第1章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽略直线的斜率与倾斜角的变化关系致错　　　　　 　　　　 　　　　 1.直线l1经过两点A(0,0),B(,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为(　　) A. 2.若直线l的一个方向向量是(2,2cos θ),则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 易错点2　对截距的概念理解不透彻致错 3.已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为　　　　.  4.若直线x-y+2m=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8,求实数m的取值范围. 易错点3　忽略直线斜率不存在的情况致错 5.过点(5,3)作圆(x-3)2+y2=4的切线,则切线的方程为　　　　.  6.直线l经过两直线l1:x+y=0和l2:2x+3y-2=0的交点. (1)若直线l与直线3x+y-1=0垂直,求直线l的方程; (2)若点A(3,1)到直线l的距离为5,求直线l的方程. 易错点4　忽略直线与圆中的隐含条件致错 7.已知直线l1:(3+a)x+4y=5-4a与直线l2:2x+(5+a)y=9平行,则实数a的值为(　　) A.-7　　　　　　B.-1 C.-7或-1　　　　D.7或-1 8.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=(　　) A.1　　　B.1.5　　　C.2　　　D.2.5 9.若点(1,2)在圆(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围是　　　　.  思想方法练　　　　　 　　　　 　　　　 一、分类讨论思想在直线与圆中的应用 1.(多选题)若三条不同的直线l1:mx+2y+m+4=0,l2:x-y+1=0,l3:3x-y-5=0能围成一个三角形,则m的取值不可能为(　　) A.-2　　　B.-6　　　C.-3　　　D.1 2.若圆C1:(x-1)2+(y+)2=1与圆C2:(x-a)2+y2=1没有公共点,则实数a的取值范围是　　　　.  二、数形结合思想在直线与圆中的应用 3.直线l1,l2分别过点P(-2,-2),Q(1,3),且l1,l2分别绕点P和Q旋转,但它们保持平行,则直线l1与l2之间的距离d的取值范围是(　　) A.(0,]　　　　　　B.(0,+∞) C.(,+∞) 4.已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-4)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5　　　B.6　　　C.2　　　D.1 5.若曲线y=-与直线x-2y+m=0有公共点,求实数m的取值范围. 三、转化与化归思想在直线与圆中的应用 6.设直线l:3x+2y-6=0,P(m,n)为直线l上的动点,则m2+n2-2n的最小值为(　　) A.- 7.在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任意一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,求k的值. 8.已知实数x,y满足x2+(y-2)2=1,求的取值范围. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.D　因为直线l1的斜率为,所以直线l1的倾斜角为,又因为直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,所以直线l2的倾斜角为,所以直线l2的斜率为tan.故选D. 易错警示　两直线之间的倾斜角存在两倍关系,但它们的斜率之间不一定是两倍关系. 2.C　因为直线l的一个方向向量是(2,2cos θ),所以直线l的斜率k==cos θ,因为-1≤cos θ≤1,所以-1≤k≤1,又直线l的倾斜角α∈[0,π),所以0≤α≤≤α<π.故选C. 易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意三点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是当有斜率不存在的直线也符合题意时,斜率的范围将分成两个区间;三是有倾斜角为0的直线也符合题意时,倾斜角的范围将分成两个部分. 3.答案　2x-y=0或2x+y-4=0 解析　①当直线l过原点时,由直线l经过点(1,2),得所求直线方程为y=2x,即2x-y=0. ②当直线l不过原点时,设直线l的方程为=1,将(1,2)代入,得=1,解得a=2,此时直线l的方程为=1,即2x+y-4=0. 