2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 基础过关练 题组一　两条直线平行 1.下列说法正确的有(　　) ①若两直线斜率相等,则两直线平行; ②若两直线平行,则两直线斜率相等; ③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交; ④若两直线的斜率都不存在,则两直线平行. A.1个　　　　B.2个　　 C.3个　　　　D.4个 2.(教材习题改编)若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点A(2,-1),B(-3,4),则直线l1与l2的位置关系是(　　) A.垂直　　　　B.平行 C.重合　　　　D.平行或重合 3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是(　　) A.　　B.-　　C.2　　D.-2 题组二　两条直线垂直 4.若直线l1过点(1,1),(2,-1),直线l2过点(2,1),(x,3),且l1⊥l2,则x等于(　　) A.1　　B.-2　　C.6　　D.-1 5.(教材习题改编)判断下列各题中直线l1与l2是否平行或垂直: (1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5); (3)l1经过点A(-3,-4),B(1,3),l2经过点M(-4,-3),N(3,1); (4)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40). 题组三　两条直线平行和垂直的应用 6.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　) A.20°,20°　　　　B.70°,70°　　 C.20°,110°　　　　D.110°,20° 7.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,如果O,A,B,C四点共圆,那么y的值是(　　) A.19　　B.　　C.5　　D.4 8.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为　　　　.  9.已知l1,l2不重合,直线l1经过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为　　　　.  10.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1∥l2,则b=　　　　.  11.已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值为　　　　.  能力提升练 题组一　直线的平行与垂直 1.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若AB⊥CD,则m的值为(　　) A.1　　B.2　　C.±1　　D.-2 2.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 023,2 024)与点(m,n)重合,则m+n=(　　) A.1　　B.2 025　　C.4 047　　D.4 049 3.(多选题)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则以下可能成立的有(　　) A.b=a3　　　　 B.b=a3+ C.∠AOB=90°　　　　 D.|b-a3|+b-a3-=0 4.在平面直角坐标系Oxy中,四边形OPQR的顶点分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状. 题组二　直线平行与垂直的综合应用 5.光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率是　　　　.  6.(教材习题改编)某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的位置分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的位置为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k).若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=　　　　;若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为　　　　　　　.  7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点); (2)∠MPN是直角. 8.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长为AD,宽为AB,且|AD|=5 m,|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直? 答案与分层梯度式解析 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 基础过关练 1.A 2.D 3.B 4.C 6.C 7.B 1.A　①不正确,两直线可能平行或重合;②不正确,当两直线平行时,两直线的斜率相等或均不存在;③正确,两直线的倾斜角不相等,则一定相交;④不正确,两直线也可能重合.故选A. 2.D　由题意得,直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合. 3.B　方向向量为a=(-5,5)的直线的斜率为=-1,因此直线PQ的斜率为=-1,解得m=-.经检验,m=-符合题意,故选B. 易错警示　当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线的斜率相等;但由两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证. 4.C　由题意可知直线l1的斜率为=-2,直线l2的斜率为=,∵l1⊥l2,∴(-2)×=-1,解得x=6.故选C. 5.解析　(1)易知两直线的斜率都存在, 且==1,==. 由≠,≠-1,得l1与l2既不平行也不垂直. (2)l1与l2都与x轴垂直,且l1与l2不重合,所以l1与l2平行. (3)易知两直线的斜率都存在,且==,==, 由≠,≠-1,得l1与l2既不平行也不垂直. (4)易知l1与x轴垂直,l2与y轴垂直,故l1与l2垂直. 6.C　∵l1∥l,∴直线l1的倾斜角与直线l的倾斜角相等,即为20°.∵l2⊥l,∴直线l2向上的方向与x轴的非正半轴成70°角,因此直线l2的倾斜角为110°. 7.B　由于A,B,C,O四点共圆,所以四边形OABC的对角互补,所以AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即·=-1,∴y=.故选B. 8.答案　-1 解析　若a=3-b,则P,Q两点重合,不合题意,故直线PQ的斜率存在.由kPQ==1,得线段PQ的垂直平分线的斜率为-1. 9.答案　-10 解析　由题意可得,直线l1的斜率为,且=-2,解得m=-8. 由于直线l3的斜率为-,l2⊥l3,所以-2×=-1,解得n=-2.所以m+n=-10. 10.答案　- 解析　当l1∥l2时,k1=k2,故关于k的一元二次方程2k2-3k-b=0有两个相等的实根, 所以Δ=(-3)2-4×2×(-b)=0,解得b=-. 11.答案　1或 解析　因为k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,所以或 又l1∥l2,所以k1=k2, 所以k1+k2+k3=1或k1+k2+k3=. 能力提升练 1.C 2.C 3.AB 1.C　因为A,B两点的纵坐标不等,所以直线AB与x轴不平行,因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,故m≠-3. 当直线AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而当m=-1时,C,D两点的纵坐标均为-1,所以直线CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意. 当直线AB与x轴不垂直时,由斜率公式得kAB==,kCD==.因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,解得m=1. 综上,m的值为1或-1. 2.C　记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则kAB==-1. 由题意知,过点(2 023,2 024)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 023+2 024=4 047.故选C. 3.AB　由题意知a≠0,b≠0.若O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意,故C错误;若A为直角顶点,则b=a3,故A正确;若B为直角顶点,则OB⊥AB,故kOB·kAB=-1,即a2·=-1,所以a(a3-b)=-1,即b=a3+,故B正确;b=a3和b=a3+不可能同时成立,所以|b-a3|+b-a3-=0不可能成立,故D错误.故选AB. 4.解析　当t>0且t≠时,由斜率公式,得kOP==t,kQR===t,kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=. ∴kOP=kQR,kOR=kPQ,∴OP∥QR,OR∥PQ, ∴四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR,四边形OPQR为矩形. 令kOQ·kPR=-1,得·=-1,无实数解,∴OQ与PR不垂直, ∴四边形OPQR为矩形. 5.答案　 解析　设B(a,0),C(0,b),过点B,C分别作x轴,y轴的垂线交于点E,如图, 则∠E=90°,所以∠ECB+∠EBC=90°, 所以2∠ECB+2∠EBC=180°, 由反射角等于入射角,得∠EBC=∠ABE,∠DCE=∠BCE,所以∠DCB+∠ABC=180°, 所以AB∥CD,故kAB=kCD,即=,得ab-6a+3b-14=0, 又由反射角等于入射角,可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补,所以kAB=-kBC,即=-,即ab+4a+3b=0, 联立解得 故B,C,所以kBC==. 6.答案　或;∪(1,+∞) 解析　若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k==;当l与直线AB相交时,直线l过线段AB的中点,又线段AB的中点为,所以k==.故k=或k=.易得kAC==1,kBC==,若A,B两个镇位于马路l的两侧,则k的取值范围为∪(1,+∞). 7.解析　设P(x,0). (1)因为∠MOP=∠OPN,所以OM∥NP,由题知直线OM的斜率存在,所以kOM=kNP,且x≠5.又kOM==1,kNP==,所以1=,所以x=7,即点P的坐标为(7,0). (2)因为∠MPN=90°,所以MP⊥NP,根据题意知直线MP,NP的斜率均存在,所以x≠2且x≠5,所以kMP·kNP=-1.又kMP=,kNP=,所以×=-1,解得x=1或x=6,即点P的坐标为(1,0)或(6,0). 8.解析　以点B为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系.则C(5,0),D(5,3),A(0,3).由题可设M(x,0),0<x<5.因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1,所以·=-1,解得x==3.2,所以当|BM|=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$