+m=0,圆C:x2+y2-4x=0,若在直线l上存在一点P,使得过点P所作的圆的切线PA,PB(切点分别为A,B)满足∠APB=60°,则m的取值范围为　　　　　.  题组三　直线与圆的位置关系的综合应用 12.设m∈R,圆M:x2+y2-2x-6y=0,若动直线l1:x+my-2-m=0与圆M交于点A,C,动直线l2:mx-y-2m+1=0与圆M交于点B,D,则|AC|+|BD|的最大值是　　　　.  13.已知圆O:x2+y2=1和直线l:x+y-2=0,圆P以点(-1,-2)为圆心,且直线l被圆P所截得的弦长为. (1)求圆P的方程; (2)设M为圆P上任意一点,过点M向圆O引切线,切点为N,试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请求出定点R的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由. 14.为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A,B(点A在点O与点B之间),它们到平台O的距离分别为3海里和12海里,记海平面上到两观测站A,B的距离的比值为的点P的轨迹为曲线E,规定曲线E及其内部区域为安全预警区(如图). (1)如图,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,1海里为单位长度,建立平面直角坐标系,求曲线E的方程; (2)某日在观测站B处发现,在该海上平台O的正南方向相距2海里的C处,有一艘轮船正以每小时10海里的速度向北偏东30°方向航行,如果航向不变,该轮船是否会进入安全预警区?如果不进入,说明理由;如果进入,请求出它在安全预警区中的航行时间. 答案与分层梯度式解析 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 基础过关练 1.A 2.D 3.B 4.D 7.B 8.C 9.A 13.C 14.A 15.B 1.A　由已知可得圆的圆心为(0,-1),半径为1, 圆心到直线x+2y+3=0的距离d==<1, ∴直线与圆的位置关系为相交.故选A. 2.D　因为直线3x+my-2m=0平分圆C:x2+2x+y2-2y=0,所以直线过圆心C(-1,1),所以-3+m-2m=0,解得m=-3.故选D. 3.B　圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2, O(0,0)到直线mx+ny=4的距离d=, 又点(m,n)在圆O:x2+y2=4上,则m2+n2=4,故d=2=r,所以直线mx+ny=4与圆O相切.故选B. 4.D　圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径r=1,圆心到直线xsin θ+y-1=0的距离d=≤1,即d≤r,∴直线与圆的位置关系为相交或相切.(速解:易知直线xsin θ+y-1=0恒过点(0,1),而(0,1)是圆上的点,∴直线与圆的位置关系是相交或相切)故选D.  5.解析　解法一:将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简并整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.易知Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 故圆心为(2,1),半径r=2. 设圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离为d, 则d==. (1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 6.解析　(1)由题得线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为=-2, 所以线段AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0, 易知圆心C为AB的中垂线与直线2x-y-3=0的交点, 联立解得x=y=3,故圆心为C(3,3), 又圆C的半径r=|AC|==, 所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=10. (2)因为过点T(-1,0)的直线l与圆C相交于P,Q两点,所以||=||=,又·=-5,故×cos∠PCQ=-5,可得∠PCQ=120°, 所以C到直线PQ的距离为, 易知直线l的斜率存在,设为k,则直线l:y=k(x+1),即kx-y+k=0, 可得=,解得k=或k=, 则直线l的方程为x-3y+1=0或13x-9y+13=0. 