1.1 空间向量及其运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1　空间向量及其运算 知识点 1 空间向量的概念及几类特殊向量 名称 定义 空间向量 在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 单位向量 模为1的向量 零向量 长度为0的向量 必备知识 清单破 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 名称 定义 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线(平行)向量 方向向量 在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量 共面向量 平行于同一个平面的向量,叫做共面向量 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 空间向量的线性运算 加法 三角形法则:a+b= + = ; 平行四边形法则:a+b= + =    减法 a-b= - =  数乘 运算 当λ>0时,λa=λ = (与a同向)   当λ<0时,λa=λ = (与a反向) 当λ=0时,λa=0 知识点 2 空间向量的线性运算 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 运算律 (λ,μ ∈R) 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 空间向量共线、共面的有关定理 内容 共线向量定理 共面向量定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb 向量p与两个不共线的空间向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 4 空间向量的数量积 数量积 a·b=|a||b|cos<a,b>,其中<a,b>为两个非零向量a,b的夹角 运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b·a(交换律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 性质和 应用 若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0 a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2,即|a|=   cos<a,b>= ,<a,b>的范围为[0,π] 误区警示    (1)两个向量数量积的结果是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)两个 向量数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c⇒/b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.在空间中,将表示所有单位向量的有向线段的起点移到同一点后,它们的终点形成的轨迹是 什么图形? 2.如果向量 与 的夹角为α,那么直线AB与CD所成的角是α吗? 3.如果 ∥平面CDE,则直线MN∥平面CDE吗? 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.球面.因为单位向量的模均等于1,所以将表示所有单位向量的有向线段的起点移到同一点 后,它们的终点形成的轨迹是一个球面. 2.不一定.当α∈ 时,直线AB与CD所成的角为α;当α∈ 时,直线AB与CD所成的角为 α的补角. 3.不一定.当直线MN⊄平面CDE时,才能通过 ∥平面CDE得到直线MN∥平面CDE. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 空间向量共线、共面的结论和应用 关键能力 定点破   1.空间向量共线、共面的结论 (1)证明空间三点A,B,P共线:① =λ ;② = +λ ;③ =x +y ,其中x+y=1.(O为空 间中任意一点) (2)证明空间四点A,B,P,M共面:① =x +y ;② = +x +y ;③ =x +y +z  ,其中x+y+z=1;④ ∥ (或 ∥ 或 ∥ ).(O为空间中任意一点) 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.空间向量共线、共面的应用 　　共线向量定理除了可以证明三点共线,还可以证明空间中两直线平行.由于空间中两个 非零向量共线时,这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,所以在证明时要说明一条直 线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出线线平行. 共面向量定理除了可以证明四点共面,还可以证明线面平行,同理,也要说明线不在面内. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在四面体ABCD中, =λ , =λ , =(1-λ) , =(1-λ) ,λ∈(0,1).   (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)若λ= ,M是EG和FH的交点,O是空间任意一点,用 , , , 表示 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)证明:因为 = - =λ -λ =λ , = - =(1-λ) -(1-λ) =(1-λ) , 所以 =  ,则 ∥ ,因此E,F,G,H四点共面. (2)由(1)知, =  , =  ,因此 =  ,又EH,FG不在同一条直线上,所以EH∥FG,则  = = ,则 =  ,即 - = ( - ),即 =  +  .当λ= 时, =  , 即 - = ( - ),可得 =  +  ,同理, =  ,即 - = ( - ),可得 =   +  ,所以 = × + × =  +  +  +  . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　求解线段的长度、两点间的距离时,均可将其转化为求对应有向线段表示的向量的模, 将此向量表示为已知的几个向量的和或差的形式,分析已知向量两两之间的夹角以及它们的 模,然后利用公式|a|= (推广公式:|a±b|= = )求解即可. 定点 2 利用数量积求长度(距离或模) 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1,且 ∠A1AD=∠A1AB=60°,∠DAB=45°,则BD1等于 (　    ) A. -1　    B. -1 C. 　    D. -  C 解析：易得 = - + , ∴| |=  =  =  = , 即BD1= . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 求两条异面直线所成的角或其余弦值的步骤 (1)根据题设条件取与两条异面直线分别平行的非零向量(即两条直线的方向向量); (2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角的问题; (3)利用公式cos<a,b>= 求向量夹角的余弦值; (4)将所求得的余弦值加上绝对值即得异面直线所成角的余弦值,进而可求出异面直线所成 角的大小. 定点 3 利用数量积求异面直线所成的角或其余弦值 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求异 面直线OA与BC所成角的余弦值.   解析：∵ = - ,∴ · = ·( - )= · - · =| |·| |·cos< , >-| |· | |·cos< , >=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=24-16 . ∴cos< , >= = = ,∴异面直线OA与BC所成角的余弦值为  . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$