第六章 概率（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第六章　概率 全卷满分150分　考试用时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若随机变量X的分布列如下表所示,则a的值为(　　) X 1 2 3 P 0.2 a 3a A.0.1　　　　B.0.2　　　　C.0.3　　　　D.0.4 2.课桌上有12本书,其中理科书有4本,现从中任意拿走6本书,用随机变量ξ表示这6本书中理科书的本数,则概率为的是　　(　　) A.P(ξ≤1)　　　　　B.P(ξ=1) C.P(ξ>1)　　　　　 D.P(ξ>2) 3.已知随机变量X的分布列为P(X=n)==(　　) A. 4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2<X≤4)≈0.682 6,则P(X>4)≈(　　) A.0.158 8　　　　B.0.158 7　　　　C.0.158 6　　　　D.0.158 5 5.排球比赛的规则是5局3胜制(5局比赛中,优先取得3局胜利的一方获得最终胜利,无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是　　(　　) A. 6.袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和不是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰好3人获奖的概率是(　　) A. 7.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球的体育活动,掷出点数为1或2的人去参加篮球活动,掷出点数大于2的人去参加乒乓球活动.用X,Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数,记ξ=|X-Y|,则随机变量ξ的数学期望Eξ为(　　) A. 8.随着经济的不断发展,城市的交通问题越来越严重,为倡导绿色出行,某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2,0.3,0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91,骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天上班小明迟到的概率是(　　) A.0.24　　　　B.0.14　　　　C.0.067　　　　D.0.077 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.设A,B为两个随机事件,则以下命题正确的为(　　) A.若A,B是互斥事件,P(A)= B.若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1 C.若A,B是相互独立事件,P(A)=,则P(A D.若P(,则A,B是相互独立事件 10.某大型汽车配件厂为提高对汽车配件生产产品的质量要求,对现有某种型号产品进行抽检,由抽检结果可知,该型号汽车配件质量指标ξ服从正态分布N(200,224),则(　　) (附:≈14.97,若ξ~N(μ,σ2),则P(|ξ-μ|<σ)=0.682 7,P(|ξ-μ|<2σ)=0.954 5) A.P(185.03<ξ<200)=0.682 7 B.P(200≤ξ<229.94)=0.477 25 C.P(185.03<ξ<229.94)=0.954 5 D.任取10 000件该型号配件,其质量指标值在区间(185.03,229.94)内的件数约为8 186 11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球,其中白球6个、红球4个,现分两次从纸箱中不放回取球,第一次从箱中随机取出1个球,第二次从箱中随机取出2个球,分别用A1,A2表示事件“第一次取出白球”“第一次取出红球”,分别用B,C表示事件“第二次取出的都为红球”“第二次取出的两球为一红一白”.下列结论正确的是(　　) A.P(B|A2)=　　　　 C.P(B)= 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.某班级数学课上老师随机从学生甲、乙、丙、丁中选取一名学生回答问题,据了解学生甲、乙、丙、丁答对此题的概率分别为0.9,0.8,0.7,0.6,则此题答对的概率为　　　　;在此题答错的情况下,由乙回答此题的概率为　　　　.  13.假设某球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于p,其中0<p<1,且各场比赛互不影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数,且令pk(k=0,1,2,…,9)代表9场比赛中恰有k场出现输球的概率P(X=k).已知p4+p5=p6,则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为　　　　.  14.学习强国APP新开通一项“争上游答题”栏目,其规则是比赛两局,首局胜利积3分,第二局胜利积2分,失败均积1分,某人每局比赛胜利的概率均为,设他参加一次答题活动得分为ξ,则Dξ=　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)某中学在教工活动中心举办了一场台球比赛,为了节约时间,比赛采取3局2胜制.现有甲、乙两人参赛,已知每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4.求: (1)这场比赛甲胜的概率; (2)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下,乙有一局获胜的概率. 16.