2.3 直线的交点坐标与距离公式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的位置关系与相应方程组的解 (1)利用两直线方程组成的方程组解的个数可以判断两直线的位置关系. 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0,则 知识点 1 两条直线的交点坐标 必备知识 清单破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 方程组   的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 (2)两条直线相交的判定方法:①联立直线方程解方程组,若有一组解,则两直线相交;②若两直 线斜率都存在且不相等,则两直线相交;③若l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0), l2:A2x+B2y+C2=0 (A2,B2不同时为0),则l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0. 2.两直线的交点坐标 两相交直线的交点坐标,对应两直线方程组成的方程组的解. 　　注意:若一条直线的方程是斜截式或易化为斜截式,则常常应用代入消元法解方程组;若 两条直线的方程都是一般式,则常常应用加减消元法解方程组. 3.设直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则过l1,l2交点的直 线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数),然后根据条件求待定系数即可. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.两点间的距离 已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|= . 　　注意:①此公式与两点的先后顺序无关.②原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=  . 2.点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离 d= . 3.两条平行线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)间的距离 d= . 知识点 2 距离公式 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若两直线方程组成的方程组无解,则两直线的位置关系确定吗? 2.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线一定相交吗? 3.m为何值时,直线x-y+1=0与x-2my+3=0相交? 4.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),当A1B2= A2B1时,直线l1与l2一定没有交点吗? 5.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离是不是 ? 6.已知某直线的斜率为k(k≠0),那么如何利用斜率k来表示该直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的 距离? 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.确定.两直线平行. 2.不一定.当两直线的方程组成的方程组有无数组解时,两直线重合. 3.m≠ .由1×(-2m)-(-1)×1≠0得m≠ . 4.不一定.当A1B2=A2B1且B1C2=B2C1时,方程组 有无数组解,此时直线l1与l2重合, 有无数个交点; 当A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1时,方程组 无解,此时直线l1与l2平行,没有交点. 5.不是.将直线方程化为一般式为kx-y+b=0,所以点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . 6.|P1P2|= = |x2-x1|= |y2-y1|.该公式可以用 =k进行推导,是 之后会经常用到的弦长公式. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 利用坐标法解决平面几何问题 关键能力 定点破 利用坐标法解决平面几何问题的步骤 (1)建立坐标系,尽可能将已知元素放在坐标轴上; (2)用坐标表示有关的量; (3)进行代数运算; (4)把代数运算结果“翻译”成几何结论. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2). 思路点拨：建立适当的平面直角坐标系,得到相关点的坐标,利用两点间的距离公式解决有 关线段长度的问题. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 证明：以D为原点,BC边所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,   设A(b,c),C(a,0),B(-a,0). 因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+(-c)2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2, 所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=a2+b2+c2, 所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2). 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　利用点到直线的距离公式时,一般先分析并确定相应的点和直线,再利用公式计算求解. 当所给条件不能明显确定所需的点和直线时,可考虑应用待定系数法,有时要结合几何图形 的直观性,综合分析解决问题. 定点 2 点到直线的距离公式的应用 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知点A(2,-1),原点为O. (1)求过点A且与原点的距离为2的直线方程; (2)求过点A且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大距离; (3)是否存在过点A且与原点的距离为3的直线?若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时原点到该直线的距离等于2,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= , 此时直线方程为3x-4y-10=0. 综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0. (2)过点A且与原点的距离最大的直线是过点A且与直线OA垂直的直线. 易知kOA=- ,所以所求直线的斜率为2, 所以所求直线方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 最大距离d= = . (3)不存在,理由如下: 由(2)可知,过点A的直线与原点的最大距离为 ,因为 <3,所以不存在过点A且与原点的距 离为3的直线. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨 解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后选择合适的公 式求参数.也可以综合应用直线的有关知识,充分发挥几何图形的直观性,找到所求直线的特 征,然后由已知条件写出直线的方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知某正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点,正方形一边所在直线l的方程 为x+3y-5=0,求: (1)正方形的面积; (2)正方形其他三边所在直线的方程. 思路点拨： (1)利用正方形中心到其一边的距离为边长的一半求解. (2)根据所求的三边中一边所在直线与直线x+3y-5=0平行,另两边所在直线与直线x+3y-5=0垂 直及正方形的中心到四条边所在直线的距离相等求解. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)由 得  故正方形中心的坐标为(-1,0). ∵(-1,0)到直线x+3y-5=0的距离d= = , ∴正方形的边长为2d= , ∴正方形的面积为 = . (2)设正方形中与直线l:x+3y-5=0平行的边所在的直线为l1:x+3y+c=0(c≠-5). 