2.2.3 直线的一般式方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 题组一　直线的一般式方程及应用 1.(教材习题改编)过点P(-1,2)且平行于直线l:2x-y+1=0的直线方程为(　　) A.x+2y-3=0　　　　B.x+2y-5=0 C.2x-y=0　　　　D.2x-y+4=0 2.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为(　　) A.3x+2y-1=0　　　　B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0　　　　D.2x-3y+8=0 3.已知直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为2θ,且直线l2在y轴上的截距为3,则直线l2的一般式方程为(　　) A.x+y-3=0　　　　B.4x-3y+9=0　　 C.3x-4y+3=0　　　　D.2x+y-3=0 4.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k等于(　　) A.1或3　　B.5　　C.3或5　　D.3 5.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为(　　) A.-4　　B.0　　C.20　　D.24 6.(教材习题改编)已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为　　　　　　　.  题组二　直线方程几种形式的相互转化 7.直线3x-y-1=0的斜率k及在y轴上的截距b分别是(　　) A.3,-1　　　　B.-3,1　　 C.,1　　　　D.3,1 8.无论m为何值,直线mx-y+2m+1=0所过定点的坐标为(　　) A.(-2,-1)　　　　B.(2,-1) C.(-2,1)　　　　D.(2,1) 9.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 10.如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则点H的坐标为　　　　,直线FH的一般式方程为　　　　　　　　.  11.已知直线(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,若它分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,则三角形AOB的面积最小时的直线的方程为　　　　　.  12.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1,2),B(2,-2),C(3,5). (1)求边AC上的高所在直线的一般式方程; (2)求∠BAC的平分线所在直线的一般式方程. 能力提升练 题组　直线方程的综合应用 1.(多选题)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0 C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 2.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线,后人将这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-6,0),则其欧拉线的一般式方程为　(　　) A.3x+y=1　　　　B.3x-y=1 C.x+3y=0　　　　D.x-3y=0 3.已知直线l不过第二象限,且与直线2x+3y+5=0垂直,写出一个满足上述条件的直线l的方程:　　　　　.  4.已知直线l1:y=x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是　　　　.  5.已知直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B. (1)若直线l的斜率为-2,求△AOB的面积; (2)若△AOB的面积S满足12≤S<,求直线l的斜率k的取值范围. 6.已知直线l1,l2均过点P(1,2). (1)若直线l1过点A(-1,3),且l1⊥l2,求直线l2的方程; (2)如图,O为坐标原点,若直线l1的斜率为k,其中0<k≤2,且与y轴交于点N,直线l2过点Q(R为常数),且与x轴交于点M,求直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形PNOM的面积的最小值. 7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,求k的值. 答案与分层梯度式解析 2.2.3　直线的一般式方程 基础过关练 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 7.A 8.C 9.C 1.D　设所求直线方程为2x-y+t=0(t≠1),由点P(-1,2)在直线2x-y+t=0上,得-2-2+t=0,解得t=4,即直线方程为2x-y+4=0.故选D. 2.A　由直线l与直线2x-3y+1=0垂直,可设l的方程为3x+2y+t=0,由点(-1,2)在直线3x+2y+t=0上,得-3+4+t=0,解得t=-1,因此l的方程为3x+2y-1=0.故选A. 3.B　由直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,可知tan θ=,∵直线l2的倾斜角为2θ,∴直线l2的斜率为tan 2θ==,∵直线l2在y轴上的截距为3,∴直线l2的方程为y=x+3,即4x-3y+9=0.故选B. 4.C　∵l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,∴-2(k-3)=2(k-3)(4-k),解得k=3或k=5.当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,满足直线l1与l2平行;当k=5时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,满足直线l1与l2平行.∴k=3或k=5.故选C. 易错警示　已知直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0平行求参数,可令A1B2=A2B1,但是要注意检验并舍去使两直线重合的参数值. 5.A　因为直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直, 所以2a+4×(-5)=0,解得a=10.把(1,c)分别代入两直线的方程,得a+4c-2=0,2-5c+b=0,解得c=-2,b=-12.所以a+b+c=-4.故选A. 方法点拨　直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的等价条件为A1A2+B1B2=0. 