7.B　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2, 所以圆心到直线l:y=x+2的距离d==,所以|AB|=2=2,故选B. 8.C　圆C:x2+y2+2x-4ay+1=0(a≠0)即(x+1)2+(y-2a)2=4a2(a≠0),所以其圆心为C(-1,2a),半径r=|2a|, 则圆心到直线l:y=2x的距离d=, 因为点C到直线l的距离等于|AB|,所以d2+=r2, 即+=4a2,解得a=1或a=-.故选C. 9.A　由圆的方程:(x-3)2+(y-2)2=4,可得其圆心为(3,2),半径r=2,所以圆心到直线y=kx+2的距离d==,由弦长公式可得|MN|=2=2,因为|MN|≥2,所以2≥2,所以0≤d≤1,即∈[0,1],解得-≤k≤,故k的取值范围是.故选A. 10.答案　2 解析　易知圆O的圆心为O(0,0),半径R=2,设圆心O到直线的距离为d,则d==≥1(仅当cos2θ=1时取等号),又|AB|=2=2,故当d取最小值时|AB|取得最大值,即d=1时,|AB|取得最大值,且|AB|max=2. 11.解析　(1)证明:易知直线l过定点(1,1),记P(1,1),∵|PC|==1<,即点P在圆C内,∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点. (2)∵圆C的半径r=,|AB|=,∴圆心(0,1)到l的距离d==,即=,解得m=±. 12.解析　(1)设点C的坐标为(x,y),则点B的坐标为(2x-1,2y+3), ∵点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点, ∴(2x-1+1)2+(2y+3+1)2=4,即x2+(y+2)2=1, ∴AB的中点C的轨迹方程为x2+(y+2)2=1. (2)由(1)知点C的轨迹为圆,且该圆的圆心为(0,-2),半径r=1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,此时|MN|=,满足条件; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k, ∵r=1,|MN|=,∴圆心(0,-2)到直线l的距离d=,即d==,解得k=, ∴直线l的方程为y+1=,即6x-8y-11=0. 综上,直线l的方程为x=或6x-8y-11=0. 13.C　若切线与x轴垂直,则切线方程为x=2,此时圆心(1,1)到直线x=2的距离为1,与圆的半径相等,符合题意; 当切线的斜率存在时,设切线的方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0, 由题意可得==1,解得k=, 此时,所求切线的方程为4x-3y+4=0. 综上所述,所求切线方程为x=2或4x-3y+4=0. 故选C. 14.A　设坐标原点为O,圆x2+y2=1的半径为r.根据切线的性质可得切线长==,要使切线长最小,则要求|OP|最小,易知当OP⊥l时,满足要求,此时|OP|==2,∴切线长的最小值为=,故选A. 15.B　不妨设P(x0,y0),则以OP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,即x2+y2-x0x-y0y=0①,记该圆为M.因为PA,PB是圆O的切线,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以A,B在圆M上,所以AB是圆O与圆M的公共弦,又因为圆O:x2+y2=1②,所以由①-②得直线AB的方程为x0x+y0y-1=0,又x0=a-2,y0=a,代入得(a-2)x+ay-1=0,即a(x+y)-2x-1=0,令解得所以直线AB过定点.故选B. 16.答案　(x-2)2+(y-1)2=5 解析　不妨设yA>yB,坐标原点为O.由题意可得A(0,2),所求圆的圆心在AP的垂直平分线(即直线x=2)上,且在弦AB的垂直平分线(即直线OP)上,易得直线OP的方程为y=x,联立x=2和y=x,可得x=2,y=1,∴所求圆的圆心为(2,1),故所求圆的半径的平方r2=(2-0)2+(1-2)2=5,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 17.