2.2 直线的方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2　直线的方程 知识点 1 直线的方程形式与适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b  = (x1≠x2,y1≠y2)  + =1(a≠ 0,b≠0) Ax+By+C=0 (A,B不同时 为0) 已知条件 直线上一定 点(x0,y0),斜率 k 斜率k,直线在 y轴上的截距 b 直线上两点(x 1,y1),(x2,y2) 直线在x轴上 的非零截距a, 直线在y轴上 的非零截距b 系数A,B,C 必备知识 清单破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 适用范围 不垂直于x轴 的直线 不垂直于x轴 的直线 不垂直于x轴 和y轴的直线 不垂直于x轴 和y轴,且不过 原点的直线 任何位置的 直线 　　注意:两点式方程不必记忆,可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率,再用点斜式写出 方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 斜截式: l1:y=k1x+b1; l2:y=k2x+b2 一般式: l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0); l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0) l1,l2相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 l1∥l2     l1,l2重合     l1⊥l2 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 知识点 2 直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.方程k= 与y-y0=k(x-x0)表示的图形相同吗? 2.直线y-3=k(x+1)是否恒过定点? 3.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离吗? 4.方程 = 和方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示的直线相同吗? 5.直线y=kx+b就是一次函数y=kx+b的图象吗? 6.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程在任何情况下都可以与一般式方程进行互 化吗? 7.当A=0或B=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线? 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不相同.方程k= 表示的图形中少了一点(x0,y0). 2.是.恒过定点(-1,3). 3.不是.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标. 4.不一定相同.方程 = 不能表示垂直于坐标轴的直线,方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)= 0表示经过两点(x1,y1),(x2,y2)的任意直线. 5.不一定.当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,所以只有直线方程y=kx+b 中的k≠0时,该直线才是一次函数的图象. 6.不是.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均可以化为一般式方程,但一般式方程 转化为其他形式时,必须要在该形式的适用范围内. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 7.当A=0,B≠0时,原方程可化为y=- ,它表示与y轴垂直的一条直线; 当B=0,A≠0时,原方程可化为x=- ,它表示与x轴垂直的一条直线. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 直线方程的选择和求解 关键能力 定点破 1.求直线方程时对方程形式的选择一般有以下几类: ①已知一点的坐标,一般选取点斜式方程,求解时根据其他条件确定直线的斜率.注意斜率不 存在的情况. ②已知直线的斜率,一般选用斜截式方程,求解时根据其他条件确定直线的截距. ③已知两点坐标,一般选用两点式方程或点斜式方程,若两点是与坐标轴的交点,则选用截距 式方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 =0(A,B不同时为0,C1≠C),与其垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0(A,B不同时为0),再由直线 所过的点确定C1或C2即可. 2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)直接法:确定已知直线的斜率,再利用平行(垂直)关系得出所求直线的斜率,最后由直线的 点斜式求方程. (2)待定系数法:已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则与其平行的直线方程可设为Ax+By+C1 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 求满足下列条件的直线方程: (1)经过点(5,-2),且与y轴平行; (2)过P(-2,3),Q(5,-4)两点; (3)过点(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数; (4)过点(2,2)且与直线3x+4y-20=0平行或垂直. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)与y轴平行的直线的斜率不存在. ∵所求直线经过点(5,-2),∴该直线上的点的横坐标均为5,故所求直线方程为x=5. (2)解法一(两点式):过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线方程为 = ,整理可得x+y-1=0. 解法二(点斜式):易知过P,Q两点的直线的斜率存在,且kPQ= =-1. ∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0. (3)①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,设直线方程为 + =1. 又过点(3,4), ∴ + =1,解得a=-1. ∴所求直线方程为 + =1,即x-y+1=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 ②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线过原点时,设直线方程为y=kx.