2.4.1 圆的标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 基础过关练 题组一　圆的标准方程 1.圆心为(-2,3),半径是3的圆的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y+3)2=9　　　　B.(x+2)2+(y-3)2=3 C.(x+2)2+(y-3)2=9　　　　D.(x-2)2+(y+3)2=3 2.设A(1,-1),B(5,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A.(x-3)2+y2=20　　　　B.(x-3)2+y2=5 C.(x+3)2+y2=20　　　　D.(x+3)2+y2=5 3.圆心在x轴上,并且过点A(-1,3)和B(1,1)的圆的标准方程是(　　) A.(x+4)2+y2=18　　　　B.(x+3)2+y2=10 C.(x-2)2+y2=10　　　　D.(x+2)2+y2=10 4.已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为(　　) A.(x+1)2+(y-1)2=9　　　　 B.(x-1)2+(y-1)2=81 C.x2+y2=9　　　　 D.x2+(y+1)2=9 5.过点A(4,1)的圆C与直线x-y=1相切于点B(2,1),则圆C的方程为　(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=5　　　　B.(x-3)2+y2= C.(x-3)2+(y-8)2=50　　　　D.(x-3)2+y2=2 6.已知圆M经过点(0,2),(0,4),且圆心M在直线2x-y-1=0上,则圆M的方程为　　　　　　.  7.已知圆C过点O(0,0),且与直线x+y+4=0相切,则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为　　　　　　.  8.(教材习题改编)已知△AOB的顶点分别为A(2,0),B(0,4),O(0,0),则△AOB外接圆的标准方程为　　　　　.  9.已知直线l:4x-3y-4=0,请写出一个同时满足以下条件的圆M的方程:　　　　　　　　　.  ①圆M与x轴相切; ②圆M与直线l相切; ③圆M的半径为2. 10.分别求满足下列条件的圆的标准方程: (1)经过点A(3,2),B(2,3),圆心在x轴上; (2)经过直线x+2y+3=0与x-2y+3=0的交点,圆心为点C(-2,1). 题组二　点与圆的位置关系 11.已知a,b是方程x2-x-=0的两个不等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内　　　　B.点P在圆C外　　 C.点P在圆C上　　　　D.无法确定 12.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值范围是　　　　.  能力提升练 题组　圆的标准方程及其应用 1.方程|x|-1=表示的曲线为(　　) A.两个半圆　　　　B.一个圆　　 C.半个圆　　　　D.两个圆 2.已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为　 (　　) A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25 C.(x-2)2+y2=25(y≠0) D.(x-2)2+y2=25 3.(多选题)设直线l:x+y-4=0被半径为3的圆C截得的弦AB的中点为P(3,1),且弦长|AB|=2,则圆C的标准方程为(　　) A.x2+(y-3)2=9　　 B.(x-4)2+(y-3)2=9 C.(x-2)2+y2=9　　 D.(x-4)2+(y-2)2=9 4.我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理,这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便,对于勾股定理,我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法,如魏晋时期的刘徽,清代的梅文鼎、华蘅芳等.其中华蘅芳证明勾股定理时构造的图形如图所示,若|CB|=1,|CA|=2,∠ACB=90°,以C为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,以AB的中点D为圆心作圆D,使得图里三个正方形的所有顶点中恰有2个顶点在圆D外部,则圆D的一个标准方程为　　　　　　.(写出一个即可)  5.在平面直角坐标系Oxy中,以AB为直径的圆C与直线l交于A,D两点,且A,D的坐标分别为(3,6),(1,t),E为劣弧上一点,满足=,若点B在y轴的右侧,直线CE的斜率为2,△ABD的面积为15,则圆C的标准方程为　　　　　　　　.  6.对非原点O的点M,若点M'在射线OM上,且|OM|·|OM'|=r2,则称M'为M的“r-圆称点”,图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形G'称为G的“r-圆称形”.则A(1,0)的“3-圆称点”为　　　　　　,圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为　　　　　　.  7.