故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0. 4.解析　令x=0,得y=2m,令y=0,得x=-2m. 由直线x-y+2m=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8,得|2m|×|-2m|≥16,解得m≥2或m≤-2,故实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞). 易错警示　(1)涉及直线截距问题时,易忽略直线截距为0的情况,具体求解时,要分截距为0和截距不为0两种情况求解. (2)截距不同于距离,直线在y轴(x轴)上的截距是指直线与y轴(x轴)交点的纵(横)坐标,所以截距是一个数值,可正,可负,可以为0. 5.答案　x=5或5x-12y+11=0 解析　由圆(x-3)2+y2=4可知圆心为(3,0),半径r=2, 当过点(5,3)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=5, 此时圆心(3,0)到直线x=5的距离为5-3=2,直线x=5与圆(x-3)2+y2=4相切; 当过点(5,3)的直线的斜率存在且与圆(x-3)2+y2=4相切时, 设其方程为y-3=k(x-5),即kx-y-5k+3=0, 则=2,解得k=, 即切线方程为+3=0,即5x-12y+11=0. 综上所述,切线的方程为x=5或5x-12y+11=0. 6.解析　易得直线l1与l2的交点坐标为(-2,2). (1)根据题意可设直线l的方程为x-3y+m=0,把(-2,2)代入,可得m=8,所以直线l的方程为x-3y+8=0. (2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,此时点A(3,1)到直线l的距离为5,符合题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+2),即kx-y+2k+2=0, 根据题意得=5,解得k=, 所以直线l的方程为12x-5y+34=0. 综上所述,直线l的方程为12x-5y+34=0或x=-2. 易错警示　(1)根据条件求直线l的方程时,要考虑直线l的斜率是否存在,防止漏解. (2)利用两条直线的斜率的乘积为-1判定两直线垂直时,要注意使用的前提条件,若其中一条直线的斜率不存在,则需另外考虑. 7.A　∵直线l1的斜率一定存在,且两直线平行,∴直线l2的斜率也一定存在,即a≠-5,∴,解得a=-1或a=-7,当a=-1时,两直线重合,舍去;当a=-7时,满足题意.故选A. 8.A　圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:x2+y2+2ay-6=0(a>0),即x2+(y+a)2=a2+6的圆心为C2(0,-a),半径r2=.设两圆的圆心距为d,则d=a,由于两圆相交,故r2-r1<d<r1+r2,即+2,解得a>.两圆的方程作差得公共弦所在直线的方程为y=,代入x2+y2=4,解得x=±,故2,解得a=1或a= -1(舍去).故选A. 易错警示　利用弦长求参数的值时,一定要符合两圆相交的前提条件,即|r2-r1|<d<r1+r2(其中d为圆心距,r1,r2分别是两圆的半径),否则可能会产生多余的解. 9.答案　(-∞,0)∪ 解析　∵点(1,2)在圆的外部,∴(1+a)2+(2-a)2>2a2,即5-2a>0,解得a<,又2a2>0,∴a≠0,∴实数a的取值范围为(-∞,0)∪. 易错警示　审题不严,对题中的部分条件或公式处理不当,常造成解题错误,主要表现如下: (1)在求一条直线的平行直线时,容易忘记舍去直线重合的情况; (2)忽视方程中的参量取值,如圆的标准方程中等式右边的r2中r; (3)忽略隐藏的位置关系,如直线与圆相交时,要在有交点的情况下考查其他相关问题,圆与圆只有一个交点时,要考虑是内切还是外切等. 思想方法练 1.ABC　由直线l1:mx+2y+m+4=0,l2:x-y+1=0,l3:3x-y-5=0不能围成一个三角形,需分l1∥l2(或l1与l2重合),l1∥l3(或l1与l3重合),三线共点三种情况讨论. 若l1∥l2(或l1与l2重合),则满足,解得m=-2; 若l1∥l3(或l1与l3重合),则满足,解得m=-6; 若l1经过直线l2与l3的交点,则三条直线不能围成一个三角形, 联立即交点坐标为(3,4), 将(3,4)代入直线l1的方程,得3m+2×4+m+4=0,解得m=-3. 故选ABC. 2. 答案　(-∞,0)∪(2,+∞) 解析　圆C1:(x-1)2+(y+)2=1的圆心为C1(1,-),半径r1=1,圆C2:(x-a)2+y2=1的圆心为C2(a,0),半径r2=1. 