由点(-1,0)到两直线l,l1的距离相等, 得 = ,解得c=7或c=-5(舍去), 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 ∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直, ∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b). ∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,∴ = = , 解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.两条平行线间距离的求法 (1)直接利用公式求解,代入公式时注意两直线方程中x,y的系数必须对应相等. (2)利用“转化与化归”思想将求两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到 另一条直线的距离. 2.两条平行直线间距离公式的应用 　　已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般先设出直线 方程,再利用两平行直线间的距离公式求解. 定点 3 平行线间距离公式的应用 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是　　　    . (2)已知△ABC的两顶点A,B在直线l1:2x-y+3=0上,点C在直线l2:2x-y-1=0上.若△ABC的面积为 2,则AB边的长为　　　    . 思路点拨：(1)首先利用两直线平行求出参数m的值,然后将两直线方程对应系数化相同,最 后代入距离公式求解. (2)易知l1∥l2,所以l2上的点C到l1的距离等于以AB为底时△ABC的高,再根据S△ABC=2求出AB边 的长. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)因为直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0平行,所以 = ,即m=4. 所以对应直线方程为6x+4y+1=0. 又直线3x+2y-3=0的方程可化为6x+4y-6=0, 所以两平行线之间的距离d= = = . (2)易知l1∥l2,故直线l1,l2间的距离d= = ,所以S△ABC= × ×|AB|=2,解得|AB|= . 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.对称点的求法 (1)求点关于点的对称点坐标 若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得  (2)求点关于直线的对称点坐标 设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B均不为0)的对称点为N(x,y),则可根据M,N连线垂直于 直线l,以及线段MN的中点在直线l上列方程组  求得. 定点 4 与点、直线有关的对称问题 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 (3)几个常用结论 ①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). ②点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). ③点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). 2.对称直线的求法 (1)求直线关于点的对称直线 求直线关于点的对称直线时,可在已知直线上任取两点,求其对称点,从而将问题转化为求点 关于点的对称点问题,通过求出的两个对称点的坐标确定对称直线的方程;也可以利用关于 点对称的两直线平行且已知点到两直线的距离相等来求解. (2)求直线关于直线的对称直线 求直线l1关于直线l对称的直线l2时,若l1与l无交点,则可以利用l1,l2两直线平行且它们与直线l的 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 距离相等来求解;若l1与l有交点,则可以求直线l1上任一点(l1与l的交点除外)关于直线l的对称 点,那么该对称点以及l1与l的交点在直线l2上,由此可确定l2的方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 直线l1:3x+4y-5=0关于l:3x+4y+1=0的对称直线l2的方程为　　　　    . 思路点拨： 由题知直线l2满足条件:①l1∥l2,②l1,l2与直线l间的距离相等. 3x+4y+7=0 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5且d≠1).由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间的距离, 则 = ,解得d=7或d=-5(舍去).故直线l2的方程为3x+4y+7=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之和最小的求法 (1)若两定点A,B在直线l的异侧,则当点P为直线AB与l的交点时,点P到两定点的距离之和最 小,最小值为|AB|.如图①,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|. (2)若两定点A,B在直线l的同侧,如图②,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,此 时点P到两定点A,B的距离之和最小.   图① 定点 5 与对称有关的最值问题 图② 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 2.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差最大的求法 　　类比1中方法,利用“三角形任意两边之差小于第三边”解决,必要时进行点关于直线的 对称转化. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上. (1)当|PA|+|PB|最小时,点P的坐标为　　　    ; (2)当||PB|-|PA||最大时,点P的坐标为　　　    . (-2,3) (12,10) 思路点拨：易知A,B两点在直线l的同侧. (1)利用对称性将同侧两点转化为异侧两点,再利用两点之间线段最短求解. (2)根据三角形任意两边之差小于第三边求解. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)易知A,B两点在直线l的同侧. 设点A关于直线l的对称点为A'(m,n), 则 解得  故A'(-2,8).因为P为直线l上一点, 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,此时点P为 直线A'B与直线l的交点. 又直线A'B的方程为x=-2, 所以由 得  故点P的坐标为(-2,3). 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 (2)易知A,B两点在直线l的同侧, 因为P是直线l上一点, 所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,此时点P为直线AB与 直线l的交点. 又直线AB的方程为y=x-2, 所以由 得  故点P的坐标为(12,10). 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 与距离有关的最值问题的解题策略 (1)利用对称转化为两点之间的距离问题. (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离或者两平行线间的距离问题. 　　一般地,形如 的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离,所以解决相关 的最值问题时,可应用数形结合思想,将其转化为点到直线的距离或两平行线之间的距离问 题. (3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值. 定点 6 与距离有关的最值问题 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则 的最小值为 (　    ) A. 　    B. 　    C.1　    D.  (2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,则 的最小值为　　　    . C 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)设P(m,n),Q(a,b),则|PQ|= . 依题意,P,Q两点分别在直线l1:3x+4y-6=0与l2:3x+4y-1=0上.易知直线l1与l2平行, 所以|PQ|的最小值就是两平行直线间的距离d,又d= =1,所以 的最 小值为1.故选C. (2)易知 = . 设P(x,y),A(-1,0), 则 表示点P与点A之间的距离.又点P(x,y)在直线2x+y+3=0上, 所以 的最小值即为点A到直线2x+y+3=0的距离. 易知点A(-1,0)到直线2x+y+3=0的距离为 = ,故所求最小值为 . 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$