第1章 1.3 直线的方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.3　直线的方程 基础过关练 题组一　直线方程的点斜式与斜截式　　　　　 　　　　 　　　　 1.过点P()且倾斜角为135°的直线方程为(　　) A.3x-y-4=0 C.x+y-=0 2.(多选题)下列说法错误的有(　　) A.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3 B.经过点P(x1,y1),斜率为0的直线方程是y=y1 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.方程y=k(x-2)与方程k=表示同一条直线 3.(多选题)同一坐标系中,直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的大致位置可能为(　　) 　　　　　　 　　　　　　 4.已知直线l经过点P(-1,2),且其斜率为k. (1)若k=2,求l的点斜式方程; (2)若直线l在y轴上的截距为4,求l的斜截式方程. 题组二　直线方程的两点式与截距式 5.已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列不在直线l上的点是(　　) A.(-2,-1)　　　　　　B.(-1,0) C.(0,1)　　　　　　 D.(2,1) 6.(多选题)直线l过点(1,-2),且在两坐标轴上的截距之和为-2,则直线l的方程为(　　) A.x-3y-7=0　　　　　　B.2x-y-4=0 C.x+y+1=0　　　　　　D.4x-y-8=0 7.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为(　　) A.5x+3y-6=0　　　　　　B.3x-5y+15=0 C.x+13y+5=0　　　　　　D.3x+8y+15=0 8.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示 B.经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示 C.过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有2条 D.不经过原点的直线都可以用方程=1表示 9.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的质量为(　　) A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg 10.已知直线l:=1. (1)若直线l的斜率是2,求m的值; (2)当直线l与两坐标轴的正半轴相交,且所围三角形的面积最大时,求此直线的方程. 11.若直线AB与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6?若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由. 题组三　直线方程的一般式与点法式 12.(多选题)如果AB<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0经过(　　) A.第一象限　　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　　　D.第四象限 13.已知直线l:x+y-1=0,则下列结论正确的是(　　) A.直线l的倾斜角为 B.直线l的斜率为 C.直线l在y轴上的截距为-1 D.向量v=(1,1)是直线l的一个法向量 14.若直线l经过点P(-2,1),且直线l的一个法向量为v=(2,-1),则直线l的方程为　　　　　　　.  15.已知直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为,则m=　　　　,若m=-1,则直线l在y轴上的截距为　　　　.  16.已知直线l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:无论a为何值,直线l恒过第一象限; (2)从下面两个条件中任选一个,求a的值. 条件①:直线l的倾斜角比直线x-3y+1=0的倾斜角大; 条件②:直线l的一个方向向量为v=(1,1). 能力提升练 题组　直线方程的应用 1.直线l1:y=kx+b(kb≠0)和直线l2:=1在同一坐标系中的图形可能是(　　) 2.已知直线l:2x-my+m-4=0,则下述论断正确的是(　　) A.直线l不可能经过坐标原点 B.直线l的斜率可能为0 C.直线l的倾斜角不可能是 D.直线l恒过定点(2,1) 3.已知点A(1,3),B(2,1),若直线l:y=k(x+2)-1与线段AB相交,则k的取值范围是(　　) A. C. 4.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　) A.x+y+5=0　　　　　　B.2x-y-1=0 C.x-2y+4=0　　　　　　D.x+y-7=0 5.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　) A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8 6.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是(　　) A.2x+y+1=0　　　　　　B.2x-y+1=0 C.2x+y-1=0　　　　　　 D.x+2y+1=0 7.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为　　　　　.(结果写成直线的一般式方程)  8.已知直线l:(a+2)x-ay-3a-8=0,O为坐标原点,若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|OA|+|OB|最小时,a=　　　　.  9.如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外,△AEF内部有一文物保护区域,不能占用,经过测量,AB=100 m, BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪面积最大? 答案与分层梯度式解析 1.3　直线的方程 基础过关练 1.D　因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率k=tan 135°=-1,所以直线的方程为y+2),即x+y+=0,故选D. 2.ACD　斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3,故A中说法错误;斜率为0的直线上所有点的纵坐标均相同,则直线方程为y=y1,故B中说法正确;当倾斜角θ为时,直线方程为x=1,故C中说法错误;方程y=k(x-2)表示一条直线,而方程k=表示直线y=k(x-2)上除去点(2,0)的部分,故D中说法错误.故选ACD. 3.BC　对于A,l1:a<0,b<0,l2:b>0,-a>0,即a<0,故A错误;对于B,l1:a>0,b<0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故B正确;对于C,l1:a<0,b>0,l2:b>0, -a>0,即a<0,故C正确;对于D,l1:a>0,b>0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故D错误.故选BC. 4.解析　(1)当直线l经过点P(-1,2)且斜率k=2时,l的点斜式方程为y-2=2(x+1). (2)由已知可得,直线l经过点(-1,2),(0,4),所以其斜率k==2, 所以l的斜截式方程为y=2x+4. 5.D　因为直线l经过点(-3,-2),(1,2),所以直线l的方程为,整理,得x-y+1=0, 将各个选项中点的坐标代入直线l的方程,可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线l上,点(2,1)不在直线l上.