解析　(1)由题意可知,圆M的圆心为M(0,2),半径r=1,设P(-2b,b), 因为PA是圆M的一条切线,A为切点,所以∠MAP=90°,又|AM|=r=1,|AP|=, 所以|MP|===2,解得b=0或b=, 所以点P的坐标为(0,0)或. (2)设P(-2t,t),因为PA,PB是圆M的两条切线,切点分别为A,B,所以∠PAM=∠PBM=90°, 所以A,P,B,M四点共圆,且以MP为直径, 设圆心为N,可得圆N的方程为x(x+2t)+(y-2)(y-t)=0,即x2+y2+2tx-(t+2)y+2t=0①, 又圆M:x2+y2-4y+3=0②, 所以由①-②得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2tx-(t-2)y+2t-3=0. 点M(0,2)到直线AB的距离d=,所以|AB|=2=2=2, 所以当t=时,线段AB的长度取最小值,为. 能力提升练 1.D 2.C 3.AC 5.C 6.C 7.D 8.A 9.CD 1.D　直线tx+y+t-1=0即t(x+1)+y-1=0,所以直线过定点(-1,1),因为直线与圆恒有公共点,所以点(-1,1)在圆内或在圆上,所以(-1-2)2+(1-2)2≤m2,解得m≤-或m≥.故选D. 2.C　圆M:x2+y2-6x+8y=0可化为(x-3)2+(y+4)2=25,∴圆心坐标为(3,-4),半径为5.若圆M上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则圆心(3,-4)到直线l的距离应小于或等于,即≤,解得k≥或k≤-,∴k的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞). 3.AC　圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离d===|sin(θ+φ)|,其中tan φ=k.∵d≤1,∴直线l与圆M恒有公共点,A正确.当θ=0时,d=<1恒成立,此时不存在实数k,使得直线l和圆M相切,B错误.无论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1都有解,即对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,C正确.∵d≤1,且圆上任一点到直线l的距离都不超过d+1,∴d+1≤2,D错误.故选AC. 4.答案　[2-,3) 解析　圆x2-2x+y2-4y+3=0可化为(x-1)2+(y-2)2=2,∴圆心为(1,2),半径r=,记C(1,2). 由直线l:kx-y+k=0即y=k(x+1),可得直线l过定点(-1,0),记A(-1,0). 如图,当直线与圆相切于点M时直线斜率最小,且直线斜率的最大值趋近于kAB. 由=,可得k=2±,结合图形可知kAM=2-; 由A(-1,0),B(0,3),可得kAB==3, ∴k的取值范围是[2-,3). 5.C　圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),半径r=2,圆心C到直线l的距离d==,|AB|=2=2,由△ABP为等边三角形,可得P到直线AB的距离为|AB|=,过P作直线n∥l,设直线n:x-my+t=0,t≠2m,可得直线n与圆C相切,即有=2,解得t=-1±2,则直线l,n间的距离为=,由|AB|>0,得m<,所以m=0或m=-.故选C. 6.C　由题可知圆C的圆心为C(2,1),半径r=, 点A(0,a)到圆心C的距离为|AC|==, 所以切线长d1===,可看成点A到定点P(1,1)的距离, 由(1-2)2+(1-1)2<3,可知P(1,1)在圆C内. 如图,设过A向圆引的切线的切点为B,过点P作PH垂直于直线x-y+4=0,垂足为H,与y轴的交点为A',所以kPH=-1, 则直线PH:y-1=-(x-1),即y=-x+2, 令x=0,得y=2,即A'(0,2).易知当点A与A'重合时,d1+d2有最小值,此时a=2.故选C. 7.D　因为A(x1,y1),B(x2,y2)满足x1+y1=x2+y2=3,所以AB所在直线的方程为x+y=3,由题知A,B是圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x+y=3的公共点,联立消去x,可得2y2-6y+9-r2=0,可得y1y2=,同理可得x1x2=,又x1x2+y1y2=-r2,故+=-r2,解得r=3(负值舍去).故选D. 8.A　O(0,0)到直线x+y-4=0的距离d==2>,故直线与圆相离,故直线上任意一点A与圆上两点P,Q所成角最大时,AP,AQ均为圆的切线,如图, 因为∠PAQ的最大值为90°,所以当∠PAQ最大时,四边形APOQ是边长为的正方形,则|OA|=2,此时d=|OA|,令A(4-y,y),则有(4-y)2+y2=4,即y2-2y+3=0,所以y=,即A(1,).