2.1 直线的倾斜角与斜率（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的 角α叫做直线l的倾斜角. 当直线与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,它的倾斜角为90°. 2.直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情 况分类讨论.注意:直线倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180°. 2.1　直线的倾斜角与斜率 知识点 1 直线的倾斜角 必备知识 清单破 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.若直线l的倾斜角为α,则α=90°时,直线l的斜率不存在;α≠90°时,直线l的斜率k=tan α. 2.斜率与倾斜角的对应关系 知识点 2 直线的斜率             α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α <180°   k=0 k>0 k不存在 k<0 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则直线l的斜率不存在;若x1≠x2,则直线l的斜率 k = . 　　注意:若已知两点的横坐标中含有参数,则要对参数进行分类讨论,分类的依据便是“两 点的横坐标是否相等”. 4.直线的方向向量与斜率的关系 (1)当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k); (2)当直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k= . 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　两条直线(不重合)平行的判定如下表: 知识点 3 两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90° 对应关系 l1∥l2⇔ =  两直线的斜率都 不存在⇒l1∥l2 图示     　　注意:若l1,l2重合,则仍有 = 或l1,l2的斜率均不存在. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 两条直线垂直的判定如下表: 知识点 4 两条直线垂直的判定 图示     对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔  =-1 l1的斜率不存在,l2的斜率为0 ⇒l1⊥l2 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.不同直线的倾斜角一定不相同吗? 2.直线的斜率k一定随着倾斜角α的增大而增大吗? 3.若两直线(不重合)平行,则两直线的倾斜角一定相等吗?反之呢? 4.若两直线(不重合)的斜率相等,则两直线平行,正确吗?反之呢? 5.设直线l1的斜率为k1,直线l2垂直于直线l1,则直线l2的斜率为- ,此结论正确吗? 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.由倾斜角的定义可以知道,任何一条直线都有唯一的倾斜角,但是不同直线的倾斜 角有可能相同,如两条平行直线的倾斜角是相同的. 2.不一定.k=tan α 在α∈ 和α∈ 时均单调递增,但在α∈ ∪ 时,k= tan α不单调. 3.一定;反之亦成立. 4.正确;反之不正确.若两直线(不重合)的斜率相等,则两直线的倾斜角必相等,两直线必定平 行;若两直线(不重合)平行,则两直线的斜率相等或均不存在. 5.错误.若两直线l1,l2的斜率均存在,则结论正确;若直线l1的斜率k1=0,则两直线垂直时,直线l2的 斜率不存在. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 倾斜角与斜率的关系及应用 关键能力 定点破 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大; (2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大; (3)k=tan α 0≤α<π,α≠  的图象如图所示.   　　由斜率k的范围截取函数图象,进而得到倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函 数图象,进而得到斜率k的范围. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的倾斜角α的取值范围; (2)求直线l的斜率k的取值范围. 思路点拨：作出图形并观察 计算“边界直线”的斜率 得“边界直线”的倾斜角  根据倾斜角定义及斜率的变化趋势求解. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1.   (1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括直线PB与PA的倾斜角),又 直线PB的倾斜角是 ,直线PA的倾斜角是 ,∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ . (2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示：本题易错误地认为-1≤k≤1,由 ≤α≤ ,利用函数k=tan α(0≤α<π)的图象(如图 所示)得到k的取值范围应是k≤-1或k≥1.   第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即 kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或直线AB与BC 或直线AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上. 　　注意:若点A,B,C确定的三条直线AB,AC,BC中,任意两条直线的倾斜角都为90°,且这两条 直线有公共点,则A,B,C三点共线. 2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜 率),借助图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程. 定点 2 直线斜率的应用 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值. 思路点拨： 的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线 的斜率,结合图形求出斜率的最大值和最小值即可. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：  的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜 率. 对于y=x2-2x+2,当x=-1时,y=5;当x=1时,y=1. 设点(-1,5)为B,点(1,1)为A,点(-2,-3)为P,如图所示.   由图可知,当直线经过点P(-2,-3)和B(-1,5)时,斜率最大;当直线经过点P(-2,-3)和A(1,1)时,斜率 最小. 又kPA= = ,kPB= =8, 所以 的最大值为8,最小值为 . 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.判断两条不重合的直线是否平行的方法 (1)利用直线的斜率判断:   (2)利用直线的方向向量判断:分别求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,得到两 直线是否平行的结论. 定点 3 两条直线平行、垂直的判断方法 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 2.判断两条直线是否垂直的方法 (1)利用直线的斜率判断:在两条直线都有斜率的前提下,看它们的斜率之积是否等于-1即可. 特别地,当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. (2)利用直线的方向向量判断:设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m ⇔n·m=0. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形 状. 思路点拨：作出图形,计算各边所在直线的斜率,判断对边是否平行、邻边是否垂直,进而得 出结论. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析：A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示.   易得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- . 因为kAB=kCD,且AB与CD不重合, 所以AB∥CD. 因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行. 因为kAB·kAD= ×(-3)=-1,所以AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 利用平行、垂直关系求待定参数的值或范围 (1)作出示意图,确定问题中的平行、垂直关系,利用斜率、方向向量等条件列出相关方程 (组)并求解. (2)充分分析图形特征,有多种情况的,要分类依次求解. (3)解题时要注意考虑斜率不存在的情况. 定点 4 两条直线平行、垂直的应用 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知▱ABCD的三个顶点分别为A ,B ,C ,则点D的坐标为     　　     . (2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯 形,求m和n的值. 思路点拨： (1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列方程组求解. 思路二:设出点D的坐标,根据 = ,利用向量的坐标列方程组求解. (2)分析直角顶点的位置,利用两底边平行、直角腰与底边垂直求解. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC,且直线AB,CD,AD,BC的 斜率均存在, ∴kAB=kCD,kAD=kBC, ∴ 化简,得  解得 ∴点D的坐标为 . 解法二:设点D的坐标为(m,n). 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 由题意知, = . 易得 = , = , ∴ 解得  ∴点D的坐标为 . (2)当AB∥CD,AB⊥AD时,由图a可知,A(2,-1).∴m=2,n=-1.   图a 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念   图b 当AD∥BC,AD⊥AB时,由图b可知, 即  解得m= ,n=- . 综上,m=2,n=-1或m= ,n=- . 易错警示    由几何图形的特征求顶点坐标时,注意判断图形是否唯一,防止遗漏. 第二章　直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$