1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系　1.3.2　空间向量运算的坐标表示 基础过关练 题组一　空间直角坐标系 1.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.点(1,-2,3)关于坐标平面Ozx的对称点为(1,2,3) B.点关于y轴的对称点为-,1,3 C.点(2,-1,3)到坐标平面Oyz的距离为1 D.设i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4) 2.设z为任意实数,则(2,2,z)表示的图形是(　　) A.z轴 B.与Oxy平面平行的一条直线 C.与Oxy平面垂直的一条直线 D.Oxy平面 3.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为　　　　.  题组二　空间向量及其运算的坐标表示 4.若△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示,且D为BC的中点,则=(　　) A.(1,1,0)　　　　B.(-1,-1,1)　　C.(1,1,-1)　　　　D.(0,1,1) 5.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3k,=-i+j-k,则点B的坐标为(　　) A.(1,-1,1)　　　　B.(-1,1,1)　　C.(1,-1,2)　　　　D.(-1,1,2) 6.与向量a=(3,0,-4)共线的单位向量可以为(　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 7.在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则下列关系式成立的是(　　) A.2x+y+z=1　　　　B.x+y+z=0　　C.x-y+z=-4　　　　D.x+y-z=0 8.若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)·2b=　　　　.  题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 9.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(3λ,2μ-1,1),若a∥b,则λ+μ=(　　) A.-　　B.　　C.-7　　D.7 10.(多选题)已知空间中三点A(2,1,-1),B(1,0,2),C(0,3,-1),则　(　　) A.||=　　　　B.AB⊥AC C.cos∠ABC=　　　　D.A,B,C三点共线 11.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 12.已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 13.已知空间中三点A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5). (1)若四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标; (2)若|a|=3,且a∥,求向量a; (3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内,求m的值. 题组四　利用空间向量的坐标运算求夹角和模的相关问题 14.在空间直角坐标系中,已知点A(1,2,-1),B(2,0,0),C(0,1,3),则cos<,>=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 15.设y,z∈R,向量a=(0,1,z),b=(2,y,2),c=(-3,6,-3),且a⊥b,b∥c,则|a-b|=(　　) A.2　　B.3　　C.3　　D. 16.已知空间中三点A(x,y,z),O(0,0,0),B(,,2),若AO=1,则||的最小值为　　　　.  17.已知空间中三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为　　　　.  18.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),O为坐标原点,点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)若点E在直线AB上,且⊥b,求点E的坐标. 19.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1,D1F1=C1D1. (1)求线段AM的长; (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 能力提升练 题组一　空间向量的坐标运算 1.已知空间向量a=(1,1,1),b=(1,0,-2),则下列结论正确的是(　　) A.向量a在向量b上的投影向量是 B.a-b=(0,-1,-3) C.a⊥b D.cos<a,b>= 2.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　) A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150° 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成的角为锐角,则实数k的取值范围为　　　　　　.  题组二　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形　　　　B.等边三角形 C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形 5.(教材习题改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则直线A1M与DN的位置关系是(　　) A.平行　　　　B.垂直 C.异面垂直　　　　D.异面不垂直 6.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是(　　) A.= B.点P必在线段B1C上 C.AP⊥BC1 D.AP∥平面A1C1D 7.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC的中点,N为四边形DCC1D1及其内部任意一点,若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D体积的取值范围是　　　　.  题组三　空间向量的夹角和模的问题 8.设空间向量μ=(a,b,0),ν=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则下列判断错误的是(　　) A.