2.1.1 倾斜角与斜率（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 基础过关练 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.(多选题)在下列四个命题中,错误的有(　　) A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π) C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α 2.直线y=的倾斜角为(　　) A.0°　　B.60°　　C.90°　　D.180° 3.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　) A.30°　　　　B.60°　　 C.30°或150°　　　　D.60°或120° 4.已知直线l经过两点(0,0),(0,1),直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是(　　) A.0　　B.1　　C.-2　　D.不存在 5.已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为　　　　　　　　.  6.过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(-2,1),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的范围为　　　　.  题组二　直线的斜率公式及其应用 7.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(　　) A.1　　 B.4　　 C.1或3　　D.1或4 8.已知直线l的一个方向向量为=(2,-2),则直线l的斜率为(　　) A.-　　B.-　　 C.　　D. 9.直线l1,l2,l3如图所示,它们的斜率依次为k1,k2,k3,则下列结论正确的是(　　) A.k1>k2>k3　　　　 B.k3>k1>k2　　 C.k2>k1>k3　　　　 D.k2>k3>k1 10.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　　　　.  11.(教材习题改编)已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1). (1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角? (2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角? (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗? 能力提升练 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系不可能成立的是(　　) A.0<k1<k2　　　　B.k1<k2<0 C.k2<k1<0　　　　D.k2<0<k1 2.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2]　　　　B.(0,4) C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4) 3.已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P且总与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　　　　　.  4.已知A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1)三点构成一个三角形,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  题组二　直线斜率的综合应用 5.已知点A(-1-,-1),B(3,0),若点M(x,y)在线段AB上,则的取值范围是(　　) A.∪[,+∞)　　　　 B. C.[-1,]　　　　 D. 6.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　.  7.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图,某标准足球场的底线宽为AB,球门宽为EF,且|AB|=72码,|EF|=8码(码是英制单位,1码≈0.914 4米),球门位于底线的正中位置.在比赛过程中,攻方球员带球运动时,往往需要找到一点P,使得∠EPF最大,这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O处(|OA|=|AB|,OA⊥AB)时,根据场上形势判断,有O→A,O→B两条进攻路线可供选择. (1)若选择路线O→A,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置? (2)若选择路线O→B,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置? 答案与分层梯度式解析 第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 基础过关练 1.ACD 2.A 3.D 4.B 7.A 8.B 9.C 1.ACD　坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,但倾斜角为90°的直线没有斜率,故A中命题错误;直线的倾斜角的取值范围是[0,π),故B中命题正确;C中命题错误,如直线的斜率为tan时,其倾斜角为;D中命题错误,如α=90°时直线的斜率不存在.故选ACD. 2.A　∵直线y=的斜率为0,∴其倾斜角为0°. 故选A. 3.D　如图所示,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°. 4.B　∵直线l经过两点(0,0),(0,1),∴直线l的倾斜角为90°,又直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,∴直线m的倾斜角为45°,其斜率km=tan 45°=1.故选B. 5.答案　(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析　由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或k<tan 135°=-1,所以k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞). 