2.4.2 圆的一般方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.4.2　圆的一般方程 基础过关练 题组一　二元二次方程与圆的关系 1.若方程x2+y2+4x+2y-m=0表示一个圆,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,-5)　　　　B.(-5,+∞)　　 C.(-∞,5)　　　　D.(5,+∞) 2.(多选题)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆,则实数m的可能取值为(　　) A.-1　　B.0　　C.　　D. 题组二　圆的一般方程及其应用 3.圆的一般方程为x2+y2-4x-6y-3=0,则它的圆心坐标和半径分别为(　　) A.(2,3),　　　　B.(3,2),　　 C.(2,3),4　　　　D.(3,2),4 4.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则x2+y2的最小值为(　　) A.2-　　B.7+4　　C.2+　　D.7-4 5.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆圆心位于(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限　　 C.第三象限　　　　D.第四象限 6.已知点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),M(2,a)四点共圆,则a=　　　　.  7.赵州桥,又名安济桥,位于河北省石家庄市赵县的洨河上,距今已有1 400多年的历史,是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥,其高超的技术水平和不朽的艺术价值,彰显了中国古代劳动人民的智慧和力量.2023年以来,中国文旅市场迎来强劲复苏,某地一旅游景点为吸引游客,参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥(如图1),该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程; (2)若该景区游船宽10 m,水面以上高3 m,试判断该景区游船能否从桥下通过,并说明理由.(附:≈1.732) 　 题组三　与圆有关的动点的轨迹问题 8.(教材习题改编)已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　　.  9.(2023四川成都双流中学期中)已知点A(-2,0),B(2,0),C(1,). (1)求△ABC的外接圆的方程; (2)在外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程. 能力提升练 题组　圆的方程及其应用 1.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　) A.5　　B.10　　C.15　　D.20 2.已知过坐标原点O的直线l与圆C:x2-12x+y2+16y-25=0相交于M,N两点,当线段MN的长为整数时,所有满足条件的直线的条数为(　　) A.12　　B.13　　C.25　　D.26 3.已知两定点P,Q(m,0),如果动点M与P,Q的距离之比=λ(λ>0且λ≠1),那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,若其方程为x2+y2=4,则λ+m的值为(　　) A.-8　　B.-4　　 C.0　　D.4 4.已知圆O:x2+y2=16,过点P(8,0)的动直线l与圆O相交于A,B两点,线段AB的中点为M,则M的轨迹的长度为(　　) A.8　　B.　　 C.　　D. 5.已知定点M(-3,4),动点N在圆O:x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为　　　　　　　　　　　　.  6.在平面直角坐标系Oxy中,A和B是圆C:x2-2x+y2=0上两点,且|AB|=,点P的坐标为(2,1),则|2-|的取值范围为　　　　　　.  7.已知圆C上的任意一点到两个定点A(2,0),B(-2,0)的距离之比为,则圆C的方程是　　　　　　;在直线l:3x+4y+m=0上存在点P满足:过P作圆C的切线,切点分别为M,N,且四边形PMCN的面积为4,则实数m的取值范围是　　　　.  8.已知某圆的圆心在直线y=x上,且该圆过点(-2,2),半径为2,直线l的方程为(m+1)x+(2m-1)y-3m=0. (1)求此圆的方程; (2)若直线l过定点A,点B,C在此圆上,且AB⊥AC,求|BC|的范围. 9.(教材习题改编)()如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2). (1)求对角线AC所在直线的方程; (2)求正方形ABCD外接圆的方程; (3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN的中点M的轨迹是什么?并求出轨迹方程. 答案与分层梯度式解析 2.4.2　圆的一般方程 基础过关练 1.B 2.BC 3.C 4.D 5.D 1.B　因为方程x2+y2+4x+2y-m=0表示一个圆,所以42+22+4m>0,解得m>-5.故选B. 解题技巧　对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形. 2.BC　方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0,变形得[x-(m+3)]2+[y+(1-4m2)]2=-7m2+6m+1,当且仅当-7m2+6m+1>0,即7m2-6m-1<0时此方程表示圆,解得-<m<1,故实数m的取值范围为,结合选项可知选BC. 3.C　x2+y2-4x-6y-3=0即(x-2)2+(y-3)2=16,故圆心坐标为(2,3),半径为4.故选C. 4.D　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,圆心为(2,0),设为C,半径r=.x2+y2表示圆上的点与原点O(0,0)的距离的平方,又|OC|==2,所以x2+y2的最小值为（|OC|-r）2=7-4.故选D. 5.D　∵方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,∴a2+(-2a)2-4(2a2+3a)>0且圆心为,解得-4<a<0,故圆心位于第四象限,故选D. 6.