第1章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　直线的方程及其应用 1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　　　　　　B. C.　　　　　 D.2 2.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.  考点2　直线与圆的综合应用 3.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　) A. C.1　　　　　　D.-1 4.(2021北京,9)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=(　　) A.±1　　　　　　 B.± C.±　　　　　　D.±2 5.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1　　　　　　 B. C. 6.(2020全国Ⅰ,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　) A.2x-y-1=0　　　　　　B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0　　　　　　D.2x+y+1=0 7.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　) A.1+　　　　　　 B.4　　　 C.1+3　　　　　　D.7 8.(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,|PB|=3 D.当∠PBA最大时,|PB|=3 9.(2023全国乙理,12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为(　　) A. C.1+ 10.(2022全国乙,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　.  11.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　　　　.  12.(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　.  13.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.  高考模拟练　　　　　 　　　　 　　　　 应用实践 1.“m=2”是“直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直”的(　　) A.充分不必要条件　　　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　　　 D.既不充分也不必要条件 2.“太极图”的形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.放在平面直角坐标系中的“太极图”如图所示,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则的最小值为(　　) A.-　　　D.-1 3.已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2- 5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E,F,则的最小值是(　　) A.6　　　B.5　　　C.4　　　D.3 4.已知圆C:(x-)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的最小值为(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 5.已知等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为2,D是平面ABC内一点,且满足DB∶DC=∶1,则△ABD面积的最大值是(　　) A. C. 6.(多选题)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0,t)(t为整数),且圆C与直线l:x-y=0相切,直线m:ax+y+2a=0与圆C相交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　) A.圆C的标准方程为x2+(y-4)2=42 B.若PA⊥PB,则实数a的值为-2 C.若|AB|=2,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0 D.弦AB的中点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=5 7.“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一,定理的内容如下:如图,△ABC的三条边长分别为|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c.延长线段CA至点A1,使得|AA1|=a,延长线段AC至点C2,使得|CC2|=c,以此类推得到点A2,B1,C1,B2,那么新得到的这六个点共圆,这个圆称为康威圆.已知a=12,b=5,c=13,则由△ABC生成的康威圆的半径为　　　　　.  8.设点P(x,y)是圆C:(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则||的取值范围为　　　　.  9.已知A(1,1),B(2,0)是圆C上的两点,写出满足“直线x-y-2=0被圆C截得的弦长为”的一个圆C的标准方程:　　　　　　　　.  10.从①圆心C在直线l:2x-7y+8=0上,B(1,5)是圆C上的点;②圆C过直线s:2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y-16=0的交点这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并进行解答. 已知在平面直角坐标系xOy中,圆C过点A(6,0),且　　　　　　　.  (1)求圆C的标准方程; (2)求过点A的圆C的切线方程. 11.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-4)2+(y-2)2=4有两个不同的交点D,E. (1)求r的取值范围; (2)过直线DE上的一点P(在线段DE外的部分上),分别作圆O,圆C的一条切线,切点分别为A,B,问是否存在常数λ,使得|PA|=λ|PB|恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.B　解法一:易得点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=,因为k2+1≥2k,所以2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤,所以d=,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为.故选B. 解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,设Q(0,-1).易知当直线l与直线PQ垂直时,点Q到直线l的距离最大,此时k=1,距离的最大值为|PQ|=,故选B. 2.