1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

知识点 1 空间距离的向量求法 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 1.直线外一点到直线的距离 　　如图①,u为直线l的单位方向向量,P∉l,A∈l,Q∈l, =a, 在直线l上的投影向量为 = (a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得 PQ= = .  　　      必备知识 清单破 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.平面外一点到平面的距离 如图②,设平面α的法向量为n,P∉α,A∈α,PQ⊥α, 在直线l上的投影向量为 ,则点P到平 面α的距离PQ= . 3.其他距离 (1)两平行直线之间的距离:在其中一条直线上取定一点,将所求转化为直线外一点到直线的 距离. (2)两异面直线a,b之间的距离:如图③,在a,b上分别取点A,B,求出与a,b的方向向 量都垂直的向量n,则 在向量n上的投影向量的长度即为异面直线a,b的距离, 为  . (3)平行的线面、面面间的距离:转化为平面外一点到平面的距离. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 空间角的向量求法 空间角 向量求法 范围 异面直线l1与l2所成的角θ  设l1与l2的方向向量分别为u,v,则cos θ=|cos<u,v>| =  直线AB与平面α所成的角θ,如图① 设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ= |cos<u,n>|=   平面α与平面β的夹角θ,如图②    设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cos θ=|cos<n1,n2>|= 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.直线和平面平行时,直线到平面的距离一般如何求解? 2.两平面的夹角与这两平面形成的二面角有什么关系? 3.两平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系? 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.转化为直线上任一点到该平面的距离. 2.两平面相交会形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面 的夹角.两平面的夹角的取值范围为 ,而这两平面形成的二面角的取值范围为[0,π]. 3.两平面的夹角等于两平面的法向量的夹角或其补角. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.用向量法求距离问题的两种思路 (1)转化为求向量模的问题.过已知点作已知直线或已知平面的垂线段,利用待定系数法求出 垂足的坐标,然后通过已知点坐标及垂足坐标求出表示此距离的向量的模,这是求各种距离 的通法. (2)直接套用相关公式求解.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:①不必找点在直 线上的垂足以及垂线段;②可以选直线上的任意点,但一般选较易求得坐标的特殊点;③直线 的方向向量可以任取,但必须保证计算正确. 2.注意事项 求直线到平面(或两平面之间)的距离的前提是线面(或面面)平行,求解时可在直线上(或其中 一个平面上)找到一点,然后将问题转化为求该点到平面的距离.点要选取适当,以方便求解为主. 定点 1 用空间向量研究距离问题 关键能力 定点破 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 3.点到平面的距离的求解步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出(求出)相关点的坐标; (3)求出平面的一个法向量n; (4)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量u; (5)由d= 计算可得点到平面的距离. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析： 解法一:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,   则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E ,F , ∴ = , = , =(0,0,1), = , = . 作DH⊥平面PEF,垂足为H,连接DE,DF,则由空间向量基本定理可得 =x +y +z =  ,其中x+y+z=1.① 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 易知 · =x+ y+  -z= x+y-z=0,②  · =  + x+y-z=x+ y-z=0.③ 由①②③解得x=y= ,z= . ∴ = ,∴| |= . ∴点D到平面PEF的距离为 . (2)易知AC∥平面PEF,∴直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离. 设AH'⊥平面PEF,垂足为H',则 ∥ . 由(1)知 = ,∴可设 =λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),连接EH',则 = + = 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念  +(2λ,2λ,3λ)= . 易知 · =4λ2+4λ2-λ+9λ2=0, ∴λ= .∴ = , ∴| |= . ∴直线AC到平面PEF的距离为 . 解法二:(1)由解法一建立的空间直角坐标系知 = , = , = . 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),则 即 令x=2,则y=2,z=3,∴n=(2,2,3). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴点D到平面PEF的距离为 = = . (2)易知AC∥平面PEF,∴直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离. 由解法一建立的空间直角坐标系知 = . 由(1)知平面PEF的一个法向量为n=(2,2,3). ∴点A到平面PEF的距离为 = = .∴直线AC到平面PEF的距离为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.角的范围与关系 　　利用向量法求空间角时,要注意空间角的范围与向量夹角范围的区别.向量夹角的范围 为[0,π],而异面直线所成的角的范围为 ,两平面夹角的范围为 ,当对应向量夹角为 钝角时,应取其补角. 　　线面角的范围为 ,当直线的方向向量和平面的法向量的夹角为锐角时,线面角等于  减去这个夹角;当直线的方向向量和平面的法向量的夹角为钝角时,线面角等于这个夹角 减去 . 定点 2 用空间向量研究夹角问题 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (1)两异面直线所成的角 ①坐标法:适合建立空间直角坐标系的问题优先选择此法解决. ②基底法:在一些不适合建立空间直角坐标系的问题中,我们经常用基底法.由公式cos<a,b>=  求向量a,b的夹角的关键是求出a·b,|a|与|b|,其求解思路一般是先把a,b用同一个基底表 示出来,再求有关的量. (2)直线与平面所成的角的求解步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系; ②求直线的方向向量u; ③求平面的法向量n; ④计算:设线面角为θ,则sin θ= . 2.空间角的向量求法 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (3)两个平面的夹角的求解步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系; ②分别求两个平面的法向量n1,n2; ③计算:设两个平面的夹角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|= . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别 是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析： 由题可知,AB,BC,BB1两两互相垂直.以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系Bxyz(如图).   设AB=1,则B(0,0,0),E ,F ,C1(1,0,1), 所以 = , =(1,0,1). cos< , >= = = , 所以直线EF和BC1所成角的大小为60°. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,对角线AC,BD交于点O,OA=8,OB=6,OP=8,OP ⊥底面ABCD,设点M满足 =λ (0<λ<1).   (1)若λ= ,求平面MAB与平面ABC的夹角; (2)若直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 ,求λ的值. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析： 由题意得OA,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(8,0,0),B(0,6,0),C(-8,0,0),D(0,-6,0),P(0,0,8).   (1)易得 =(-8,6,0).设M(x1,y1,z1), ∵ =  ,∴(x1,y1,z1-8)= (-8-x1,-y1,-z1),∴ 解得  第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴M(-2,0,6).∴ =(-2,-6,6). 易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1),记n1=(0,0,1). 设平面MAB的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  令x2=3,则y2=4,z2=5,∴n2=(3,4,5). ∴cos<n1,n2>= = = , ∴平面MAB与平面ABC的夹角的大小为 . (2)易得 =(8,0,-8), =(0,12,0). 设M(x3,y3,z3),∵ =λ , 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴(x3,y3,z3-8)=λ(-8-x3,-y3,-z3), ∴ 解得  ∴M ,∴ = . 设平面BDM的法向量为m=(x4,y4,z4), 则 即  令z4=λ,则x4=1,y4=0,∴m=(1,0,λ). ∴|m|= , ·m=8-8λ. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∵直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 , ∴ =|cos< ,m>|= = = , ∴2λ2-5λ+2=0,解得λ= 或λ=2. 又0<λ<1,∴λ= . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思：    我们利用向量法计算二面角时,常会遇到难以直接看出二面角是钝角还是锐角的 问题,可以这样处理:若两个法向量都指向二面角的外部或内部,则二面角等于法向量的夹角 的补角;若两个法向量中一个指向二面角的外部,另一个指向二面角的内部,则二面角等于法 向量的夹角. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 利用空间向量解决与距离、夹角有关的探索性问题的步骤 (1)假设存在(或假设结论成立); (2)建立恰当的空间直角坐标系,得到(设出)相关点的坐标; (3)根据点的坐标得到有关向量的坐标; (4)利用距离或夹角的计算公式列关系式求解; (5)根据解的情况得出结论. 