第2章 3.2 抛物线的简单几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3.2　抛物线的简单几何性质 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　由抛物线的标准方程探究其几何性质 1.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A.(-m,-n)　　　　　　B.(m,-n)　　　 C.(-m,n)　　　　　　 D.(-n,-m) 2.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为(　　) A.8 3.(多选题)平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C,下列结论正确的有(　　) A.曲线C的方程为x2=4y B.曲线C关于y轴对称 C.若点P(x,y)在曲线C上,则y≥2 D.若点P在曲线C上,则点P到直线l的距离d≥2 4.已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),若P为C上的一个动点,设点Q的坐标为(3,0),则|PQ|的最小值为　　　　.  题组二　由抛物线的几何性质求标准方程 5.以x轴为对称轴,坐标原点为顶点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线的方程是(　　) A.y2=8x　　　　　　B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x　　D.x2=8y或x2=-8y 6.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的标准方程为(　　) A.y2=8x　　　　　　B.y2=2x C.y2=x　　　　　　 D.y2=x 7.(多选题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标可以为(　　) A.(0,-1)　　　　　　B.(0,-2)　　　 C.(0,2)　　　　　　 D.(0,1) 8.斜率为的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,若l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,则p=(　　) A.12　　　B.8　　　C.10　　　D.6 9.写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程:　　　　.  ①以原点为顶点;②以椭圆+x2=1的一个焦点为抛物线的焦点. 10.已知抛物线C的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过(-1,1),(1,),(2,-2),(-1,-2)四点中的两点,则抛物线C的方程为　　　　.  11.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程. 12.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点为F,P为抛物线上的动点,M为其准线上的动点,若△FPM是边长为2的等边三角形,求此抛物线的标准方程. 题组三　抛物线的焦点弦问题 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,若|MN|=10,则线段MN的中点到y轴的距离为(　　) A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2 14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C交于点A,B.若|AF|=2|BF|,则k=(　　) A.1　　　B. 15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为的直线,交抛物线于A,B两点,若=2,则实数p的值为(　　) A. 16.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A与抛物线C的焦点F之间的距离为12,点A到y轴的距离为9. (1)求p的值; (2)若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C相交于M,N两点.求线段MN的长. 能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组　抛物线的几何性质及其应用 1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(3,y0),若点M与该抛物线的焦点F之间的距离为6,则|OM|=(　　) A.5　　　B.3 2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为(　　) A.64　　　D.80 3.(多选题)已知P(x,y)为曲线x=2上一动点,则(　　) A. B.存在一个定点和一条定直线,使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C.P到直线y=-x-2的距离的最小值小于 D.的最小值为6 4.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形AA1CF的面积为5,则准线l的方程为(　　) A.x=- C.x=-2　　　　　　 D.x=-1 5.(多选题)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线AB,CD过焦点F,分别交抛物线Γ于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中A,C位于x轴同侧,且直线BC经过点,记直线BC,AD的斜率分别为kBC,kAD,则下列结论正确的有　　(　　) A.y1y2=-p2 B.直线AD过定点 C.=4 D.|AD|的最小值为2p 6.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为(　　) A. 7.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B.