1.2 空间向量基本定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.2　空间向量基本定理 知识点 1 空间向量基本定理 　　如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量. 必备知识 清单破 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正 交基底,常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个 向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向 量进行正交分解. 知识点 2 空间向量的正交分解 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.若a,b,c能构成空间的一个基底,则a,b,c中会不会有零向量? 2.空间向量的基底是否唯一?对于某一空间向量,它的表达式是否唯一? 3.若a,b,c能构成空间的一个基底,是否存在实数λ,μ,使a=λb+μc成立? 4.已知e1,e2,e3不共面,且 =e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3, =e1+e2-e3,则{ , , }能否作为空 间的一个基底? 知识辨析 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不会.构成基底的三个向量不共面,而零向量与任意向量都共线,从而与任意向量都共面,所 以a,b,c中不会有零向量. 2.基底不唯一,但是当基底选定之后,空间中的向量均可由该基底唯一表示.对于某一空间向 量,它的表达式并不唯一. 3.不存在.若a,b,c能构成空间的一个基底,则a,b,c不共面,故不满足共面向量定理,即a=λb+μc (λ,μ∈R)不成立. 4.能.假设 , , 共面,则存在实数λ,μ,使得 =λ +μ ,∴e1+2e2-e3=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+ (2λ-μ)e3,∴ 此方程组无解, ∴ , , 不共面, ∴{ , , }能作为空间的一个基底. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 空间向量基本定理的应用 1.用基底表示空间向量 　　若未给定基底,则先选择基底,选择时,要尽量选择共起点的三个向量,且要考虑向量间的 夹角及各自的模是否已知或易求.基底确定后,利用空间向量的三角形法则、平行四边形法 则和共线向量的特点,把目标向量逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果. 2.用基底法解决立体几何问题 　　利用基底法可解决立体几何中线面关系问题及与夹角、距离(长度)有关的问题,解题时, 首先要确定基底,将所需向量用基底表示出来,然后通过向量运算解决问题.基底法是向量法 中的一种. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,E是线段CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设  =a, =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题:   (1)用基底表示向量 ; (2)证明:AO⊥平面BCD. 思路点拨：  (1)利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则运算即可. (2)要证AO⊥平面BCD,只需证明AO垂直于平面BCD内的两条相交直线BC,BD即可.先用基底 表示出 , ,再计算 · , · 即可. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)连接AE. = + = +  = + ( - )=  +  =  + × ( +  )=  +  +  = a+ b+ c. (2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , =b-a, =c-a. ∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0, ∴AO⊥BC. ∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0, ∴AO⊥BD. ∵BC,BD⊂平面BCD,且BC∩BD=B, ∴AO⊥平面BCD. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$