2.5.1 直线与圆的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 　　设圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).圆心M(a,b)到直线l的距离 d= .由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式 为Δ. 知识点 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 必备知识 清单破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解,则直线和圆的位置关系有哪些可能? 2.若直线与圆相交,则相交弦的垂直平分线经过圆的圆心吗? 3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线方程与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程是 否有解? 4.经过圆内一点(非圆心)的最长弦与最短弦所在直线的位置关系如何? 5.若两条不重合的直线被同一个圆截得的弦长相等,则这两条直线一定平行吗? 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.相交或相切. 2.经过. 3.没有.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,消元后的方程一定无解. 4.垂直.经过圆内一点(非圆心)的最长弦即为经过该点的直径,最短弦和该直径垂直. 5.不一定.也可能相交. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　判断直线和圆的位置关系主要有几何法和代数法两种方法.几何法侧重图形的几何性 质,较代数法步骤简捷,所以一般选用几何法. 定点 1 直线与圆的位置关系 关键能力 定点破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆:①相交?②相切?③相离? 解析：解法一(代数法):联立  消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0, 则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2). ①当直线与圆相交时,Δ>0,故- <k< ; ②当直线与圆相切时,Δ=0,故k=± ; ③当直线与圆相离时,Δ<0,故k<- 或k> . 解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d= = . 由题意知,圆的半径r=1. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 ①当直线与圆相交时,d<r,即 <1,解得- <k< ; ②当直线与圆相切时,d=r,即 =1,解得k=± ; ③当直线与圆相离时,d>r,即 >1,解得k<- 或k> . 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨：直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面,一是点到直线的距离与圆半径大小的关系;二是直线 与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可直接根据公共 点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法求解,几何法计算量小,代数 法可一同求出交点.解题时可根据已知条件做出恰当的选择. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法 过定点P作已知圆的切线,当点P在圆内时,无切线;当点P在圆上时,有且只有一条切线;当点P 在圆外时,有两条切线. (1)当点P在圆上时,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记其为k,则切线斜率为- ; 若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0. (2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,由点斜式写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径 r解出k即可(若仅求出一个k值,则还有一条斜率不存在的切线). 2.切线长的求法 　　过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的距离称为切线长.切线长可由 勾股定理来计算. 定点 2 与圆有关的切线问题 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长为 .   3.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论 (1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; (3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y+D· 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念  +E· +F=0. 4.过圆外一点的切线有两条,可熟记下列结论 (1)若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,如图1,则直线 AB的方程为x0x+y0y=r2.   (2)若点P(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,如图2, 则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念   (3)若点P(x0,y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则直线AB的方程为x0x+y0y+D· +E· +F=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知圆的方程为x2+y2=13,它与斜率为- 的直线相切,则该切线方程为 　 　　　　    　    . (2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则其切线长为　　　    . (3)已知圆C:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,且A,B为切 点,则直线AB经过定点　　　    . 2x+3y-13=0或2x+3y+13=0 4 (1,2) 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)解法一:由题可设所求切线方程为y=- x+b,即2x+3y-3b=0. 因为圆x2+y2=13与直线2x+3y-3b=0相切, 所以圆心(0,0)到直线2x+3y-3b=0的距离d= = ,解得b=± .所以所求切线方程为2x+ 3y-13=0或2x+3y+13=0. 解法二:由题可设所求切线方程为y=- x+b. 由 消去y并整理,得 x2- x+b2-13=0.令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± . 所以所求切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0. (2)易得点A在圆C外,圆心C的坐标为(3,1),圆的半径为1. 设切点为B,则△ABC为直角三角形, 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 易得|AC|= = ,|BC|=1,所以|AB|= = =4,所以切线长 为4. (3)设P(9-2b,b),易得直线AB的方程为(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x=9,令 解得 故 直线AB经过定点(1,2). 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆相交的弦长的求法 定点 3 直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题 几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 求解 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,则求出交点坐标,然后用两点间的距离公式计算弦长 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 弦长公式法 设直线l:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2| =  = (k≠0) 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 2.解决与中点弦有关问题的方法 (1)联立直线方程与圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系求出中点 坐标; (2)设出弦的两个端点的坐标,利用点在圆上得到两个方程,通过作差求出弦所在直线的斜率, 此法即为点差法; (3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦所在直线垂直解决问题. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦的长为4 ,求直线l的 方程. 思路点拨：通过讨论直线斜率不存在的情况,可知直线的斜率存在,直接设出直线的点斜式 方程. 思路一:联立直线与圆的方程,消去y,得到一个关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系结 合弦长公式求出斜率k,进而求出l的方程. 思路二:求出圆心到直线l的距离,利用半径、半弦长、圆心到直线的距离之间的关系求出斜 率k,进而求出l的方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：若直线l的斜率不存在,则l:x=5,与圆C相切,不合题意,所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y-5=k(x-5),且与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. 解法一:由 消去y, 得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0. 所以Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0. 又因为x1+x2=- ,x1x2= , 所以|AB|=  =  =4 ,整理得2k2-5k+2=0,解得k= 或k=2,均符合题意. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0. 