2.4 圆的方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.4　圆的方程 　 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r. 2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为 ,半径为   . 说明:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0, ①当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形; ②当D2+E2-4F=0时,它表示一个点 . 3.圆的直径式方程:平面上以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)= 0. 知识点 1 圆的方程 必备知识 清单破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 4.圆的参数方程:以(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是 其中α是参数. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的位置关系及判 断方法: 知识点 2 点与圆的位置关系 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2  + +Dx0+Ey0+F=0 点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2  + +Dx0+Ey0+F>0 点M在圆内 |CM|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2  + +Dx0+Ey0+F<0 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗? 2.方程 (x+2)2+(y+2)2=5是否表示圆心是(2,2),半径是 的圆? 3.过原点的圆的标准方程是否可以表示为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)? 4.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圆吗? 5.圆的标准方程和一般方程各有什么特点? 6.如果方程x2+y2+2kx+2y+2k2=0表示圆,那么k的取值范围是什么?点A(1,2)与此圆有怎样的位 置关系? 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示一个圆. 2.不是.圆心应为(-2,-2). 3.可以.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由原点在圆上得a2+b2=r2>0,因此过原点的圆的 标准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0). 4.一定.原方程可化为x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因为D2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a ≠0)一定表示圆. 5.从圆的标准方程可以直接得出圆心与半径,有较强的几何特点.圆的一般方程是一种特殊的 二元二次方程,圆心和半径需要通过代数运算才能得出,代数特征更明显. 6.由方程表示圆,得(2k)2+22-4×2k2>0,解得-1<k<1.将x=1,y=2代入方程左边,得9+2k+2k2>0,故点 A在圆外. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.几何法 利用相关几何性质确定圆心和半径,即可得到圆的标准方程. 相关几何性质如下: ①圆心与切点的连线垂直于圆的切线; ②圆心到切线的距离等于圆的半径; ③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2; ④圆的弦的垂直平分线过圆心; ⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与l的 交点即为圆心. 定点 1 圆的方程的求解 关键能力 定点破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 (1)根据题意设出所求圆的标准方程或一般方程; (2)根据已知条件建立关于参数的方程(或方程组); (3)解方程(或方程组),求出参数的值; (4)将求得的参数的值代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程. 2.待定系数法 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求符合下列条件的圆的方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5); (3)经过A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三点. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)解法一:由题意知,圆的半径为 = ,又圆心是(4,-1),故所求圆的方 程为(x-4)2+(y+1)2=10. 解法二:由题可设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=10,故所求圆的方 程为(x-4)2+(y+1)2=10. (2)解法一:设C为圆心.因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).由于圆过A, B两点,所以|CA|=|CB|,即 = ,解得a=-2,因此圆心C的 坐标为(-1,-2),半径r= ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得  解得 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解法三:易得线段AB的中点坐标为(0,-4),kAB= = ,所以弦AB的垂直平分线的斜率为-2, 所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0. 由 解得  所以圆心坐标为(-1,-2),因此圆的半径r= = , 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (3)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 因为点A,B,C在圆上, 所以 解得  故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3. 因为kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形,其外心是线段BC的中 点,坐标为(1,-1),其外接圆半径r= |BC|=5.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=25. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨    求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标、 半径列方程(组),那么一般选用圆的标准方程;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那 么一般选用圆的一般方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 与圆有关的轨迹问题的求解方法 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程. (3)相关点法:找到要求点与相关点的关系,用要求点的相关信息表示出相关点,再代入相关点 满足的关系式. 定点 2 与圆有关的轨迹问题 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)解法一:设C(x,y).由题意可知AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,AC,BC所在直线的斜率 存在. 又kAC= ,kBC= ,所以 · =-1(y≠0),化简得x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).因此,直角顶 点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). 解法二:设C(x,y). 由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.又A,B,C三点不 共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). 解法三:设线段AB的中点为D,则D(1,0). 由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2. 由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应 除去此圆与x轴的交点). 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1). (2)设M(x',y'),C(x0,y0). 由题意得 即  由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上,将(x0,y0)代入,得(2x'-4)2+(2y')2=4,即(x'-2)2+y'2=1(x' ≠3且x'≠1). 因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1). 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$