又过点 (3,4), ∴4=k×3,解得k= , ∴所求直线方程为y= x,即4x-3y=0. 综上,所求直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0. (4)解法一:直线3x+4y-20=0的斜率为- ,故过点(2,2)且与其平行的直线方程为y-2=- (x-2),即3 x+4y-14=0;过点(2,2)且与其垂直的直线方程为y-2= (x-2),即4x-3y-2=0. 解法二:设与直线3x+4y-20=0平行、垂直的直线方程分别为3x+4y+a=0(a≠-20)和4x-3y+b=0, 把(2,2)分别代入两方程,解得a=-14,b=-2,∴所求直线方程分别为3x+4y-14=0,4x-3y-2=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    若题目中出现直线在两坐标轴上的截距“相等”“互为相反数”或“在一坐标 轴上的截距是其在另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直线的方程, 但一定要考虑截距为0的情况. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)分别求边AC和AB所在直线的方程; (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程; (3)求AC边上的中垂线的方程; (4)求AC边上的高所在直线的方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为 + =1,即x-2y+8=0.由两点式,得边AB所在 直线的方程为 = ,即x+y-4=0. (2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),由两点式,得中线BD所在直线的方程为 = ,即2x- y+10=0. (3)由(1)可知kAC= ,故AC边上的中垂线的斜率为-2. 又AC的中点坐标为(-4,2), 所以由点斜式,可得AC边上的中垂线的方程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0. (4)由(1)可知kAC= ,故AC边上的高所在直线的斜率为-2. 又所求直线过点B(-2,6), 所以由点斜式,可得AC边上的高所在直线的方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.根据斜截式方程中k,b的几何意义确定对应函数的大致图象. 2.方程中含参的直线过定点类问题常用的三种方法: ①将方程化为点斜式:y-y0=k(x-x0),其中k为参数,从而求得直线恒过定点(x0,y0). ②分离参数法:将方程中的参数分离,把含x,y的关系式作为参数的系数,即有参数的放在一起, 没参数的放在一起,因为此式子在参数取任意的值时都成立,所以令参数的系数和不含参数 的式子为零,解方程组可得x,y的值,从而得到直线所过的定点的坐标. ③赋值法:因为参数取任意实数时方程都成立,所以可给参数任意赋两个值,得到关于x,y的二 元一次方程组,解方程组可得x,y的值,从而得到直线过的定点的坐标. 定点 2 利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知直线l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：(1)证明:5ax-5y-a+3=0可化为y- =a ,∴直线l的斜率为a,且过定点 .∵点  在第一象限内, ∴无论a为何值,直线l总经过第一象限. (2)记A ,如图所示,kOA= =3. ∴要使l不经过第二象限,只需a≥kOA, ∴a≥3.   第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结    已知方程中含参的直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0),求参数的值或取值范围的步 骤:   第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　实际问题中,经常会遇到过定点的直线,此时可以先设出直线的点斜式方程或斜截式方 程,再综合其他知识解决问题,需要注意直线的斜率是否存在和直线在两坐标轴上的截距是 否存在、是不是0等特殊情况. 在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、线段长度等问题时,通常要先设出直线方程,再借 助其他知识(如函数、基本不等式等)解决问题. 定点 3 直线方程的应用 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知O为坐标原点,直线l经过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B. (1)求△AOB面积的最小值以及此时直线l的方程; (2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析： 解法一:设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为 + =1. 因为直线l经过点P(3,2),所以 + =1. (1)由于a>0,b>0时,1= + ≥2 =2 ,所以ab≥24,所以S△AOB= ab≥12,当且仅当 = , 即a=6,b=4时取等号. 故△AOB面积的最小值为12,此时直线l的方程为 + =1,即2x+3y-12=0. (2)|OA|+|OB|=a+b=(a+b) =5+ + ≥5+2 =5+2 , 当且仅当 = 且 + =1,即a=3+ ,b=2+ 时取等号, 所以直线l的方程为 + =1,即2x+ y-6-2 =0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:依题意,直线l的斜率存在,设为k,则k<0.易得直线l的方程为y-2=k(x-3),A ,B(0,2 -3k). (1)S△AOB= (2-3k) =  12+(-9k)+  .由于k<0,所以S△AOB≥ · 12+2  =  ×(12+12)=12, 当且仅当-9k=- ,即k=- 时取等号. 故△AOB面积的最小值为12, 此时直线l的方程为y-2=- (x-3), 即2x+3y-12=0. (2)易得|OA|=3- ,|OB|=2-3k. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 因为k<0,所以-k>0, 所以|OA|+|OB|=3- +2-3k= +(-3k)+5≥2 +5=2 +5,当且仅当- =-3k,即k=-  时取等号, 所以直线l的方程为y-2=- (x-3),即2x+ y-6-2 =0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$