定点 3 用空间向量解决与距离、夹角有关的探索性问题 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为 PD的中点. (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)求PC与平面ACE所成角的正弦值; (3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 ?若存在,确定点F的位置;若不 存在,请说明理由.   第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨：  (1)分别证明BC⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,可得出PA⊥BC,PA⊥CD,再利用线面 垂直的判定定理即可证得结论成立. (2)结合(1)中结论建立空间直角坐标系,利用向量法可求得结果. (3)假设存在满足题意的点F,且F(2,t,0)(0≤t≤2),利用向量法得出关于t的方程,解方程即可得 出结论. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴BC⊥AB,CD⊥AD. ∵PB⊥BC,BC⊥AB,PB,AB⊂平面PAB,PB∩AB=B,∴BC⊥平面PAB. ∵PA⊂平面PAB,∴PA⊥BC. ∵PD⊥CD,CD⊥AD,PD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,∴CD⊥平面PAD. ∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CD. ∵BC,CD⊂平面ABCD,BC∩CD=C,∴PA⊥平面ABCD. (2)由(1)及题知PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA,AB,AD两两互相垂直.以A为坐标原点,AB,AD, AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),∴ =(2,2,0), =(0,1,1), =(2,2,-2). 设平面ACE的法向量为m=(x,y,z), 则 取y=1,则x=-1,z=-1,∴m=(-1,1,-1). cos<m, >= = = , ∴PC与平面ACE所成角的正弦值为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (3)假设存在满足题意的点F,且F(2,t,0)(0≤t≤2). 易得 =(2,t,0), =(0,0,2). 设平面PAF的法向量为n=(a,b,c), 则 取a=t,则b=-2,c=0, ∴n=(t,-2,0). ∴点E到平面PAF的距离为 = = ,∴t=1,此时点F为线段BC的中点. ∴当点F为线段BC的中点时,点E到平面PAF的距离为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛：立体几何中的探索性问题,直接求解需进行复杂的作图、论证、推理,而利用空 间向量,则只需通过坐标运算进行判断即可.解题时,根据题干中的条件和假设,把几何问题转 化为代数问题,即是否有解问题,解法固定,应熟练掌握. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图1,在△MBC中,BM=2BC=4,BM⊥BC,A,D分别为BM,MC的中点,将△MAD沿AD折起 到△PAD的位置,使∠PAB=90°,如图2,连接PB,PC,BD. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若E为PC的中点,求直线DE与平面PBD所成角的正弦值; (3)在线段PC上是否存在一点G(不包括端点),使平面ADG与平面ADP所成角的余弦值为  ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.   图2 图1 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析： (1)证明:因为A,D分别为BM,MC的中点,所以AD∥BC. 因为BM⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD. 因为∠PAB=90°,所以PA⊥AB. 因为AB,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD. 又因为PA⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)由(1)知AP,AB,AD两两垂直. 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 则B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(1,1,1),所以 =(1,0,1), =(-2,1,0), =(-2,0,2). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   设平面PBD的法向量为n=(x1,y1,z1), 则 即  令y1=2,得x1=1,z1=1, 所以n=(1,2,1). 设直线DE与平面PBD所成的角为θ, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ=|cos< ,n>|= = = . 故直线DE与平面PBD所成角的正弦值为 . (3)假设在线段PC上存在一点G(不包括端点),使平面ADG与平面ADP所成角的余弦值为  . 由(2)知A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),C(2,2,0), 所以 =(2,2,-2), =(0,1,0). 设 =λ (0<λ<1), 则G(2λ,2λ,2-2λ), 所以 =(2λ,2λ,2-2λ). 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 易知平面PAD的一个法向量为(1,0,0),记n1=(1,0,0). 设平面ADG的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  令z2=λ,则x2=λ-1,y2=0, 所以n2=(λ-1,0,λ). 