向量ν与z轴正方向的夹角为 B. μ·ν的最大值为 C. μ与ν的夹角的最大值为 D.ad+bc的最大值为1 9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 10.在空间直角坐标系中,已知A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1). (1)若点P满足=2,求||; (2)求△ABD的面积. 11.设全体空间向量组成的集合为V,a=(a1,a2,a3)为V中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,“因变量”也是向量的“向量函数”f(x):f(x)=-x+2(x·a)a(x∈V). (1)设u=(1,0,0),v=(0,0,1),若f(u)=v,求向量a; (2)对于V中的任意两个向量x,y,证明:f(x)·f(y)=x·y; (3)对于V中的任意单位向量x,求|f(x)-x|的最大值. 答案与分层梯度式解析 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 基础过关练 1.ABD 2.C 4.C 5.D 6.D 7.A 9.B 10.AB 11.D 12.D 14.A 15.D 1.ABD　易知A、B正确; 点(2,-1,3)到坐标平面Oyz的距离为2,故C错误; 因为i,j,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,m=3i-2j+4k,所以m=(3,-2,4),故D正确. 故选ABD. 方法技巧　空间点的对称口诀:关于谁对称谁不变,关于原点对称全都变. 2.C　(2,2,z)(z∈R)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与Oxy平面垂直的一条直线,故选C. 3.答案　 解析　由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 所以M(0,1,1),N(1,1,0), 则线段MN的中点坐标为. 4.C　结合题图得A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), ∵D为BC的中点,∴D(1,1,0),∴=(1,1,-1).故选C. 5.D　由题意可知,=(0,0,3),=(-1,1,-1), 设B(x,y,z),则=-,即(-1,1,-1)=(x,y,z-3),所以x=-1,y=1,z=2,故B(-1,1,2). 故选D. 6.D　与a=(3,0,-4)共线的单位向量为±=±.故选D. 7.A　易得=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2), 因为A,B,C,D四点共面,所以,,共面,即存在λ,μ∈R,使得=λ+μ, 即消去λ,μ得2x+y+z=1,故选A. 8.答案　-2 解析　易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),∴(c-a)·2b=0+0-2=-2. 9.B　由a∥b,可得b=ma,m∈R,即(3λ,2μ-1,1)=m(λ+1,0,2), 即解得λ=,μ=,m=,则λ+μ=+=.故选B. 10.AB　根据题意,可得=(-1,-1,3),=(-2,2,0),=(-1,3,-3).对于A,||==,A正确;对于B,·=2-2+0=0,则AB⊥AC,B正确;对于C,cos∠ABC=cos<,>===≠,C错误;对于D,由B中的结论知AB⊥AC,所以A,B,C三点不共线,D错误.故选AB. 11.D　∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), 2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), 又ka+b与2a-b互相垂直, ∴3(k-1)+2k-4=0,解得k=.故选D. 12.D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3). 若OA⊥平面ABC,则⊥,⊥, 即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=.故选D. 13.解析　(1)设D(x,y,z), 由四边形ABCD是平行四边形,可得=, 即(3,-3,-3)=(-1-x,-1-y,5-z), 所以x=-4,y=2,z=8,故点D的坐标为(-4,2,8). (2)易得=(1,-2,2),因为a∥,所以a=λ=(λ,-2λ,2λ),λ∈R, 又|a|=3,所以=3,解得λ=±1, 所以a=(1,-2,2)或a=(-1,2,-2). (3)因为点P(2,-1,m)在平面ABC内,所以存在实数x,y使得=x+y, 又=(4,-2,m-3),=(3,-3,-3),=(1,-2,2),故(4,-2,m-3)=x(3,-3,-3)+y(1,-2,2), 所以解得 故m的值为-7. 14.A　由点A(1,2,-1),B(2,0,0),C(0,1,3), 得=(1,1,-4),=(2,-1,-3), 则||==3,||==,·=2-1+12=13, 则cos<,>===. 故选A. 15.D　因为a⊥b,b∥c,所以解得则a=(0,1,2),b=(2,-4,2), 可得a-b=(-2,5,0), 所以|a-b|==.故选D. 16.答案　2 解析　由题意可知点A是以O为球心,1为半径的球面上的点, 又B(,,2),所以OB==3, 故||的最小值为3-1=2,当且仅当O,A,B三点共线,且A在O,B之间时,||取最小值. 17.答案　6 解析　=(2,3,-1),=(-2,1,3), ∴·=-4+3-3=-4,||==,||==. ∴cos∠BAC===-. ∴sin∠BAC==. ∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=||·||·sin∠BAC=××=6. 18.解析　(1)∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1), ∴2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|==5. (2)若点E在直线AB上,则可设=t, 则=+t=(-3+t,-1-t,4-2t), ∵⊥b,b=(-2,1,1), ∴·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,故点E的坐标为. 19.解析　(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),M,则=, 所以||==,即线段AM的长为. (2)结合(1)中所建坐标系,可得B(1,1,0),E1,D(0,0,0),F1, 所以=-(1,1,0)=,=-(0,0,0)=, 所以||=,||=. 