(15分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,规定比赛进行到有一人比另一人多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为,各局比赛相互独立,用X表示比赛结束时的比赛局数. (1)求比赛结束时甲只获胜一局的概率; (2)求X的分布列和数学期望. 17.(15分)某公司有3辆新能源电动汽车参加阳光保险,每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金,若在一年内出现事故,每辆车可赔8 000元的赔偿金(假设每辆车每年最多赔偿一次).设3辆车一年内发生事故的概率分别为,且每辆车是否发生事故相互独立. (1)求该公司获赔的概率; (2)设获赔金额为X,求X的分布列和数学期望. 18.(17分)某校总务处的主任要购买学校教学用的粉笔,并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”还是“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售,每箱共有20盒,根据以往的经验,其中会有某些盒的粉笔为非优质产品,其余的都为优质产品.并且每箱含有0,1,2盒非优质产品的概率依次为0.7,0.2,0.1.为了购买该品牌的粉笔,校总务处主任设计了一种购买的方案:欲买一箱粉笔,随机查看该箱中的4盒粉笔,如果没有非优质产品,则购买,否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A,“箱中有i(i=0,1,2)盒粉笔为非优质产品”为事件Bi. (1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2); (2)随机查看某一箱该品牌粉笔中的4盒,设X为其中非优质产品的盒数,求X的分布列及数学期望; (3)假设购买100箱该品牌粉笔,若按照主任所设计的方案进行购买,箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10,则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效. 19.(17分)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前300名的学生参加复赛.已知共有12 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(单位:分)作为样本,得到如下频率分布直方图: (1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望; (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),且σ2=362,已知小明的预赛成绩不低于91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛; (3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题加2分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩,已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少? 附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈ 0.997 3;≈19. 答案与解析 第六章　概率 1.B　由分布列的性质得0.2+a+3a=1,所以a=0.2.故选B. 2.A　由题意得,随机变量ξ服从参数为12,4,6的超几何分布, 所以=P(ξ=0)+P(ξ=1)=P(ξ≤1).故选A. 3.A　由题意得, 所以P.故选A. 4.B　随机变量X服从正态分布N(3,1),其图象的对称轴为直线x=3, 所以P(3<X≤4)≈×0.682 6=0.341 3, 所以P(X>4)=0.5-P(3<X≤4)=0.5-0.341 3=0.158 7.故选B. 5.D　由题意可知,事件“最后乙队获胜”的对立事件为“最后3局均为甲队获胜”,记此事件为A, 由独立事件的概率公式可得P(A)=, 因此,最后乙队获胜的概率是1-P(A)=.故选D. 6.D　从袋子中一次性摸出两个球,共有=15种情况.其中两个号码的和为3的倍数的有{1,2},{1,5},{2,4},{3,6},{4,5},共5种情况, ∴一个人摸球,能够获奖的概率为1-, ∴5人参与摸球,恰好3人获奖的概率P=.故选D. 7.D　依题意,这4个人中,每个人去参加篮球活动的概率均为, 设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件Ai(i=0,1,2,3,4), 则P(Ai)=(i=0,1,2,3,4). ξ的所有可能取值为0,2,4, 则P(ξ=0)=P(A2)=, P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=, 所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 所以Eξ=0×. 8.D　记小明步行上班为事件A,骑共享单车上班为事件B,乘坐地铁上班为事件C,小明上班迟到为事件H, 则P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5, P(H|A)=1-P(|C)=0.07, 所以P(H)=P(AH)+P(BH)+P(CH)=P(A)·P(H|A)+P(B)·P(H|B)+P(C)·P(H|C)=0.2×0.09+0.3×0.08+0.5×0.07=0.077, 所以某天上班小明迟到的概率是0.077.故选D. 9. BCD　若A,B是互斥事件,P(A)= ,则A,也是相互独立事件,且P(,所以P(A,故C正确;若P(,又P()P(B),所以,B是相互独立事件,故A,B也是相互独立事件,故D正确.故选BCD. 