1.3 空间向量及其运算的坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.空间直角坐标系 　　在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方 向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建 立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.相关概念 　    O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫 做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成 八个部分,如图所示. 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 知识点 1 空间直角坐标系 必备知识 清单破 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　注意: (1)坐标向量i,j,k满足|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. (3)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系,如图所示.我们建立的坐标系一般都是右手 直角坐标系. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.如图,在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量 ,且点A 的位置由向量 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+ zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中 的坐标,记作A(x,y,z). 知识点 2 空间直角坐标系中点的坐标 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 2.空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面的点的坐标如下表所示: 点的位置 Oxy平面 Oyz平面 Ozx平面 坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.空间直角坐标系中对称点的坐标 　　空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,掌握对称点的变化规律,才 能准确求解.对称点的问题常常用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论来解 决.例如: (1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); (2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); (3)点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c). 4.(1)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点的坐标为 . (2)已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC重心的坐标为  . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 =a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数 组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a= (x,y,z). 注意:符号(x,y,z)具有双重意义,它既可以表示点,也可以表示向量,但向量与坐标之间用“=” 连接,点与坐标之间无“=”. 2.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R; a·b=a1b1+a2b2+a3b3. 知识点 3 空间向量及其运算的坐标表示 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 知识点 4 空间向量的平行、垂直及模、夹角的坐标表示 结论 坐标表示 平行 a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b(a≠0,b≠0)⇔a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a|= = ; |b|= =  夹角 cos<a,b>= = (a≠0,b≠0) 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,O是坐标原点,则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1), 所以P1P2=| |= . 　　特别地,空间任意一点P(x,y,z)到原点O的距离OP=| |= . 知识点 5 空间两点间的距离公式 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.空间直角坐标系有什么作用? 2.如何求解空间直角坐标系中任一点的坐标? 3.空间向量 (O为坐标原点)的坐标和点P的坐标有什么关系? 4.点(2,1,3)关于Oyz平面对称的点的坐标是什么? 5.已知点A(3,4,5),则点A到原点O的距离是多少? 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.空间直角坐标系可以将空间点、直线、平面数量化,将空间点、直线、平面的位置关系解 析化. 2.点在空间直角坐标系中的位置有3种可能:点在坐标轴上、点在坐标平面内和点不是特殊 点.对于前两种,熟悉点的坐标特征即可轻松写出其坐标;对于第三种,一般是先确定点在Oxy 平面内的射影的位置,再由竖坐标确定点在空间直角坐标系中的具体位置,进而得到其坐标. 3.若点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z),那么向量 的坐标也为(x,y,z). 4.(-2,1,3).根据对称点的结论可知横坐标变为其相反数,其余坐标不变. 5. =(3,4,5),则OA=| |= =5 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题 关键能力 定点破 1.建立空间直角坐标系,利用坐标运算解决空间平行、垂直问题的方法称为“坐标法”,是向 量法中的一种. 2.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型:一是判定平行、垂直;二是已知平行 或垂直求参数. 利用向量的坐标证明两直线平行或垂直的步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标; (2)求出有关直线的方向向量; (3)证明两直线平行即证明两直线的方向向量共线;证明两直线垂直即证明两直线的方向向 量的数量积为0; (4)还原到几何问题中,得出结论. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.以A为坐标原点, , ,  的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,解决以下问题. (1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH; (2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析：如图.设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1, 1,1).由线段中点的坐标公式,得E ,G ,H .   (1)证明: =(1,0,1), = , = .因为 =2 , · =1× +0×  +1× =0,所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH. (2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).易知 =(1,1,1). 由BM⊥AC1,得 · =0,即x-1+y+z=0.①因为M在直线AC1上,所以 ∥ ,所以设 =μ 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念  (μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.② 由①②得μ= ,所以x= ,y= ,z= . 所以点M的坐标为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a= ,b= . (1)若|c|=3,c∥ ,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)∵ =(-2,-1,2)且c∥ , ∴设c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R). ∴|c|= =3|λ|=3,解得λ=±1. ∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)∵a= =(1,1,0),b= =(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). ∵ka+b与ka-2b互相垂直, ∴(ka+b)·(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0, 解得k=2或k=- . 关键技巧： 利用向量的坐标运算求向量平行与垂直类问题时要注意:适当引入参数(比如根 据向量a,b平行,可设a=λb,λ∈R,其中b≠0),建立关于参数的方程(组). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 利用空间向量的坐标运算求异面直线所成角或线段长度的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; (2)利用已知条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求得相关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角;利用 两点间的距离公式求出线段的长度. 　　注意:设异面直线l1,l2所成的角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则θ∈ ,cos θ= |cos<a,b>|. 定点 2 利用空间向量的坐标运算求夹角和长度  第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点. (1)求BN的长; (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析：如图,以C为坐标原点,  , ,   为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.   (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ∴ =(1,-1,1), ∴BN=| |= = . (2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴ =(1,-1,2),  =(0,1,2), ∴ · =1×0+(-1)×1+2×2=3, | |= = , 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 | |= = , ∴cos< , >= = = . 故A1B与B1C所成角的余弦值为 . 解后反思：在解题过程中,建立的坐标系不同,得到的点的坐标也可能不相同,但是求解的最 终结果是相同的. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$