过B作l的垂线,垂足为M,若AM⊥MF,则△AFM的面积S=　　　　.  8.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,定点A(1,2)和动点P都在抛物线C上,点B(2,0),则的最大值为　　　　.  9.已知抛物线C:y2=2px(0<p<10),F为抛物线C的焦点,D(8,y0)为抛物线C上一点,点E为点D在x轴上的投影,且|DE|=|DF|. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,求证:AB过定点. 答案与分层梯度式解析 3.2　抛物线的简单几何性质 基础过关练 1.B　由抛物线方程可知其关于x轴对称,故点(m,-n)一定在该抛物线上.故选B. 2.A　由题意,可设另外两个顶点的坐标分别为(m>0),则tan 30°=,解得m=4,故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A. 3.AB　由抛物线的定义知,曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其关于y轴对称,方程为x2=4y,所以A,B正确;由x2=4y知y≥0,点P到直线l的距离d≥1,所以C,D错误.故选AB. 4.答案　2 解析　∵点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),∴1-=2,解得p=2, ∴抛物线C:y2=4x. 设P(x0,y0)(x0≥0),则=4x0, 则|PQ|2=(x0-3)2+=(x0-3)2+4x0=(x0-1)2+8, 当x0=1时,|PQ|2取得最小值8, ∴|PQ|的最小值为2. 5.C　依题意设抛物线的方程为y2=±2px(p>0).因为焦点与原点之间的距离为2,所以=2,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.故选C. 6.B　在y2=2px(p>0)中,令x=2,得y2=4p,解得y=±2, 不妨设D(2,2),如图, 因为OD⊥OE,所以=2×2-4p=0,解得p=1, 故C的标准方程为y2=2x.故选B. 7.BC　设M(0,y0),易知F,则B,过点B作准线的垂线,垂足为B1,如图所示: 则|BB1|=,解得p=, ∴抛物线方程为y2=2x,且B, 又点B在抛物线上, ∴,解得y0=±2. ∴点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC. 8.A　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,则直线l的方程为y=,即p=0.因为l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,所以圆心(2,0)到l的距离d=,解得p=12(负值舍去).故选A. 9.答案　x2=4y(答案不唯一) 解析　因为椭圆+x2=1的焦点在y轴上,且c==1,所以椭圆的上焦点为(0,1),下焦点为(0,-1),不妨以椭圆的上焦点为抛物线的焦点,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则=1,即p=2,所以x2=4y.(答案不唯一) 10.答案　y2=2x 解析　由所经过的点所在象限及对称性,结合抛物线的对称性可知,点(-1,1)和点(1,)不可能同时在抛物线C上,点(-1,1)和点(-1,-2)不可能同时在抛物线C上,点(2,-2)和点(-1,-2)不可能同时在抛物线C上,点(1,)和点(-1,-2)也不可能同时在抛物线C上,(-1,1),(2,-2)两点分别位于第二、四象限,这样的抛物线不存在,所以抛物线C只能过点(1,),点(2,-2),根据两点位置可设C:y2=2px(p>0),代入(1,),得2=2p,即p=1,所以y2=2x,此抛物线过点(2,-2),满足题意. 综上,抛物线C的方程为y2=2x. 11.解析　设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M. 因为|AF|=3,所以y0+=3. 因为|AM|=,所以=17, 所以=8,代入方程=2py0,得8=2p·,解得p=2或p=4. 故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 12.解析　因为△FPM为等边三角形,所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义可得PM垂直于抛物线的准线. 设P(m,am2),则M,又F, 所以有 所以抛物线的标准方程为x2=2y. 13.C　如图所示,设MN的中点为D,分别作MA,NB,DC垂直于准线于A,B,C三点,设CD交y轴于点E,易得CD为直角梯形ABNM的中位线,所以|CD|=,由抛物线的定义易得,|MA|+|NB|=|MN|=10,所以|CD|=5,又抛物线的准线方程为x=-1,所以|CE|=1,故线段MN的中点到y轴的距离为|DE|=|CD|-|CE|=4,故选C. 14.D　由椭圆方程可知F(3,0),则C:y2=12x,由题意可设直线l的方程为x=y+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,得y2-y-36=0,即y1y2=-36,又|AF|=2|BF|,所以y1=-2y2,所以y2=-3,所以x1=6,x2=,则k=.故选D. 15.B　易得F,设直线AB的方程为y=,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-7px+,又|AF|=x1+=2⇒p=1. 16.解析　(1)设A(x,y),由题意得|AF|=9+=12,∴p=6. (2)由(1)知抛物线C:y2=12x,则焦点F(3,0), 根据题意,得直线l:y=x-3. 联立消去y,得x2-18x+9=0, Δ=182-4×9>0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=18, ∴|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+p=18+6=24. 能力提升练 1.B　由题意设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),因为点M(3,y0)到焦点F的距离为6,所以|MF|=3+=6,则p=6,所以抛物线的方程为y2=12x,令x=3,可得=36,所以|OM|=.