10.BD　∵该型号汽车配件质量指标ξ服从正态分布N(200,224), ∴μ=200,σ2=224, 又∵≈14.97,∴σ≈14.97. 对于A,P(185.03<ξ<200)=×0.682 7=0.341 35,故A错误; 对于B,P(200≤ξ<229.94)=×0.954 5=0.477 25,故B正确; 对于C,P(185.03<ξ<229.94)=P(|ξ-μ|<2σ)=0.341 35+0.477 25=0.818 6,故C错误; 对于D,由选项C知P(185.03<ξ<229.94)=0.818 6,而10 000×0.818 6=8 186件,故D正确. 故选BD. 11.ABD　由题意得P(A1)=, 所以P(B|A2)=, P(C|A1)=,故A、B正确. 易得P(B|A1)=,故C错误. P(A2C)=,故D正确.故选ABD. 12.答案　0.75;0.2 解析　根据题意,此题答对的概率为0.25×0.9+0.25×0.8+0.25×0.7+0.25×0.6=0.75. 记事件A为“此题答错”,事件B为“由乙回答此题”, 则P(B|A)==0.2. 13.答案　 解析　由题意知P(X=k)=pk(1-p)9-k(k=0,1,2,…,9), 因为p4+p5=p6, 所以p6(1-p)3, 化简,得15p2+4p-4=0,解得p=(舍), 从而EX=np=. 14.答案　 解析　由题意得ξ的可能取值为5,4,3,2, P(ξ=5)=, P(ξ=3)=, 则Eξ=5×, 则Dξ=. 15.解析　(1)因为每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4, 所以这场比赛甲胜的概率为0.62+×0.4×0.62=0.648.(6分) (2)设事件A=“甲获得比赛胜利”,事件B=“乙获胜一局”. 则P(A)=0.648, P(AB)=×0.4×0.62=0.288. 所以P(B|A)=, 所以在甲获得比赛胜利的条件下,乙有一局获胜的概率为.(13分) 16.解析　(1)因为比赛结束时甲只获胜一局, 所以一共进行了4局比赛,且甲在第1局或第2局获胜. 若甲在第1局获胜,则乙在后面3局都获胜, 此事件的概率为,(2分) 若甲在第2局获胜,则乙在第1,3,4局获胜, 此事件的概率为,(4分) 记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A,则P(A)=.(6分) (2)根据条件可知X的可能取值为2,4,6, 当X=2时,有2种情况:{甲,甲},{乙,乙}; 当X=4时,有4种情况:{甲,乙,乙,乙},{乙,甲,乙,乙},{乙,甲,甲,甲},{甲,乙,甲,甲}(花括号中,按顺序为各局的获胜者). P(X=2)=2×, P(X=6)=1-P(X=2)-P(X=4)=,(12分) 所以X的分布列为 X 2 4 6 P 所以EX=2×.(15分) 17.解析　设事件Ak表示第k辆车在一年内发生事故,k=1,2,3,由题知,事件A1,A2,A3相互独立,且P(A1)=.(3分) (1)根据题意,得该公司获赔的概率为1-P(.(6分) (2)由题意可知,X的可能取值为0,8 000,16 000,24 000.(8分) 则P(X=0)=P(, P(X=24 000)=P(A1)P(A2)P(A3)=, P(X=16 000)=P(A1)P(A2)P(, P(X=8 000)=1-.(13分) 所以X的分布列为 X 0 8 000 16 000 24 000 P E(X)=0×.(15分) 18.解析　(1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)=.(3分) (2)由题意可知X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=0.7+0.2×, P(X=1)=0.2×, P(X=2)=0.1×.(10分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×.(12分) (3)由题意知P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×1+0.2×,(14分) 按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=, 因为100×-100×0.7≈6<10,所以该方案无效.(17分) 19.解析　(1)预赛成绩在[60,80)内的为0.012 5×20×100=25(人),预赛成绩在[80,100]内的为0.007 5×20×100=15(人), 则P(X≥1)=,(3分) 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,则X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=, P(X=2)=,(6分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×.(8分) (2)根据题意,得μ=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53, 因为σ2=362,所以Z~N(53,362),(10分) 所以P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=×(1-0.954 5)=0.022 75, 故全市参加预赛的学生中,成绩不低于91分的有12 000×0.022 75=273(人), 因为273<300, 所以小明有资格参加复赛.(12分) (3)设学生甲答对的题数为ξ,复赛成绩为Y分, 则ξ~B(n,0.8),故Eξ=0.8n, Y=100-0.2(1+2+3+…+n)+2ξ,(14分) 故EY=100-0.2(1+2+3+…+n)+2Eξ=-,(16分) 因为n∈N+, 所以当答题数量n为7或8时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$