解法二:直线l:y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.设圆心(0,0)到直线l的距离为d,圆C的半径为r,则d=  ,r=5, 又d= = = , 所以 = ,解得k= 或k=2,均符合题意. 所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线l的方程. 思路点拨：根据斜率是否存在进行分类讨论. 思路一:结合一元二次方程根与系数的关系列方程求解. 思路二:利用“点差法”及“设而不求,整体代换”的策略求解. 思路三:利用圆的几何性质——非直径的弦的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：解法一:由题知直线l与圆有两个交点,设两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 当直线l的斜率存在时,设其为k,则直线l的方程为y+2=k(x-4),代入圆的方程,消去y, 得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0. 则Δ>0,x1+x2= =4×2,解得k=-2. 所以直线l的方程为2x+y-6=0. 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,此时圆与直线l的两个交点分别为(4,-3- ),(4,-3+  ),不满足题意. 综上,直线l的方程为2x+y-6=0. 解法二:由题知直线l与圆有两个交点,设两个交点分别为B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=-4. 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,此时圆与直线l的两个交点分别为(4,-3- ),(4,-3+  ),不满足题意. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 当直线l的斜率存在时,设其为k,则k= . 把B,C两点的坐标分别代入圆的方程, 得  ①-②,等号两边同时除以(x1-x2)并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)· -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0, 解得k=-2. 故直线l的方程为2x+y-6=0. 综上,直线l的方程为2x+y-6=0. 解法三:当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,此时圆与直线l的两个交点分别为(4,-3- ), (4,-3+ ),不满足题意. 设圆心为M,直线l的斜率为k. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 易知M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2. 所以直线l的方程为2x+y-6=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 利用圆的方程解决最值问题的方法 (1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关 知识,结合图形的直观性来分析并解决问题,常涉及的几何量有直线的斜率、截距,两点间的 距离等. (2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决. (3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目 标函数,利用三角函数知识求最值. 定点 4 与圆有关的最值问题 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0. (1)m∈R时,证明l与C总相交; (2)当m取何值时,l被C截得的弦最短?求最短弦的长. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)证明:直线l的方程可化为y+3=2m(x-4),由直线的点斜式方程可知,直线恒过点(4,-3), 记P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0, 所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交. (2)圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25. 结合弦长公式可知,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,l被C截得的弦最短,此时直线PC⊥l, 又kPC= =3,所以直线l的斜率为- ,则2m=- ,所以m=- .所以直线l:x+3y+5=0. 此时设直线l与圆C的两个交点分别为A,B.在Rt△APC中,|PC|= = ,|AC|=r=5, 所以|AB|=2 =2 . 故当m=- 时,l被C截得的弦最短,最短弦的长为2 . 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点. (1)求4x-3y的最大值和最小值; (2)求 的最大值和最小值; (3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)令4x-3y=m,则 可以看成直线4x-3y=m在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需直 线在x轴上的截距最大(或最小).由图1可知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m分别取得最 大值和最小值.   图1 由圆心(0,0)到直线4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,即|m|=10,故m=±10.故 mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值为10,最小值为-10. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 (2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点(x,y)与点(-2 ,-2)连线的斜率. 由图2知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值.   图2 由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= ,故kmax= , kmin=0,即 的最大值为 ,最小值为0. (3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点(x,y)与点(4,-3)的距离.如图3,由点(4,-3)到圆心(0,0)的 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 距离为5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+(y+3)2的最大值为49,最 小值为9.   图3 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 素养解读 　　通过建立平面直角坐标系写出直线和圆的方程,将实际问题中直线与圆的位置关系转化 为坐标运算,体现了数学建模的核心素养.通过代数式的变形来研究不等式或最值问题,体现 了逻辑推理和数学运算的核心素养. 典例呈现 学科素养 情境破 素养 通过直线与圆的方程和位置关系在实际问题中的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 例题 如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m的圆柱形花柱,四周斑马线的内侧 连线构成边长为20 m的正方形.因工程需要,测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量,其 中仪器P的移动速度为1.5 m/s,仪器Q的移动速度为1 m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花 柱阻挡,则称仪器Q在仪器P的“盲区”中.   图1 (1)如图2,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P在点A处,仪器Q在BC上且距离点C 4 m, 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中,并说明理由; (2)如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P从点A出发向点D移动,同时仪器Q从点 C出发向点B移动,在这个移动过程中,仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少?   图2 图3 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 信息提取：仪器Q在仪器P的“盲区”中要满足P,Q的连线与圆有公共点,即相交或相切. 解题思路：(1)仪器Q在仪器P的“盲区”中,理由如下: 建立如图①所示的平面直角坐标系,则Q(10,6),P(-10,-10), 所以kPQ= , 所以直线PQ的方程是y-6= (x-10), 即4x-5y-10=0,故圆心O到直线PQ的距离d= = <2, 所以圆O与直线PQ相交,故仪器Q在仪器P的“盲区”中. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念   图①　　　　　　　图② (2)建立如图②所示的平面直角坐标系,则A(-10,-10),B(10,-10),C(10,10),D(-10,10). 依题意知起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为t s(t≥0),则P ,Q(10,10-t),所以kPQ=  = = , 故直线PQ的方程是y-(10-t)= (x-10), 即(t-8)x+8y-2t=0, 从而圆心O到直线PQ的距离d= = ≤2, 即t2≤t2-16t+128,解得t≤8, 又t≥0,所以0≤t≤8. 故仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8 s. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 利用直线与圆的方程解应用题的步骤 (1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知. (2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原:将运算结果还原到实际问题中去. 思维升华 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$