故选B. 2.A　由题意得,线段AB与OP互相垂直平分,则四边形OAPB为菱形.设点P(2t,0),t>0,则线段OP的垂直平分线l的方程为x=t,令l与x轴交于点H,如图, 因为∠OAP=120°,所以∠OAH=∠OAP=60°,所以|AH|=,所以点A的坐标为,将其代入抛物线C:y2=8x,得=8t,所以t=24,在直角三角形OAH中,|OA|=2|AH|=2×,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=64.故选A. 3. BD　由x=2,得x2=4y(x≥0),则曲线x=2为抛物线x2=4y的右半部分(包括原点).抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线l:y= -1,=|PF|≥1,故A错误.由抛物线的定义易知B正确.原点到直线y=-x-2的距离为,其为点P到直线y=-x-2的距离的最小值,故C错误.设点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d,则=|PF|+|PA|≥d=5+1=6,故D正确.故选BD. 4.D　解法一:由题意知F,准线l的方程为x=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,由,得,即x2=(3p-2x1)①.由题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(k≠0),代入抛物线方程并整理,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,所以x1x2=②.联立①②,消去x2得2-3px1+p2=0,解得x1=p或x1=(舍去),所以|y1|=p,因为·|y1|=5,所以,所以p=2,所以准线l的方程为x=-1,故选D. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,则|AF|=,因为,所以|AF|=2|FB|,即,解得cos θ=, 则sin θ=,因为四边形AA1CF是直角梯形,其中|CF|=p,|AA1|=|AF|=p,高为|AF|sin θ=p·p,所以四边形AA1CF的面积为,所以p=2,所以准线l的方程为x=-1,故选D. 5.ABD　由抛物线Γ:y2=2px可得F. 设直线AB的方程为x=ty+, 由得y2-2pty-p2=0, ∴y1y2=-p2, 同理可得y3y4=-p2,故A正确. 由对称性可知,若直线AD过定点,则定点在x轴上,假设定点为M(m,0), 由直线BC经过点N,可得, ∴y2, ∴p2, ∵y1y2=-p2,y3y4=-p2,∴y1y4=-2p2, 由A,M,D三点共线得, ∴(x1-m)y4=(x4-m)y1,∴y1, ∴=p, ∴直线AD过定点(p,0),故B正确. kBC=,同理kAD=,不为常数,故C错误. 设直线AD的方程为x=ny+p, 由得y2-2pny-2p2=0, ∴y1+y4=2pn,y1y4=-2p2, ∴|AD|=·|y1-y4|=, 当n=0时,|AD|的值最小,最小值为2p,故D正确. 故选ABD. 6.答案　B 信息提取　①凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10];②清洁钢球的截面为圆;③求球的最大半径. 数学建模　建立抛物线与圆的位置关系求解实际问题.根据所给抛物线方程作出相应的平面直角坐标系,设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0),表示出抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方,结合钢球需触及凹槽的最底部这一条件,根据二次函数的性质求出y0的取值范围,即可确定清洁钢球的最大半径. 解析　如图所示: 设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0),若钢球触及凹槽的最底部,则钢球的半径r=y0,抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方为d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+, 若d2的最小值在(0,0)时取到,则钢球触及凹槽的最底部, 故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧,所以1-y0≥0,所以y0≤1, 所以0<r≤1,从而清洁钢球的半径r的范围为0<r≤1, 所以清洁钢球的最大半径为1. 7.答案　 解析　如图所示: 由抛物线的定义可知|BF|=|BM|,F. ∵AM⊥MF,∴由直角三角形的性质可知B为线段AF的中点, ∴B, 把点B的坐标代入抛物线方程,得1=2p×,解得p=(负值舍去), ∴B, ∴S△AFM=2S△BFM=2×. 8.答案　 解析　因为点A(1,2)在抛物线上,所以4=2p,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0). 设动点P(x,y)(x≥0),则y=±2,不妨令P(x,2),结合抛物线的定义可知x=|PF|-1, 当x=0时,P(0,0),=0; 当x>0时,,当且仅当x=2时取“=”. 综上可知,. 9.解析　(1)由题可知|y0|=4, ∵|DE|=, 整理,得p2-68p+256=0, 解得p=4或p=64, ∵0<p<10,∴p=4, ∴抛物线C的方程为y2=8x. (2)证明:当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线交于一点,不符合题意, ∴直线l的斜率不为0, 可设直线l的方程为x=my+n(n≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去x并整理,得y2-8my-8n=0, 则Δ=64m2+32n,y1+y2=8m,y1y2=-8n, ∴x1·x2==n2, ∵OA⊥OB,∴=x1x2+y1y2=n2-8n=0, ∴n=8,此时满足Δ>0, ∴AB过定点(8,0). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$