所以·=0×0-×+1×1=, 所以cos<,>==. 所以BE1与DF1所成角的余弦值为. 能力提升练 1.A 2.C 4.C 5.C 6.BD 8.B 9.A 1.A　a在b上的投影为=-, 与b同向的单位向量为=, 所以向量a在向量b上的投影向量是-,0,-=,故A正确; a-b=(0,1,3),故B错误; 因为a·b≠0,所以a与b不垂直,故C错误; cos<a,b>==-,故D错误. 故选A. 2.C　∵向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6), ∴a+b=(-1,-2,-3).设c=(x,y,z), 由(a+b)·c=7,可得(-1,-2,-3)·(x,y,z)=-x-2y-3z=7,∴x+2y+3z=-7,即a·c=-7, 设a,c的夹角等于θ, 则cos θ===-. 又0°≤θ≤180°,故θ=120°.故选C. 3.答案　 解析　易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2). 由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线, ∴1-k+2+4k>0,且==不成立, 解得k>-1且k≠, ∴实数k的取值范围为. 4.C　易得=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1), ∵·=(5,1,-7)·(2,-3,1)=0,∴⊥,即AC⊥BC, 又||==,||==,||==,∴△ABC为直角非等腰三角形.故选C. 5.C　以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴=(-2,1,-2),=(0,2,1),∴·=0,∴A1M⊥DN,又DN⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M∉DN,∴直线A1M与DN异面垂直.故选C. 6.BD　∵P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离,此距离等于正方体的棱长,∴=·CD=××1×1×1=,故A中结论错误. 以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),设P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),∴=(x-1,1,z),=(-1,-1,1),=(-1,0,-1). ∵AP⊥BD1,∴·=1-x-1+z=0,∴x=z, ∴P(x,1,x),∴=(x,0,x),∴=-x,即B1,P,C三点共线,又0≤x≤1,∴P必在线段B1C上,故B中结论正确. 易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=(x-1,1,x),∴·=1-x+x=1≠0,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误. 易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(-1,1,0),=(1,0,1),又=(x-1,1,x),∴=x+ (其中0≤x≤1),∴,,共面,又AP⊄平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确. 故选BD. 7.答案　 解析　以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则有A1(1,0,1),C(0,1,0),M, 由题可设点N(0,t,s),0≤t≤1,0≤s≤1, ∴=(-1,1,-1),=, 又MN⊥A1C,∴·=+t-1-s=t-s-=0, ∴s=t-,≤t≤1,∴点N到平面AA1D的距离t∈, ∴三棱锥N-AA1D的体积=·t=·AA1·AD·t=t∈, ∴三棱锥N-AA1D体积的取值范围是. 8.B　对于A,设方向与z轴正方向相同的向量为z=(0,0,t)(t>0),则cos<ν,z>====, ∵<ν,z>∈[0,π],∴<ν,z>=, ∴向量ν与z轴正方向的夹角为,故A中判断正确; 对于B,∵μ·ν=ac+bd≤+==1,当且仅当a=c,b=d时取等号, ∴μ·ν的最大值为1,故B中判断错误; 对于C,由B选项可知|μ·ν|≤1, ∴-1≤μ·ν≤1, ∴cos<μ,ν>==≥-=-,又∵<μ,ν>∈[0,π], ∴μ与ν的夹角的最大值为,故C中判断正确; 对于D,由ad+bc≤+==1,当且仅当a=d,b=c时取等号,∴ad+bc的最大值为1,故D中判断正确.故选B. 9.A　以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则E,G. 设F(x,0,0)(0<x<1), D(0,y,0)(0<y<1), 则=,=. 因为GD⊥EF,所以·=-x-y+=0,即x+2y-1=0,所以x=1-2y,y∈,所以DF====∈.故选A. 10.解析　(1)设P(x,y,z), ∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1), ∴=(x,y-1,z-2),=(3-x,-2-y,-1-z), ∵=2, ∴解得∴P(2,-1,0), ∴=(1,-2,-1), ∴||==. (2)∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1), ∴=(3,-3,-3),=(1,0,-1), ∴cos∠BAD= ==, ∴sin∠BAD==, ∴△ABD的面积S=AB·ADsin∠BAD=×3××=. 11.解析　(1)依题意得 f(u)=-u+2(u·a)a=v, 即-(1,0,0)+2(1×a1+0×a2+0×a3)(a1,a2,a3)=(0,0,1),即(-1,0,0)+2a1(a1,a2,a3)=(0,0,1),即解得或 ∴a=或a=. (2)证明: f(x)·f(y)=[-x+2(x·a)a]·[-y+2(y·a)a]=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)a2=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)=x·y,故得证. (3)设x与a的夹角为α,则x·a=|x|·|a|cos α=cos α,则|f(x)-x|=|-2x+2(x·a)a|==,∵0≤cos2α≤1,∴0≤|f(x)-x|≤2, ∴|f(x)-x|的最大值为2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$