答案　4 解析　设P,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=≥4,当且仅当x0=,即x0=时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 3.A　易知圆(x-a)2+y2=1的圆心坐标为(a,0),∵直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,∴直线2x+y-1=0过圆心(a,0),∴2a+0-1=0,解得a=,故选A. 4.C　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线y=kx+m的距离d=,则弦长|MN|=2,则当k=0时,弦长取得最小值,最小值为2=2,解得m=±.故选C. 5.B　设P(0,-2),圆x2+y2-4x-1=0即(x-2)2+y2=5,则圆心为M(2,0),半径为.设过点P(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图,则∠APB=2∠APM,易知|AM|=,则sin∠APM=,所以cos∠APM=, 所以sin α=sin∠APB=2sin∠APMcos∠APM=,故选B. 6.D　☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,半径r=2,圆心为M(1,1).如图所示,由题可知,AB⊥PM, |PM|·|AB|=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM) =2(|PA|+|PB|), ∵|PA|=|PB|, ∴|PM|·|AB|=4|PA|=4 =4, 当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min=, 此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2), 圆心M到直线AB的距离d=, |AB|==|MA|2, 即=4,解得b=-1或b=7(舍去). 综上所述,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D. 7.C　将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆,令x-y=t,即x-y-t=0,由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以≤3,即|t-1|≤3,解得1-3≤t≤1+3.所以x-y的最大值为1+3.故选C. 8.ACD　∵A(4,0),B(0,2),∴过点A,B的直线方程为=1,即x+2y-4=0,设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为C,则C(5,5),圆心C到直线x+2y-4=0的距离d=>4, ∴点P到直线AB的距离的取值范围为+4, ∵-4∈(0,1),+4∈(8,9),∴点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误; 如图所示,当过点B的直线与圆相切时,∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大),此时|BC|=,故C,D均正确. 9.A　连接OA,OD,则|OA|=1,在Rt△OAP中,PA==1,易知∠APO=45°. 当点A,D位于直线PO的异侧时,如图①所示,设∠OPC=α,0≤α<, 则 =1×cos αcos =cos α =cos2α-sin αcos α =sin 2α =. ∵0≤α<≤2α-, ∴当2α-时,有最大值1. 当点A,D位于直线PO的同侧时,如图②所示,设∠OPC=α,0≤α<, 则 =1×cos αcos =cos α =cos2α+sin αcos α =sin 2α =. ∵0≤α<≤2α+, ∴当2α+时,. 综上可得,. 故选A. 10.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(写出一个即可) 解析　解法一:依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 若圆过(0,0),(4,0),(-1,1), 则 此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13. 若圆过(0,0),(4,0),(4,2), 则 此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5. 若圆过(0,0),(4,2),(-1,1), 则 此时圆的方程为x2+y2-y=0, 即. 若圆过(-1,1),(4,0),(4,2), 则 此时圆的方程为x2+y2-=0, 即. 解法二:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1), 根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上, 设A(0,0),B(4,0),C(-1,1), 易得AB的中垂线方程为x=2, AC的中垂线方程为y=x+1. 联立解得圆心坐标为(2,3). 此时圆的半径r=. 所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. 同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,. 11.答案　 解析　由题易知kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为y-a=- x,即(3-a)x-2y+2a=0,由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径,所以≤1⇒6a2-11a+3≤0,解得≤a≤. 12.答案　x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(写出一个即可) 解析　设圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为O1, 如图所示, 显然两圆外切,由图可知l1:x=-1与两圆均外切. 易知直线OO1的方程为y=x,设直线OO1与l1的交点为P,∴P, 易知过点P的两圆的公切线l2的斜率存在,设为k,则切线l2的方程为y=k(x+1)-,即kx-y+k-=0. 易知点O(0,0)到切线l2的距离为1,∴,∴切线l2的方程为7x-24y-25=0. 设两圆相切于点M,垂直于直线OO1的切线l3的方程为y=-x+n,即3x+4y-4n=0, 易知点O(0,0)到切线l3的距离为1,∴, 易知n>0,∴切线l3的方程为y=-,即3x+4y-5=0, ∴与两圆都相切的切线方程为x=-1,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0. 13.答案　2,-2,(填写四个中任意一个均对) 解析　依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r为2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=,则|AB|=2, 所以S△ABC=·d·|AB|=,解得m=2或m=-2或m=或m=-.