故选D. 6.BC　由题意得,直线在两坐标轴上均有截距且截距均不为0,故设所求直线方程为=1(ab≠0), 则故直线方程为x+y+1=0或2x-y-4=0,故选BC. 7.C　∵B(3,-3),C(0,2), ∴线段BC的中点坐标为. 又∵BC边上的中线所在直线过点A(-5,0), ∴BC边上的中线所在直线的方程为,即x+13y+5=0.故选C. 8.BC　对于A,如直线y=2x,它在两坐标轴上的截距都为0,但不能用方程x+y=a(a∈R)表示,故A错误. 对于B,经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线有两种情况: 当x1≠x2时,直线方程为y-y1=(x-x1),整理,得(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1); 当x1=x2时,直线方程为x=x1,即方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)成立. 综上所述,经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示,故B正确. 对于C,当直线在x轴和y轴上的截距均为0时,可设直线方程为y=kx(k≠0), 因为直线过点(2,1),所以1=2k,解得k=,所以所求直线的方程为y=x; 当直线在x轴和y轴上的截距不为0时,可设直线方程为=1(a≠0),即x+y=a(a≠0), 因为直线过点(2,1),所以2+1=a,即a=3,所以所求直线的方程为x+y=3. 综上所述,过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有2条,故C正确. 对于D,例如直线x=1不经过原点,但是不能用方程=1表示,故D错误.故选BC. 9.C　由题图知点A(60,6),B(80,10).由直线的两点式方程得,整理得x-5y-30=0,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg的行李.故选C. 10.解析　(1)由题意得直线l过点(m,0),(0,4-m), 则=2,解得m=-4. (2)由题意得m>0,4-m>0,解得0<m<4, 则三角形的面积S=. 当m=2时,S有最大值, 故直线l的方程为=1,即x+y-2=0. 11.解析　设直线AB的方程为=1(a>0,b>0),则直线AB在x轴、y轴上的截距分别为a,b, 由题意得, 则 所以a2+b2=25,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=49⇒a+b=7,所以 当a=3,b=4时,直线方程为4x+3y-12=0; 当a=4,b=3时,直线方程为3x+4y-12=0. 故存在满足题意的直线,直线方程为4x+3y-12=0或3x+4y-12=0. 12.ACD　因为AB<0,所以B≠0,故直线的斜截式方程为y=-,因为AB<0,BC>0,所以-<0,故直线经过第一、三、四象限.故选ACD. 13.D　因为直线l:x+y-1=0的方程即y=-x+1,所以直线l的斜率为-1,倾斜角为,在y轴上的截距为1,故A,B,C错误;对于D,因为直线l:x+y-1=0的一个方向向量为(1,-1),所以v=(1,1)是它的一个法向量,故D正确.故选D. 14.答案　2x-y+5=0 解析　由题意得直线l的方程为2(x+2)-(y-1)=0,即2x-y+5=0. 15.答案　0; 解析　由题意得,所以m=0. 若m=-1,则直线l的方程为2x-2y+1=0,可变形为y=x+,所以直线l在y轴上的截距为. 16.解析　(1)证明:将直线l的方程变形得y-,所以直线l的斜率为a,且过定点, 而点在第一象限,所以无论a为何值,直线l恒过第一象限. (2)若选择条件①:因为直线x-3y+1=0的斜率k=,所以其倾斜角α=, 则l的倾斜角为,可知l的斜率kl=1,即kl==1,所以a=1. 若选择条件②:由直线l的一个方向向量为v=(1,1),可知l的斜率kl=1, 即kl==1,所以a=1. 能力提升练 1.D　A选项中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k<0且b<0,矛盾.B选项中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k>0且b>0,矛盾.C选项中,由l1可得k<0且b<0,由l2可得k>0且b<0,矛盾.D选项中,由l1,l2均可得到k>0且b>0.故选D. 2.D　令x=0,y=0,得m-4=0,即m=4,故当m=4时, 直线l:y=x经过坐标原点,故A错误.方程2x-my+m-4=0可化为my=2x+m-4,当m=0时,直线l:x=2,其斜率不存在;当m≠0时,直线l:y=,其斜率不为0,故B,C错误.方程2x-my+m-4=0可化为(y-1)m=2(x-2),即直线l恒过定点(2,1),故D正确.故选D. 3.D　直线l:y=k(x+2)-1恒过点P(-2,-1),则kPA=,结合图形(图略)可得k的取值范围是.故选D. 4.D　设P(3,m).因为点P在直线PA上,所以3-m+1=0,解得m=4,即点P的坐标为(3,4). 由题意知PA与x轴的交点为A,所以点A的坐标为(-1,0),又|PA|=|PB|,点B在x轴上,所以点A,B关于直线x=3对称,所以点B的坐标为(7,0),所以kPB==-1,所以直线PB的方程为y-0=-(x-7),即x+y-7=0.故选D. 5.C　易知直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b. 由题意得a+b=ab,即=1, ∴a+b=(a+b)≥2+2=4,当且仅当,即a=b=2时取等号, ∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4. 6.A　把(2,1)代入直线方程a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0, 两式相减得2(a1-a2)=b2-b1, 过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是(a2-a1)(y-b1)=(b2-b1)(x-a1), ∴y-b1=-2(x-a1),即2x+y-(2a1+b1)=0, ∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1, ∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选A. 7.答案　3x-4y=0 解析　由题设知,△ABC是直角三角形,则其垂心为直角顶点A(0,0),其外心为斜边BC的中点M(4,3),故其重心在直线AM上,故其“欧拉线”的方程即直线AM的方程,为y=x,即3x-4y=0. 8.答案　- 解析　方程(a+2)x-ay-3a-8=0可化为a(x-y-3)+2x-8=0,由即直线l过定点(4,1),假设直线l的截距式方程为=1(s>0,t>0),则+5≥2+5=9,当且仅当,即s=6,t=3时,等号成立,此时直线l的方程为x+2y-6=0,所以且-=3,解得a=-. 9.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),EF所在直线的方程为=1. 在线段EF上取一点P(m,n)(0≤m≤30),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪, 设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n). 又因为=1(0≤m≤30),所以n=20, 故S=(100-m)(0≤m≤30), 当m=5时,S有最大值,此时=5,即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时,可使草坪面积最大. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$