第五章 计数原理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第五章　计数原理

全卷满分150分　考试用时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)

A.15　　　　B.30　　　　C.35　　　　D.42

2.在(x-2)8的二项展开式中,二项式系数的最大值为a,x5的系数为b,则=(　　)

A.

3.为提升学生的数学素养,某中学开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程,要求每位同学每学年至多选四门,高一、高二两个学年必须将五门选修课程选完,则每位同学不同的选修方式有(　　)

A.30种　　　　B.20种　　　　C.15种　　　　D.16种

4.将座位号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且分给同一人的多张票必须连号,那么不同的分法种数为(　　)

A.24　　　　B.36　　　　C.72　　　　D.120

5.在(x+y+2)5的展开式中,xy3的系数是(　　)

A.24　　　　B.32　　　　C.36　　　　D.40

6.某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一枚棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走几个单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去,则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同方法共有(　　)

A.21种　　　　　B.22种

C.25种　　　　　D.27种

7.若n是正整数,则7n+7n-1+…+7(　　)

A.能被9整除或除以9的余数是7

B.能被9整除

C.除以9的余数是7

D.除以9的余数是1

8.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱,如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积的比值为m,圆柱的表面积与球的表面积的比值为n,则的展开式中的常数项是(　　)

A.15　　　　B.-15　　　　C.

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.下列命题是真命题的是(　　)

A.=162 700

B.

C.=254

D.(1+2x)10的展开式中二项式系数最大的项是×(4x)5

10.在(1-2x3)(-a)5的展开式中,各项系数的和为1,则(　　)

A.a=3　　　　　

B.展开式中的常数项为-32

C.展开式中x4的系数为160　　　　　

D.展开式中无理项的系数之和为-242

11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是(　　)

A.若任意选择三门课程,则选法总数为

B.若物理和化学至少选一门,则选法总数为

C.若物理和历史不能同时选,则选法总数为

D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法总数为

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.某中学为庆祝建校130周年,高二年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动,活动结束后5名老师排成一排合影留念,要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻,则共有　　　　种不同的排法(用数字作答). 

13.已知x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a4=　　　　. 

14.党的二十大报告指出,我们经过接续奋斗,实现了小康这个中华民族的千年梦想,打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战,历史性地解决了绝对贫困问题,为全球减贫事业作出了重大贡献.为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果,某县选派7名工作人员到A,B,C三个乡镇进行调研活动,每个乡镇至少去1人,恰有两个乡镇所派人数相同,则不同的安排方式共有　　　　种. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会,问:

(1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法?

(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人在内,有多少种选法?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.(15分)7人站成两排队列,前排3人,后排4人.

(1)一共有多少种站法?

(2)现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相对位置不变,有多少种不同的加入方法?

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)从①第4项的系数与第2项的系数的比值是;②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36这两个条件中任选一个,补充在下面的横线中.

已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),且(2x-1)n的二项展开式中,　　　　. 

(1)求n的值;

(2)(i)求二项展开式的中间项;

(ii)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(17分)某次会议期间,组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位,每个岗位至少有一人参加,且五人均能胜任这四个岗位.

(1)若每人不准兼职,则不同的分配方案有多少种?

(2)若甲、乙被抽调去别的地方,剩下的三人要求每人必兼两职,则不同的分配方案有多少种?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(17分)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(用数字回答)

(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;

(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;

(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加.