(填写四个中任意一个均对) 高考模拟练 1.A　若直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直,则m(m-3)+m(m-1)=0,解得m=0或m=2,所以“m=2”是“直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直”的充分不必要条件.故选A. 2.C　记A(2,0),则直线AP的斜率k=,易知题图的阴影部分中的半圆的方程为x2+(y-1)2=1(x>0),且当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时,k取得最小值,此时设直线AP:y=k(x-2),则圆心(0,1)到直线AP的距离为=1,解得k=-或k=0(舍去),即kmin=-.故选C. 3.A　圆C2的半径为1,圆心C2(2+5cos θ,5sin θ),可知圆心C2在圆(x-2)2+y2=25上运动.又C1(2,0),所以|C1C2|=5,可得|PC1|∈[4,6]. 由图可知,cos 2α=(|PC1|2-4)·(1-2sin2α)=(|PC1|2-4)-12,由y=|PC1|2+-12在|PC1|2∈[16,36]上单调递增可知,当|PC1|2=16时,取得最小值,为6,故选A. 4.B　解法一:由题易得圆C的圆心坐标为(),半径r=1.设P(a,b),则=(a-t,b).∵∠APB=90°,∴=(a+t)·(a-t)+b2=0,∴t2=a2+b2=|OP|2(O为坐标原点),∴t的最小值即为|OP|的最小值,即为|OC|-r=3-1=2.故选B. 解法二:由∠APB=90°得点P在以原点O为圆心的圆x2+y2=t2上,因此由两圆有交点得|t-1|≤|OC|≤t+1⇒|t-1|≤3≤t+1⇒2≤t≤4,即t的最小值为2,故选B. 5.A　设BC的中点为O,以O为原点,BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,y), 因为DB∶DC=∶1, 所以(x+1)2+y2=3(x-1)2+3y2, 整理,得(x-2)2+y2=3, 所以点D的轨迹是以(2,0)为圆心,为半径的圆. 当点D到直线AB的距离最大时,△ABD的面积最大. 易得直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=, 设圆的半径为r,圆心到直线AB的距离为d, 则点D到直线AB的最大距离为d+r=, 所以△ABD面积的最大值为.故选A. 6.BC　对于A,设圆C的半径为r,则圆C的标准方程为x2+(y-t)2=r2(t为整数),由点P(2,4)是圆C上的点,且圆C与直线l:x-y=0相切,得(舍去),则圆C的标准方程为x2+(y-4)2=4,故A错误;对于B,由A知圆C:x2+(y-4)2=4,圆心为C(0,4),因为点P(2,4)在圆C上,且PA⊥PB,所以线段AB为圆C的直径,又直线m:ax+y+2a=0与圆C相交于A,B两点,所以圆心C(0,4)在直线m上,所以4+2a=0,解得a=-2,故B正确;对于C,由A知圆C的半径r=2,圆心为C(0,4),则圆心C到直线m的距离d=,因为+d2=r2,即+d2=22,所以d=,所以,解得a=-1或a=-7,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0,故C正确;对于D,由A知,圆C的方程为x2+(y-4)2=4,圆心为C(0,4),直线m的方程可化为y=-a(x+2),则直线m过定点(-2,0),记N(-2,0),由圆的性质可得CM⊥MN,所以点M的轨迹是以线段CN为直径的圆,则此圆圆心为线段CN的中点,其坐标为(-1,2),半径为,则该圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,由得两圆的交点坐标为(-2,4)和,故弦AB的中点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=5,故D错误.故选BC. 7.答案　 解析　因为|CC1|=|CC2|,|CA1|=|CB2|,所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上,同理可知康威圆的圆心在∠ABC的平分线上,即康威圆的圆心为△ABC的内心.因为a=12,b=5,c=13,所以a2+b2=c2,所以∠ACB=90°,所以△ABC的内切圆的半径r==2,所以康威圆的半径R=. 8.答案　[2,10] 解析　由题意得原点O(0,0)为线段AB的中点, 因为(0-3)2+02=9>4,所以点O(0,0)在圆C外,如图, 圆C:(x-3)2+y2=4的半径r=2,圆心为C(3,0), 由图知,||, 又|OC|-r≤||≤|OC|+r,即3-2≤||≤3+2, 即1≤||≤5, 所以||∈[2,10], 所以||的取值范围为[2,10]. 9.答案　(x-1)2+y2=1(答案不唯一) 解析　由已知得直线AB的斜率kAB==-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k=1,且过线段AB的中点, 故线段AB的垂直平分线的方程为y=x-1,即x-y-1=0, 故圆心C在直线x-y-1=0上,且直线x-y-2=0和直线x-y-1=0平行,则两平行直线间的距离d=, 故圆C的半径r==1,取圆心为(1,0)满足条件, 故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1.(答案不唯一) 10.解析　若选①: (1)由A(6,0),B(1,5),得线段AB的中点为, ∵直线AB的斜率kAB==-1,∴线段AB的中垂线的斜率k=-=1,则该中垂线的方程为y-,即x-y-1=0, 联立则圆心C(3,2),半径r=, 故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13. (2)直线AC的斜率kAC=,则过点A的圆C的切线的斜率k'=, 故所求切线方程为y=(x-6),即3x-2y-18=0. 若选②: (1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意可知,直线s:2x+y+4=0是圆C与圆x2+y2+2x-4y-16=0的公共弦所在直线的方程, 两圆的方程作差可得(D-2)x+(E+4)y+F+16=0, 则λ∈R,即 则圆C:x2+y2+(2λ+2)x+(λ-4)y+4λ-16=0,将(6,0)代入,可得36+6(2λ+2)+4λ-16=0,解得λ=-2, 故圆C的方程为x2+y2-2x-6y-24=0,即(x-1)2+(y-3)2=34. (2)由(1)可得圆心C(1,3), 则直线AC的斜率kAC=,则过点A的圆C的切线的斜率k'=, 故所求切线方程为y=(x-6),即5x-3y-30=0. 11.解析　(1)根据题意,得|r-2|<|OC|<r+2,且|OC|=, 即 解得2+2. 所以r的取值范围是(2+2). (2)圆O:x2+y2=r2(r>0),圆C:(x-4)2+(y-2)2=4, 两圆的方程相减,得4(2x-4)+2(2y-2)=r2-4, 整理可得直线DE的方程为y=-2x+4+, 设点P(m,n),如图, 因为PA与圆O:x2+y2=r2(r>0)相切, 所以在Rt△PAO中,|PA|2=|PO|2-r2=m2+n2-r2, 又点P(m,n)在直线DE上, 所以n=-2m+4+, 所以|PA|2=m2+, 同理可得|PB|2=|PC|2-4=(m-4)2+(n-2)2-4=(m-4)2+, 所以|PA|2=|PB|2,即|PA|=|PB|, 故存在常数λ=1,使得|PA|=λ|PB|恒成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$