在△ABC中,A(-4,1),B(8,5),△ABC的内心为D(6,1). (1)求△ABC内切圆的方程; (2)求△ABC外接圆的方程. 答案与分层梯度式解析 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 基础过关练 1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 11.A 1.C　圆心为(a,b),半径是r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.故选C. 2.B　由题知,所求圆的圆心为(3,0),半径为=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-3)2+y2=5.故选B. 知识延伸　平面上以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 3.D　∵圆心在x轴上,∴设圆心为M(a,0),∵圆过点A(-1,3)和B(1,1),∴|MA|=|MB|,得|MA|2=|MB|2,即(a+1)2+9=(a-1)2+1,解得a=-2,可得圆心为M(-2,0),半径为|MA|==.故所求圆的方程为(x+2)2+y2=10.故选D. 4.D　设圆心为C(a,b),由圆心C与点P关于直线y=x+1对称,得直线CP与直线y=x+1垂直,∵直线y=x+1的斜率为1,∴直线CP的斜率为-1,∴=-1,化简得a+b+1=0①,∵线段CP的中点在直线y=x+1上,∴=+1,化简得a-b-1=0②,联立①②,可解得a=0,b=-1,∴圆心C的坐标为(0,-1),∴圆C的标准方程为x2+(y+1)2=9.故选D. 5.D　设圆心为C(a,b),因为直线x-y=1与圆C相切于点B(2,1),所以kBC==-1,即a+b-3=0,易知线段AB的中垂线方程为x=3,圆心C在直线x=3上,故a=3,b=0,所以半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.故选D. 名师点睛　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到圆的几何性质,如弦的中垂线必过圆心,圆心到切线的距离等于半径等. 6.答案　(x-2)2+(y-3)2=5 解析　因为圆M过点(0,2)和(0,4),所以圆心在直线y=3上,又圆心在直线2x-y-1=0上,故圆心的坐标为(2,3),故半径r==,故圆M的方程为(x-2)2+(y-3)2=5. 7.答案　(x+1)2+(y+1)2=2 解析　过O作直线x+y+4=0的垂线,垂足为A,如图.当OA为直径时,圆C的面积最小.又O到直线x+y+4=0的距离d==2,所以半径r=,设圆心为C(a,b),因为圆C与直线x+y+4=0相切,所以·(-1)=-1,即a=b,又a2+b2=2,所以a=-1,b=-1,故圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2. 8.答案　(x-1)2+(y-2)2=5 解析　解法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为此圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0), 所以解得 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 解法二:由题得,kOA=0,线段OA的中点坐标为(1,0),中垂线方程为x=1,同理线段OB的中垂线方程为y=2,联立两中垂线方程得△AOB外接圆的圆心为(1,2),利用两点间距离公式可求出圆心与点O的距离为,即半径为,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 解后反思　三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等,是三角形三边的中垂线的交点. 9.答案　x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4(写出其中的一个即可) 解析　由①③知圆心的纵坐标为2或-2,设其横坐标为a.当圆心为M(a,2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=0或a=5.当圆心为M(a,-2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=2或a=-3.所以圆M的方程为x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4. 10.解析　(1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=r2, 由题意得解得 所以所求圆的标准方程为x2+y2=13. (2)联立解得所以交点为(-3,0), 则所求圆的半径为=, 所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2. 11.A　由题意得a+b=1,ab=-,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,∴点P在圆C内,故选A. 12.答案　 解析　因为点P在圆(x-1)2+y2=1的内部,所以(5a+1-1)2+(12a)2<1,所以-<a<. 