两圆无公共点,则两圆外离或内含,从而进行分类讨论. 当两圆外离时,|C1C2|>r1+r2=2, 所以>2,解得a<0或a>2; 当两圆内含时,|C1C2|<|r1-r2|=0,无解. 所以a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 思想方法　分类讨论又称逻辑划分,分类讨论的关键是逻辑划分标准的确定,以便对问题依次分类求解(或证明).本章中,在直线和圆的位置关系的判断中常需要对直线斜率是否存在进行分类讨论,在圆与圆的位置关系的判断中常需要对圆心距和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行分类讨论. 3.A　如图所示,过点Q作QR⊥l1于点R, 当直线PQ与直线l1,l2均不垂直时,它们之间的距离即为|QR|, 当直线PQ与直线l1,l2均垂直时,它们之间的距离即为|QP|, 借助几何图形,直观发现直线l1,l2分别绕点P和Q旋转时l1与l2之间的距离d的变化情况. 所以当且仅当QR与QP重合时,直线l1与l2之间的距离d有最大值,dmax=, 可以发现,当直线l1与l2旋转到一定程度时直线PQ与直线l1,l2均无限接近,d无限趋近于0,但注意到直线l1,l2平行,且直线是连续旋转的, 因此直线l1与l2之间的距离d的取值范围是(0,].故选A. 4.C　如图所示,圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4的圆心为C1(4,1),半径r1=2,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为C2(0,4),半径r2=1,可得圆心距|C1C2|==5, 所以|PM|+|PN|≥5-r1-r2=2,当M,N,C1,C2,P共线时,取得最小值, 数形结合分析最值与动点、定点之间的关系. 故|PM|+|PN|的最小值为2. 故选C. 5.解析　作出曲线y=-,利用直线与圆的位置关系求解. 将y=-转化为(x-1)2+y2=4(y≤0),它表示以(1,0)为圆心,2为半径的圆在x轴下方(包含与x轴的交点)的部分,如图所示: 由图可知,要使曲线与直线有公共点,则临界条件是直线经过点(-1,0)或直线与半圆相切. 当直线经过点(-1,0)时,-1-2×0+m=0,解得m=1; 当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,即=2,解得m=-2-1或m=2-1(不符合题意,舍去). 所以实数m的取值范围为[-2-1,1]. 思想方法　“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、圆与圆的位置关系问题等都可能用到数形结合思想.利用数形结合解决问题,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量小. 6.B　m2+n2-2n=m2+(n-1)2-1,其中m2+(n-1)2的几何意义为点(m,n)与点(0,1)之间的距离的平方, 根据几何意义,将求代数式的最值问题转化为求两点间的距离问题. 因为点(0,1)到直线l:3x+2y-6=0的距离d=, 进一步转化为点到直线的距离问题. 所以m2+(n-1)2的最小值为, 则m2+n2-2n的最小值为. 故选B. 7.解析　如图,因为PQ为圆C2的切线,所以PQ⊥C2Q. 由勾股定理得,|PQ|=,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小. 将两动点间的距离最小问题,转化为一动点与一定点间的距离最小问题. 显然当点P为C1C2与圆C1的交点时,|PC2|最小, 此时|PC2|=|C1C2|-1,所以当|C1C2|最小时,|PC2|就最小. 进一步转化为两定点间的距离问题. |C1C2|=≥2, 所以当k=2时,|C1C2|最小,即|PQ|最小. 8.解析　所求结构类似点到直线的距离公式,采用转化与化归思想进行求解. 如图所示: 设P(x,y)为圆x2+(y-2)2=1上任意一点,点P到直线x+y=0的距离|PM|=,点P与原点之间的距离|PO|=,所以=2sin∠POM,当圆x2+(y-2)2=1与直线kx-y=0相切时,=1,解得k=±,所以∠POM的最小值为0,最大值为,所以0≤sin∠POM≤,即0≤2sin∠POM≤.所以的取值范围是[0,]. 思想方法　转化与化归思想在直线与圆的有关问题中常表现为一般性点或图形转化为特殊点或特殊图形,充分发掘特殊结构的代数式、函数、方程等相关的几何意义,转化为有关直线的斜率、点到点或点到直线的距离等问题来解决. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$