答案　1 解析　设过A,B,C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得 所以过A,B,C的圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0, 又点M在此圆上,所以4+a2+12-2a-15=0,即a2-2a+1=0,所以a=1. 7.解析　(1)设这座圆拱桥的拱圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为该拱圆过A(-8,0),B(8,0),C(0,4), 所以解得所以拱圆的方程为x2+y2+12y-64=0,即x2+(y+6)2=100. (2)当x=5时,52+(y+6)2=100,所以y=5-6≈5×1.732-6=2.66<3, 所以该景区游船不能从桥下通过. 8.答案　(x-8)2+y2=36(y≠0) 解析　设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0). 9.解析　(1)设外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0, 因为外接圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点, 所以解得 所以外接圆的方程为x2+y2-4=0. (2)设M(x,y),P(xP,yP),则D(xP,0), 因为M为线段PD的中点,所以xP=x,yP=2y, 又点P在圆x2+y2=4上, 所以x2+(2y)2=4,即+y2=1, 故点M的轨迹方程为+y2=1. 能力提升练 1.B 2.C 3.B 4.B 1.B　把圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-3)2=10,则圆心坐标为(1,3),半径为,设M(1,3),根据题意画出图形,如图. 由图可知过点E的最长弦为直径AC,最短弦为过E且与直径AC垂直的弦BD,则|AC|=2,|MB|=,|ME|==,所以|BD|=2|BE|=2=2,所以四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=×2×2=10.故选B. 2.C　圆C的标准方程为(x-6)2+(y+8)2=125,可得圆心为C(6,-8),半径r=5.由|OC|==10<5,可知原点在圆C内部.又过原点的直线l与圆C相交于M,N两点,故|MN|max=2r=10,当OC与直线l垂直时,|MN|min=2=2=10,因此10≤|MN|≤10,又22<10<23,因此满足条件的直线l的条数为(22-10)×2+1=25.故选C. 3.B　设M(x,y),由=λ(λ>0且λ≠1),得=λ,所以x2-2mx+m2+y2=λ2x2+λ2x+λ2+λ2y2,所以x2+y2-x=,又M的轨迹方程为x2+y2=4,所以=0且=4,解得m=-(舍去)或m=-8,所以λ2=-2×(-8)=16,所以λ=4,所以λ+m=-4.故选B. 4.B　圆O的圆心为O(0,0),半径为4,设M(x,y),由线段AB的中点为M,可得OM⊥MP,即有·=(x,y)·(8-x,-y)=x(8-x)-y·y=0,即(x-4)2+y2=16,由题知点M在圆O内,所以点M的轨迹是以C(4,0)为圆心,4为半径的圆在圆x2+y2=16内部的部分. 如图,EF垂直平分OC于D,=,所以∠ECD=60°,∠ECF=120°, 所以M的轨迹的长度为×2πr=×2π×4=.故选B. 5.答案　以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点 解析　如图所示.设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为. 由于平行四边形的对角线互相平分,所以线段OP与线段MN的中点重合, 所以即故N(x+3,y-4). 又点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上, 所以(x+3)2+(y-4)2=4. 当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=.因此所求轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点. 解后反思　本题求轨迹方程的方法为代入法,先找到所求动点与已知动点的关系,再代入已知动点的轨迹方程. 6.答案　[-,+] 解析　设2-=,则有=(+),所以A为BE的中点,|AE|=|AB|=.过C作CF⊥AB,垂足为F,因为|AB|=,所以|AF|=|BF|=,|CF|==,|EF|=|AE|+|AF|=+=,所以|CE|===,所以点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=5,又|CP|=,所以=-,=+.所以|2-|的取值范围为[-,+]. 7.答案　(x+4)2+y2=12;[-8,32] 解析　设(x,y)是圆C上的任意一点,则=,化简得圆C的方程为(x+4)2+y2=12.圆心C的坐标为(-4,0),半径为2,由题意知PM⊥CM,PN⊥CN,所以|PM|=|PN|=,又S四边形PMCN=2×|PM|×|CM|=×2=4,所以|PC|=4.又点P在直线l:3x+4y+m=0上,所以|PC|不小于C到直线l的距离,即4≥d=,解得-8≤m≤32, 故实数m的取值范围是[-8,32]. 8.解析　(1)∵圆心在直线y=x上,∴设圆心为(a,a), 又圆过点(-2,2),半径为2, ∴=2,∴a=0, ∴圆的方程为x2+y2=8. (2)(m+1)x+(2m-1)y-3m=0即(x+2y-3)m+(x-y)=0, 令解得∴直线l过定点A(1,1), 取线段BC的中点为D(x,y),原点为O, ∵AB⊥AC,D为BC的中点,∴|BD|=|AD|,|BC|=2|AD|,又|OB|2=|OD|2+|BD|2,∴8=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2, 化简得+=,即D的轨迹是以为圆心,为半径的圆,记M, 又|AM|=<,∴|AD|的取值范围为, ∴|BC|的取值范围为[-,+]. 9.解析　(1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0. (2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0). 设r为正方形ABCD外接圆的半径,则r=|AC|, 又|AC|==4,∴r=2. ∴正方形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. (3)设P(x0,y0),M(x,y), 则∴∵P为外接圆上一点, ∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2. ∴点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$