能力提升练 1.A 2.C 3.CD 1.A　两边平方得(|x|-1)2=2y-y2,整理得(|x|-1)2+(y-1)2=1,由题知|x|-1≥0,即|x|≥1,即x≥1或x≤-1.当x≥1时,方程为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半部分;当x≤-1时,方程为(x+1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(-1,1)且半径为1的圆的左半部分. 综上所述,方程|x|-1=表示的曲线为两个半圆,故选A. 2.C　解法一:设C(x,y),则|CA|2+|CB|2=|AB|2, ∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25. ∵A,B,C三点构成三角形,∴y≠0. ∴直角顶点C的轨迹方程是(x-2)2+y2=25(y≠0). 解法二:依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知线段AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).故选C. 易错警示　若A,B,C三点能构成三角形,则三点不共线,在设点的坐标以及求出方程后要注意排除不满足题目要求的取值. 3.CD　由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=9.圆心C(a,b)到直线l的距离d===,① ∵直线l:x+y-4=0被圆C截得的弦AB的中点为P(3,1),∴kPC·kl=-1,即×(-1)=-1,② 由①②可得a=4,b=2或a=2,b=0,∴所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-2)2=9或(x-2)2+y2=9.故选CD. 4.答案　+(y-1)2=(答案不唯一) 解析　如图所示,A(0,2),B(1,0),C(0,0),则D,易知点D到正方形ACNM、ABRS、BCPQ的顶点A,C,N,M,B,R,S,P,Q的距离依次为,,,,,,,,,所以圆D的方程为+(y-1)2=r2.故圆D的一个标准方程为+(y-1)2=.此答案不唯一. 5.答案　(x-5)2+= 解析　根据题意画出大致图形如图, 因为点E为劣弧上一点,满足=,所以CE⊥BD,因为AB为圆C的直径,所以∠ADB=90°,即AD⊥BD,所以CE∥AD.因为kCE=2,所以kAD=2,又A(3,6),所以直线AD:y=2x,又D(1,t),所以t=2,所以D(1,2),设B的坐标为(m,n)(m>0),因为AD⊥BD,kAD=2,所以kBD=-,即=-,所以m+2n=5①. 因为△ABD的面积为15,|AD|==2,所以|AD|·|BD|=×2×=15,即|2m-n|=15②,联立①②解得或(舍去),即B(7,-1). 所以C,半径R=|AC|==, 所以圆C的标准方程为(x-5)2+=. 6.答案　(9,0);2x+4y-9=0 解析　设A的“3-圆称点”为A'.∵A(1,0),∴射线OA所在直线的方程为y=0(x>0),∵A'在射线OA上,∴设A'(a,0),a>0,由|OA|·|OA'|=r2=9,可得1×a=9,∴a=9,∴A(1,0)的“3-圆称点”为(9,0).设M(x0,y0)为圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上任意一点,M'(x,y)为其“3-圆称形”上一点,∵点M'在射线OM上,∴O,M,M'三点共线,所以存在实数k(k>0),使=k,则(x,y)=k(x0,y0),即x=kx0,y=ky0,由|OM|·|OM'|=r2=9,可得·=·=9,可得k(+)=9,∵M(x0,y0)在圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上,∴+-2x0-4y0=0,故k(+)-2kx0-4ky0=0,即9-2x-4y=0,整理得2x+4y-9=0,∴圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为2x+4y-9=0. 7.解析　(1)由A(-4,1),B(8,5)可得直线AB的方程为y-1=(x+4),即x-3y+7=0, 所以D(6,1)到直线x-3y+7=0的距离d==, 因此△ABC内切圆的半径为,圆心为D(6,1), 所以△ABC内切圆的方程为(x-6)2+(y-1)2=10. (2)设直线AB与内切圆相切于点M,内切圆半径为r,连接AD,BD,DM,如图, 因为|AB|==4, |AM|===3, 所以|BM|=|AB|-|AM|==r, 所以∠ABD=45°, 因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=2∠ABD=90°,因此AB⊥BC, 所以△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形. 由kAB==,得kBC=-=-3, 所以直线BC的方程为y=-3(x-8)+5, 又AD∥x轴,所以直线AB,AC关于直线AD对称,因此kAC=-kAB=-, 因此直线AC的方程为y=-(x+4)+1, 联立直线AC,BC的方程,得解得故C(11,-4), 因此AC的中点坐标为,即外接圆圆心为,又外接圆的半径为|AC|=×=, 故△ABC外接圆的方程为+=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$