由题意得|cos<n1,n2>|= = = , 所以8λ2+2λ-1=0, 解得λ=- (舍去)或λ= . 故在线段PC上存在一点G(不包括端点),使平面ADG与平面ADP所成角的余弦值为 ,且  = . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 学科素养 情境破 素养解读 　　直观想象是数学的六大核心素养中重要的一个,它是数学抽象或数学建模的基础.我们 常对生活中的实际情境进行分析,探索其本质,并通过数学抽象或数学建模将其转化为数学 问题.在立体几何的学习中,我们借助直观想象将几何直观(用图形来描述和分析问题)这一感 性认识过渡到空间想象(对二维平面或三维空间的图形的位置、数量关系及有关性质的理 解)这一理性认识,从而借助几何图形的直观来拓展想象的思维能力. 　　数学建模是对实际问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建数 学模型解决问题的过程.在立体几何的学习中,数学建模主要体现在点、线、面的位置关系, 空间角、空间距离,组合体等在实际问题中的应用,其实质是将实际问题的内在规律用数字、 图表、公式、符号等表示出来,根据数学基本知识和基本原理构建数学模型,从而达到识模、用模、解模的过程. 素养 通过立体几何图形与空间向量发展直观想象、数学建模的素养 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 2021年6月17日,神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接. 神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图如图1所示,半径相等的圆I1,I2,I3,I4与圆柱OO 1的底面圆分别相切于A,B,C,D四点,且圆I1与I2,I2与I3,I3与I4,I4与I1分别外切,线段A1A为圆柱OO1 的母线.点M为线段A1O1的中点,点N在线段CO1上,且CN=2NO1.已知圆柱OO1的底面半径为2, AA1=4. (1)求证:AM∥平面BDN; (2)线段AA1上是否存在一点E,使得OE⊥平面BDN?若存在,请求出AE的长, 若不存在,请说明理由; 图1 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (3)飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图如图2所示.天和核心舱可 简化为底面半径为2的圆柱O2O3,它与飞船推进舱共轴,即O,O1,O2,O3共线.天和核心舱舱体两 侧伸展出太阳翼,其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形,四边形PQRS为矩形.已知 推进舱与核心舱的距离为4,即O1O2=4,且O2O3=RS=2,PS=7.在对接过程中,核心舱可能会作出 相对于推进舱的逆时针旋转的运动,请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下,在舱体相 对旋转过程中,直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值. 图2 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路：(1)证明:如图①,设M',N'分别是点M,N在线段AC上的投影,   ∴M'为AO的中点,N'为OC的三等分点, ∴tan∠MAM'= = =4,tan∠NON'= = =4, ∴∠MAM'=∠NON',∴AM∥ON, 又AM⊄平面BDN,且ON⊂平面BDN, 图① 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴AM∥平面BDN. (2)根据题意建立如图②所示的空间直角坐标系,   则O(0,0,0),B(0,2,0),D(0,-2,0), N ,设E(2,0,t)(0≤t≤4), ∴ =(0,4,0), = , =(2,0,t), 图② 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 假设OE⊥平面BDN,则  ∴- + t=0, ∴t= . ∴线段AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BDN,且AE= . (3)将矩形PQRS作为参照物,不妨设A1顺时针旋转的弧度为α(α>0), 则结合(2)中所建坐标系可得A1(2cos(-α),2sin(-α),4),即A1(2cos α,-2sin α,4), 又P(10,0,8),∴ =(10-2cos α,2sin α,4). 易知平面PQRS的一个法向量为(0,1,0),记u=(0,1,0). 设直线A1P与平面PQRS所成的角为θ, 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ=|cos< ,u>| =  = · , 当cos α=±1时,sin θ=0; 当-1<cos α<1时,设t=3-cos α,则t∈(2,4), ∴sin θ= · ≤ × = ×(2- )= , 当且仅当t= ,即t=2 ,即cos α=3-2 时,sin θ取得最大值,为 . 综上可知,在旋转过程中,直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值为 . 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 在立体几何的学习过程中,我们不但要借助空间几何体模型认识点、线、面之间的位置关 系,将二维平面图形与三维空间图形进行类比联想,还要学会借助几何直观和空间想象感知 事物的形态与变化,利用图形来理解并梳理思路,寻找方向,可将复杂问题简单化. 立体几何中有多种模型,如线面平行与垂直,面面平行与垂直,二面角等相关的求解模型,我们 可以将其有意识地记忆下来,这样当遇到一个新问题时,辨认它属于哪一类模型的基本模式, 进而联想起一个已经解决了的问题,并以此为索引,在记忆存储中提取出相应的方法来加以 解决,可以起到事半功倍的效果. 第一章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$