6.答案　x-y+1=0 解析　当线段AB最短时,AB⊥l,此时kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式为x-y+1=0. 7.A　将直线方程3x-y-1=0化成斜截式为y=3x-1,故其斜率k=3,在y轴上的截距b=-1.故选A. 8.C　将直线方程mx-y+2m+1=0化为点斜式为y-1=m(x+2),所以直线过定点(-2,1). 9.C　由题意得B≠0,则直线方程Ax+By+C=0化为斜截式为y=-x-,∵A·C<0,B·C<0,∴A·B>0,∴-<0,->0,∴直线通过第一、二、四象限,不通过第三象限.故选C. 10.答案　(2,3);x+4y-14=0 解析　如图,过H,F作y轴的垂线,垂足分别为M,N,易知Rt△AHM≌Rt△CAO,∴|AM|=|OC|,|MH|=|OA|,∵A(0,2),C(1,0),∴|MH|=|OA|=2,|AM|=|OC|=1,可得|OM|=|OA|+|AM|=3,故点H的坐标为(2,3),同理可得F(-2,4),∴直线FH的斜率为=-,可得直线FH的方程为y-3=-(x-2),化简得x+4y-14=0. 11.答案　2x+y+4=0 解析　方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,即(2y-x+3)m+2x+y+4=0,令2y-x+3=0,且2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,即直线恒过定点(-1,-2).由题可设直线方程为+=1,其中a,b<0,则A(a,0),B(0,b),--=1.由基本不等式可知,1=+≥2,解得ab≥8,当且仅当=,即a=-2,b=-4时取等号,故△AOB的面积S=|ab|的最小值为4,此时直线方程为+=1,即2x+y+4=0. 12.解析　(1)由题知直线AC的斜率kAC==,设边AC上的高所在直线的斜率为k,所以k·kAC=-1,所以k=-,故所求直线方程为y+2=-(x-2),即4x+3y-2=0. (2)由题意得=(3,-4),=(4,3),所以||=||=5,设BC的中点为D,则D,故kAD==-,由等腰三角形的性质知,∠BAC的平分线所在直线的斜率为-, 或:设e1,e2分别为与,同向的单位向量,则e1==,e2==,所以e1+e2=,所以∠BAC的平分线所在直线的斜率为- 故所求直线方程为y-2=-(x+1),即x+7y-13=0. 能力提升练 1.AC　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,所以正确; 对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,此时直线l的方程为x-y+1=0,满足直线l与直线x-y=0平行,所以不正确; 对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以正确; 对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC. 2.C　显然△ABC为直角三角形,且BC为斜边,所以其欧拉线为斜边上的中线所在直线,易知线段BC的中点为(-3,1),设D(-3,1),所以AD所在直线的方程为y=-x,所以△ABC的欧拉线的一般式方程为x+3y=0.故选C. 3.答案　3x-2y=0(答案不唯一) 解析　易知直线2x+3y+5=0的斜率为-.因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为. 因为直线l不过第二象限,所以直线l在y轴上的截距小于或等于0,故满足题意的直线l的方程可以为3x-2y=0. 4.答案　 解析　直线l2的方程可化为y=-x++4. 当k>4时,>0,-<0,-k+4<0,+4>0. 易知l1,l2均过定点(2,4),直线l1与x轴交于点,直线l2与y轴交于点, ∴四边形的面积S=×2×+×4×=4-16×+8=4-8, ∵k>4,∴0<<,∴S∈. 5.解析　(1)因为直线l的斜率为-2,且过点P(3,2), 所以直线l的方程为y-2=-2(x-3),即y=-2x+8, 所以直线l与x轴、y轴正半轴的交点分别为A(4,0),B(0,8), 故△AOB的面积为×4×8=16. (2)根据题意,可知直线l的斜率k存在且k≠0, 所以直线l的方程为y-2=k(x-3)(k≠0), 整理得y=kx+2-3k,所以直线l与x轴、y轴正半轴的交点分别为A,B(0,2-3k), 所以解得k<0, 所以△AOB的面积S=··(2-3k)==-+6, 由于△AOB的面积S满足12≤S<, 所以6≤-<,整理得24k≥-18k2-8>51k, 解得-<k<-,满足k<0, 故直线l的斜率k的取值范围为. 6.解析　(1)因为直线l1过点P(1,2),A(-1,3), 所以直线l1的斜率为=-, 因为l1⊥l2,所以·=-1,所以=2, 所以直线l2的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. (2)根据题意可得直线l1的方程为y-2=k(x-1), 令x=0,得y=2-k,即N(0,2-k), 令y=0,得x=-+1, 设直线l1与x轴的交点为T,则T. 因为直线l2过点P(1,2),Q, 所以直线l2的方程为y-2=(x-1),即y-2=-(x-1),令y=0,得x=R2+1,即M(R2+1,0), 所以S四边形PNOM=S△TPM-S△TNO=R2+1-×2-××(2-k)=R2+-=R2+=R2-+2,0<k≤2, 易知当k=2时,S四边形PNOM取得最小值,为R2+1. 7.解析　如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴,y轴于点A,B,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1). 由点C在线段OB上,且l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,可知l2⊥l1或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180°. ①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1. ②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD. 设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2, ∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)===,∴tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1,解得k=-1. 综上,k的值为±1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$