方法点拨　由倾斜角确定斜率的范围时,注意倾斜角中若含90°,则以90°为“分界线”,把斜率的范围分为“两部分”. 6.答案　 解析　如图,kPB==,kPA==-1,所以直线PB,PA的倾斜角分别为,. 设直线l的倾斜角为θ,因为直线l经过点P(0,-1),且与线段AB总有公共点,所以≤θ≤. 7.A　由题意得=1,解得m=1. 8.B　因为直线l的一个方向向量为=(2,-2),所以其斜率kl==-.故选B. 解题技巧　由斜率为k的直线的方向向量为(1,k),知直线的方向向量为(x,y)时,其斜率k=. 9.C　易知k=tan α,作出正切函数y=tan x在[0,π)上的图象如图. 由题图知直线l3的倾斜角为钝角,对应所作的图象可知k3<0; 直线l1与l2的倾斜角都为锐角,且l2的倾斜角大于l1的倾斜角,则k2>k1>0,故k2>k1>k3.故选C. 10.答案　(3,0)或(0,-3) 解析　若点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),易知x≠2,则=tan 45°=1,解得x=3,即P(3,0).若点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),则=tan 45°=1,解得y=-3,即P(0,-3). 综上,点P的坐标为(3,0)或(0,-3). 11.解析　(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0, 即kMN==>0,解得m>-2. (2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0, 即kMN==<0,解得m<-2. (3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角. 能力提升练 1.C 2.B 5.A 1.C　当0<α<β<时,0<k1<k2,故A中关系可能成立;当<α<β时,k1<k2<0,故B中关系可能成立,C中关系不可能成立;当0<α<<β时,k2<0<k1,故D中关系可能成立.故选C. 2.B　设过点A(2,1),B(m,3)的直线为l.当直线l的倾斜角α的取值范围是∪时,直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞),即< -1或>1,解得0<m<2或2<m<4.当直线l的倾斜角α为时,m=2. 综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B. 3.答案　∪ 解析　设过点P且垂直于x轴的直线交线段AB于点C,如图所示. 当直线l由PA的位置绕点P转动到PC的位置时,l的斜率由kPA逐渐增大至+∞,此时k≥kPA==;当直线l由PC的位置绕点P转动到PB的位置时,l的斜率为负值,且由-∞逐渐增大至kPB,此时k≤kPB==-. 综上所述,直线l的斜率k的取值范围是∪. 4.答案　∪ 解析　因为A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1),所以kAC==.当a+2=1,即a=-1时,A(1,-1),B(1,1),C(-5,-2),则直线AB的斜率不存在,此时A,B,C三点能构成一个三角形;当a+2≠1,即a≠-1时,kAB=,要使A,B,C三点能构成一个三角形,则kAB≠kAC,即≠,解得a≠.综上可得,实数a的取值范围为∪. 5.A　易知表示线段AB上的点(x,y)与点(-1,2)连线的斜率.设Q(-1,2),则kQA==,kQB==-,结合图形(图略)可知的取值范围为∪[,+∞).故选A. 6.答案　 解析　设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P==,kA'B==.易知A',B,P三点共线,∴kA'P=kA'B,即=,解得x=,故点P的坐标为. 解题模板　求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点经x轴上的P点反射至B点,则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,此直线为反射线所在直线;B点关于x轴的对称点B'与P,A共线,此直线为入射线所在直线. 7.解析　(1)若选择路线O→A,设|AP|=t,其中0<t≤72,由题意知|AE|=32码,|AF|=32+8=40码. tan∠APE==,tan∠APF==, 所以tan∠EPF=tan(∠APF-∠APE) = ===≤=, 当且仅当t=,即t=16时,等号成立, 此时|OP|=|OA|-|AP|=(72-16)码. 由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增,所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大, 所以若选择路线O→A,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置. (2)若选择路线O→B,设线段EF的中点为N,以N为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(-36,0),O(36,72),F(-4,0),E(4,0), 则kOB==1,则∠OBA=45°, 过P作x轴的垂线,垂足为M,根据三角形相似可设点P(x,x+36),其中-36<x≤36. 当x≠±4时,tan∠AFP=kPF=,tan∠AEP=kPE=, 所以tan∠EPF=tan(∠AEP-∠AFP) = ===, 令m=x+36,则m∈(0,72],x=m-36, 所以(x+36)+=m+=2m+-72≥2-72=32-72, 当且仅当2m=,即m=8,即x=8-36时等号成立, 所以tan∠EPF=≤=,当且仅当x=8-36时等号成立, 此时|OP|=|36-(8-36)|=72-16; 当x=4时,P(4,40),tan∠EPF===; 当x=-4时,P(-4,32),tan∠EPF===. 由题意知∠EPF∈,因为函数y=tan x在上单调递增,所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大, 所以若选择路线O→B,则甲带球(72-16)码时,到达最佳射门位置. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$