故选A. 9.CD　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,它表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.令y-x=a,=k,x+y=b,则这三条直线都与该圆有公共点,所以≤,≤,≤,解得--2≤a≤-2,-≤k≤,2-≤b≤2+,所以y-x的最大值为-2,的最大值为,x+y的最大值为2+,所以A中说法正确,C、D中说法错误;易知x2+y2表示圆上的点与坐标原点间距离的平方,且圆上的点到原点的距离的范围为[2-,2+],即2-≤≤2+,故7-4≤x2+y2≤7+4,所以x2+y2的最大值为7+4,B中说法正确.故选CD. 方法总结　若P(x,y)是定圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一动点,则mx+ny,,x2+y2的最值一般都采用几何法求解,具体求法如下: ①mx+ny的最值:设mx+ny=t,则圆心C(a,b)到直线mx+ny=t的距离d=,由d≤r可得两个t值,一个为最大值,一个为最小值. ②的最值:即点P与原点连线的斜率,通过数形结合可求得斜率的最大值和最小值. ③x2+y2的最值:x2+y2可视为点P到原点的距离d的平方,可通过圆心到原点的距离加上或者减去半径得到d的最大值或最小值,然后平方即可. 10.答案　-4<m< 解析　显然直线l的斜率存在,设直线l:y=k(x-m),即kx-y-km=0, 依题意得1->0,4->0,且1-=4-有解,故∴∴13-8m>0, 消去k2可得3m2+8m-16<0,解得-4<m<. 11.答案　[-4-2,4-2] 解析　圆C:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,其圆心为(2,0),半径r=2, 过点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,连接PC,CA,CB,如图所示, 若直线l:x+y+m=0上存在点P满足∠APB=60°,则∠APC=30°, 又CA⊥PA, 故|PC|=2|CA|=2r=4, 故点C到直线l的距离d=≤4, 解得-4-2≤m≤4-2, 即m的取值范围是[-4-2,4-2]. 12.答案　2 解析　圆M:x2+y2-2x-6y=0可化为(x-1)2+(y-3)2=10,∴其圆心为M(1,3),半径r=. 由直线l1:x+my-2-m=0,即x-2+m(y-1)=0,可知l1过定点(2,1),记E(2,1), 由直线l2:mx-y-2m+1=0,即m(x-2)-y+1=0,可知l2过定点E(2,1). 易知l1⊥l2,如图,设线段AC和BD的中点分别为F,G,则四边形EFMG为矩形, 设|MF|=d,0≤d≤|ME|=,则|MG|===, 则|AC|+|BD|=2+2=2(+)≤2=2, 当且仅当10-d2=5+d2,即d=时取等号. 13.解析　(1)点P(-1,-2)到直线l的距离d==, 故圆P的半径r==4, 所以圆P的方程为(x+1)2+(y+2)2=16. (2)设M(x,y),R(a,b),则(x+1)2+(y+2)2=16,整理得x2+y2=-2x-4y+11, 则|MN|2=|MO|2-1=x2+y2-1,|MR|2=(x-a)2+(y-b)2, 则== =, 若使为定值,则==, 解得或 所以平面内存在一定点R,使得为定值,且当R的坐标为时,=,当R的坐标为1-,2-时,=. 14.解析　(1)设P(x,y),由题意知A(3,0),B(12,0),且=,即2=, 化简得x2+y2=36,所以曲线E的方程为x2+y2=36. (2)由题意知C(0,-2),设D为轮船原航线上任意一点,如图. ∵轮船向北偏东30°方向航行, ∴直线CD的倾斜角为60°,即直线CD的斜率为, ∴直线CD的方程为y=x-2, ∵曲线E的方程为x2+y2=36,圆心O(0,0),半径R=6海里, 圆心O到直线CD的距离d==(海里),满足d<R, ∴如果轮船不改变航向,那么它一定会进入安全预警区. 直线CD被圆O截得的弦长l=2=10(海里), ∵轮船以每小时10海里的速度航行, ∴它在安全预警区中的航行时间t==1(小时). 故如果航向不变,轮船一定会进入安全预警区,它在安全预警区中的航行时间为1小时. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$